Mathématiques Première STMG
Apprenez les maths par compétences. Fiches de cours mises à jour, exercices évolutifs résolus et fiches pratiques de mathématiques en Première STMG.
Nouveau programme de mathématiques – Rentrée 2019.
Classe de première technologique, enseignement commun
(séries ST2S, STL, STD2A, STI2D, STMG, STHR).
Progression 1ère STMG/ST2S (Académie de Toulouse)
Sommaire – Nouveaux programmes – Rentrée 2019
1. Maîtriser les automatismes
- Comparaisons des fractions simples. Quotient approché ;
- Effectuer des opérations sur les fractions ;
- Calculs avec les puissances de 10 ;
- Effectuer des opérations sur les puissances ;
- Passer d’une écriture d’un nombre à une autre (décimale, fractionnaire, scientifique) à terminer ;
- Estimer un ordre de grandeur ;
- Effectuer des conversions d’unités ;
- Calcul littéral. Expressions algébriques ;
- Développer, réduire et factoriser une expression algébrique simple. à terminer ;
- Population de référence
- Calculer, appliquer une proportion
- Exprimer une proportion ou une fréquence de différentes manières
- Calculer un effectif connaissant une proportion
- Comparer deux effectifs et comparer deux proportions
- Réunion, intersection et proportions
- Présentation de proportions dans un tableau croisé
- Sous-populations disjointes
- Sous-populations contraires
- Proportions échelonnées. Calcul d’une proportion de proportions
- Calculer un taux d’évolution et l’exprimer en pourcentage
- Coefficient multiplicateur et taux d’évolution.
Passer d’une formule additive («augmenter de 5%» ou « diminuer de 5% ») à une formule multiplicative (« multiplier par 1,05» ou « multiplier par 0,95 ») - Appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou une valeur initiale
- Calculer et interpréter un indice de base 100
- Calculer un indice. Calculer le taux d’évolution entre deux valeurs
- Calculer le taux d’évolution équivalent à deux évolutions successives
- Calculer le taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives
- Exercices sur les évolutions successives
- Calculer un taux d’évolution réciproque
- Exercices résolus sur les évolutions réciproques
- Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
- Repérage d’un point dans le plan.
- Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
- Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
- Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
- Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
- Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
- Déterminer graphiquement le sens de variations d’une fonction.
- Tableau de variations d’une fonction.
- Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
- Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.
- Déterminer graphiquement le signe d’une fonction et dresser son tableau de signes.
- Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$
- .Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.
- Modéliser par des fonctions des situations issues des mathématiques, des autres disciplines.
- Résoudre une équation ou une inéquation du type $f(x)=k$, $f(x)<k$, en choisissant une méthode adaptée : graphique, algébrique, logicielle.
- Résoudre une équation, une inéquation produit ou quotient, à l’aide d’un tableau de signes.
- Résoudre, graphiquement ou à l’aide d’un outil numérique,une équation ou inéquation du type $f(x)=g(x)$, $f(x)<g(x)$.
- Déterminer graphiquement le signe d’une fonction ou son tableau de variations ;
- Tracer une droite donnée par son équation réduite.
- Tracer une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
- Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite.
- Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points.
- Déterminer l’équation réduite d’une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
- Lire un graphique, un histogramme, un diagramme en barres ou circulaire, un diagramme en boîte ou toute autre représentation (repérer l’origine du repère, les unités de graduations ou les échelles…) ;
- Passer du graphique aux données et vice-versa
2. Algorithmique et programmation
- Installations de Python
- Qu’est-ce-qu’un algorithme ?
- Les variables
- Les instructions de base
- Les fonctions
- Les listes
- La sélection de données
- Applications
- Utiliser un générateur de nombres aléatoires entre 0 et 1 pour simuler une loi de Bernoulli de paramètre $p$ ;
- Utiliser la notion de compteur ;
- Utiliser le principe d’accumulateur pour calculer une somme, un produit.
- Identifier les entrées et les sorties d’une fonction ;
- Structurer un programme en ayant recours aux fonctions.
- Générer une liste (en extension, par ajouts successifs, en compréhension) ;
- Manipuler des éléments d’une liste(ajouter, supprimer…) et leurs indices ;
- Itérer sur les éléments d’une liste.
- Traiter un fichier contenant des données réelles pour en extraire de l’information et l’analyser ;
- Réaliser un tableau croisé de données sur deux critères à partir de données brutes.
