Mathématiques Première STMG

Apprenez les maths par compétences. Fiches de cours mises à jour, exercices évolutifs résolus et fiches pratiques de mathématiques en Première STMG.

Nouveau programme de mathématiques – Rentrée 2019.
Classe de première technologique, enseignement commun
(séries ST2S, STL, STD2A, STI2D, STMG, STHR).

Progression 1ère STMG/ST2S (Académie de Toulouse)


Sommaire – Nouveaux programmes – Rentrée 2019

1. Maîtriser les automatismes

  1. Propriétés des inégalités dans $\R$
  2. Résoudre une inéquation du premier degré
  3. Étude du signe de l’expression du premier degré $ax+b$
  4. Déterminer le signe d’une expression factorisée du second degré
  5. Isoler une variable dans une égalité ou une inégalité qui en comporte plusieurs sur des exemples internes aux mathématiques ou issus des autres disciplines
  6. Effectuer une application numérique d’une formule (notamment pour les formules utilisées dans les autres disciplines).

  1. Fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle ou une réunion finie d’intervalles de $\R$.
  2. Courbe représentative:
  3. Déterminer graphiquement des images et des antécédents ;
  4. Exploiter une équation de courbe (appartenance d’un point, calcul de coordonnées) ;
  5. Résoudre graphiquement une équation, une inéquation du type : $f(x)=k$, $f(x)<k$… ;
  6. Déterminer graphiquement le signe d’une fonction ou son tableau de variations ;
  7. Tracer une droite donnée par son équation réduite ou par un point et son coefficient directeur ;
  8. Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite ;
  9. Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points.
  1. Lire un graphique, un histogramme, un diagramme en barres ou circulaire, un diagramme en boîte ou toute autre représentation (repérer l’origine du repère, les unités de graduations ou les échelles…) ;
  2. Passer du graphique aux données et vice-versa
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2. Algorithmique et programmation

  1. Installations de Python
  2. Qu’est-ce-qu’un algorithme ?
  3. Les variables
  4. Les instructions de base
  5. Les fonctions
  6. Les listes
  7. La sélection de données
  8. Applications

  1. Utiliser un générateur de nombres aléatoires entre 0 et 1 pour simuler une loi de Bernoulli de paramètre $p$ ;
  2. Utiliser la notion de compteur ;
  3. Utiliser le principe d’accumulateur pour calculer une somme, un produit.

  1. Identifier les entrées et les sorties d’une fonction ;
  2. Structurer un programme en ayant recours aux fonctions.

  1. Générer une liste (en extension, par ajouts successifs, en compréhension) ;
  2. Manipuler des éléments d’une liste(ajouter, supprimer…) et leurs indices ;
  3. Itérer sur les éléments d’une liste.

  1. Traiter un fichier contenant des données réelles pour en extraire de l’information et l’analyser ;
  2. Réaliser un tableau croisé de données sur deux critères à partir de données brutes.

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3. Suites numériques

Forme explicite : Chaque terme $u_n$ est défini par une expression explicite en fonction de $n$
Forme récurrente : Chaque terme $u_n$ est défini par une expression en fonction de $n$
Forme aléatoire : Chaque terme $u_n$ est défini comme un nombre aléatoire quelconque ou dans un intervalle.
Forme géométrique : Chaque terme $u_n$ est défini par une construction utilisant ou non $n$ objets.
Avec un tableur : Chaque terme $u_n$ est défini par une construction utilisant ou non $n$ objets.
Avec un algorithme : Chaque terme $u_n$ est défini par un algorithme en fonction de $n$.

Suites croissantes ; Suites décroissantes
Suites minorées, majorées et suites bornées
Représentation graphique d’une suite

Les suites arithmétiques comme modèles discrets d’évolutions absolues constantes (croissance linéaire)
Relation de récurrence ;
Sens de variation ;
Représentation graphique

Les suites géométriques (à termes strictement positifs) comme modèles discrets d’évolutions relatives constantes (croissance exponentielle) :
Relation de récurrence ;
Sens de variation ;
Représentation graphique.

  1. Modéliser une situation à l’aide d’une suite.
  2. Reconnaître si une situation relève d’un modèle discret de croissance linéaire ou exponentielle.
  3. Calculer un terme de rang donné d’une suite définie par une relation fonctionnelle ou une relation de récurrence.
  4. Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d’une suite.
  5. Conjecturer, à partir de sa représentation graphique, la nature arithmétique ou géométrique d’une suite.
  6. Démontrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique.
  7. Déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique ou géométrique à l’aide de la raison.

  1. Calculer un terme de rang donné d’une suite, une somme finie de termes.
  2. Déterminer une liste de termes d’une suite et les représenter.
  3. Déterminer le rang à partir duquel les termes d’une suite sont supérieurs ou inférieurs à un seuil donné, ou aux termes de même rang d’une autre suite.
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4. Fonctions de la variable réelle

  1. Différents modes de représentation d’une fonction : expression littérale, représentation graphique ;
  2. Notations $y=ƒ(x)$ et $x\mapsto ƒ(x)$;
  3. Taux de variation, entre deux valeurs de la variable $x$, d’une grandeur $y$ vérifiant $y=ƒ(x)$ ;
  4. Fonctions monotones sur un intervalle,lien avec le signe du taux de variation.

  1. Représentations graphiques des fonctions : $x↦ax^2$, $x\mapsto ax^2+b$, $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$ ;
  2. Axes de symétrie
  3. Racines et signe d’un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée (le calcul des racines à l’aide du discriminant ne figure pas au programme).

  1. Représentations graphiques des fonctions : $x\mapsto ax^3$, $x\mapsto ax^3+b$;
  2. Racines et signe d’un polynôme de degré 3 de la forme $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ ;
  3. Équation $x^3=c$ ; racine cubique d’un nombre réel positif ; notations $c^{\frac{1}{3}}$ et $\sqrt{3}{c}$.

  1. Modéliser la dépendance entre deux grandeurs à l’aide d’une fonction.
  2. Résoudre graphiquement une équation du type $ƒ(x)=k$ ou une inéquation de la forme $ƒ(x)<k$ ou $ƒ(x)>k$.
  3. Interpréter le taux de variation comme pente de la sécante à la courbe passant par deux points distincts.
  4. Associer une parabole à une expression algébrique de degré 2, pour les fonctions de la forme : $x↦ax^2$, $x\mapsto ax^2+b$, $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$.
  5. Déterminer des éléments caractéristiques de la fonction $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$. (signe, extremum, allure de la courbe, axe de symétrie…).
  6. Vérifier qu’une valeur conjecturée est racine d’un polynôme de degré 2 ou 3.
  7. Savoir factoriser, dans des cas simples,une expression du second degré connaissant au moins une de ses racines.
  8. Utiliser la forme factorisée (en produit de facteurs du premier degré) d’un polynôme de degré 2 ou 3 pour trouver ses racines et étudier son signe.
  9. Résoudre des équations de la forme $x^2=c$ et $x^3=c$, avec $c$ positif.

Calculer une valeur approchée d’une solution d’une équation par balayage.

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5. Dérivation

  1. Sécantes à une courbe passant par un point donné;taux de variation en un point ;
  2. Tangente à une courbe en un point,définie comme position limite des sécantes passant par ce point ;
  3. Nombre dérivé en un point défini comme limite du taux de variation en ce point ;
  4. Équation réduite de la tangente en un point.

  1. Fonction dérivée ;
  2. Fonctions dérivées de : $x\mapsto x^2$, $x\mapsto x^3$
  3. Dérivée d’une somme, dérivée de $kƒ$ ($k\in \R$), dérivée d’un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 ;
  4. Sens de variation d’une fonction, lien avec le signe de la dérivée ;
  5. Tableau de variations, extremums.

  1. Interpréter géométriquement le nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente.
  2. Construire la tangente à une courbe en un point.
  3. Déterminer l’équation réduite de la tangente à une courbe en un point.
  4. Calculer la dérivée d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à trois.
  5. Déterminer le sens de variation et les extremums d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.

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6. Statistiques et probabilités

  1. Tableau croisé d’effectifs.
  2. Fréquence conditionnelle, fréquence marginale.
    Exercices
  3. Calculer des fréquences conditionnelles et des fréquences marginales.
  4. Compléter un tableau croisé par des raisonnements sur les effectifs ou en utilisant des fréquences conditionnelles.
    Situations algorithmiques
  5. À partir de deux listes représentant deux caractères d’individus, déterminer un sous-ensemble d’individus répondant à un critère (filtre, utilisation des ET, OU, NON).
  6. Dresser le tableau croisé de deux variables catégorielles à partir du fichier des individus et calculer des fréquences conditionnelles ou marginales.

  1. Probabilité conditionnelle ; notation $P_A(B)$.
  2. Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous forme de tableau croisé d’effectifs.
  3. On explicite l’expérience aléatoire sous-jacente qui consiste à prélever au hasard un individu dans la population étudiée.
  4. Il s’agit, en classe de première, de transposer aux probabilités conditionnelles le travail sur les fréquences conditionnelles, en calculant la probabilité de B sachant A sous la forme : $$P_A(B)=\dfrac{Card(B\cap A)}{Card(A)}$$
  5. La représentation à l’aide d’un arbre de probabilités et la formule des probabilités totales relèvent du programme de la classe terminale.

  1. Probabilité associée à une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes.
  2. Probabilité associée à la répétition d’épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli.
    Exercices
  3. Représenter par un arbre de probabilités une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes et déterminer les probabilités des événements associés aux différents chemins.
  4. Représenter par un arbre de probabilités la répétition de $n$ épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli avec $\leq 4$ afin de calculer des probabilités.

  1. Variable aléatoire discrète : loi de probabilité, espérance.
  2. Loi de Bernoulli (0,1) de paramètre $p$, espérance.

Exercices

  1. Interpréter en situation les écritures $\{ X=a \}$, $\{ X\leq a\}$ où $X$ désigne une variable aléatoire et calculer les probabilités correspondantes $P(X=a)$ et $P(X\leq a)$.
  2. Calculer et interpréter en contexte l’espérance d’une variable aléatoire discrète.
  3. Reconnaître une situation aléatoire modélisée par une loi de Bernoulli.
  4. Simuler $N$ échantillons de taille $n$ d’une loi de Bernoulli et représenter les fréquences observées des 1 par un histogramme ou un nuage de points.
  5. Interpréter sur des exemples la distance à $p$ de la fréquence observée des 1 dans un échantillon de taille $n$ d’une loi de Bernoulli de paramètre $p$.

  1. Simuler des échantillons de taille $n$ d’une loi de Bernoulli à partir d’un générateur de nombres aléatoires entre 0 et 1.
  2. Représenter par un histogramme ou par un nuage de points les fréquences observées des 1 dans $N$ échantillons de taille $n$ d’une loi de Bernoulli.
  3. Compter le nombre de valeurs situées dans un intervalle de la forme $[p-ks;p+ks]$ pour $k\in \{ 1;2;3\}$.
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