3. Suites numériques
Définition d’une suite numérique
Suites explicites
Suites récurrentes
Représentation graphique d’une suite numérique
Exemples
Forme explicite : Chaque terme $u_n$ est défini par une expression explicite en fonction de $n$
Forme récurrente : Chaque terme $u_n$ est défini par une expression en fonction de $n$
Forme aléatoire : Chaque terme $u_n$ est défini comme un nombre aléatoire quelconque ou dans un intervalle.
Forme géométrique : Chaque terme $u_n$ est défini par une construction utilisant ou non $n$ objets.
Avec un tableur : Chaque terme $u_n$ est défini par une construction utilisant ou non $n$ objets.
Avec un algorithme : Chaque terme $u_n$ est défini par un algorithme en fonction de $n$.
Suites croissantes ; Suites décroissantes
Suites minorées, majorées et suites bornées
Représentation graphique d’une suite
Les suites arithmétiques comme modèles discrets d’évolutions absolues constantes (croissance linéaire)
Relation de récurrence ;
Sens de variation ;
Représentation graphique
Les suites géométriques (à termes strictement positifs) comme modèles discrets d’évolutions relatives constantes (croissance exponentielle) :
Relation de récurrence ;
Sens de variation ;
Représentation graphique.
- Modéliser une situation à l’aide d’une suite.
- Reconnaître si une situation relève d’un modèle discret de croissance linéaire ou exponentielle.
- Calculer un terme de rang donné d’une suite définie par une relation fonctionnelle ou une relation de récurrence.
- Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d’une suite.
- Conjecturer, à partir de sa représentation graphique, la nature arithmétique ou géométrique d’une suite.
- Démontrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique.
- Déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique ou géométrique à l’aide de la raison.
- Calculer un terme de rang donné d’une suite, une somme finie de termes.
- Déterminer une liste de termes d’une suite et les représenter.
- Déterminer le rang à partir duquel les termes d’une suite sont supérieurs ou inférieurs à un seuil donné, ou aux termes de même rang d’une autre suite.
4. Fonctions de la variable réelle
- Différents modes de représentation d’une fonction : expression littérale, représentation graphique ;
- Notations $y=ƒ(x)$ et $x\mapsto ƒ(x)$;
- Taux de variation, entre deux valeurs de la variable $x$, d’une grandeur $y$ vérifiant $y=ƒ(x)$ ;
- Fonctions monotones sur un intervalle,lien avec le signe du taux de variation.
- Représentations graphiques des fonctions : $x↦ax^2$, $x\mapsto ax^2+b$, $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$ ;
- Axes de symétrie
- Racines et signe d’un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée (le calcul des racines à l’aide du discriminant ne figure pas au programme).
- Représentations graphiques des fonctions : $x\mapsto ax^3$, $x\mapsto ax^3+b$;
- Racines et signe d’un polynôme de degré 3 de la forme $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ ;
- Équation $x^3=c$ ; racine cubique d’un nombre réel positif ; notations $c^{\frac{1}{3}}$ et $\sqrt{3}{c}$.
- Modéliser la dépendance entre deux grandeurs à l’aide d’une fonction.
- Résoudre graphiquement une équation du type $ƒ(x)=k$ ou une inéquation de la forme $ƒ(x)<k$ ou $ƒ(x)>k$.
- Interpréter le taux de variation comme pente de la sécante à la courbe passant par deux points distincts.
- Associer une parabole à une expression algébrique de degré 2, pour les fonctions de la forme : $x↦ax^2$, $x\mapsto ax^2+b$, $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$.
- Déterminer des éléments caractéristiques de la fonction $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$. (signe, extremum, allure de la courbe, axe de symétrie…).
- Vérifier qu’une valeur conjecturée est racine d’un polynôme de degré 2 ou 3.
- Savoir factoriser, dans des cas simples,une expression du second degré connaissant au moins une de ses racines.
- Utiliser la forme factorisée (en produit de facteurs du premier degré) d’un polynôme de degré 2 ou 3 pour trouver ses racines et étudier son signe.
- Résoudre des équations de la forme $x^2=c$ et $x^3=c$, avec $c$ positif.
Calculer une valeur approchée d’une solution d’une équation par balayage.
5. Dérivation
- Sécantes à une courbe passant par un point donné;taux de variation en un point ;
- Tangente à une courbe en un point,définie comme position limite des sécantes passant par ce point ;
- Nombre dérivé en un point défini comme limite du taux de variation en ce point ;
- Équation réduite de la tangente en un point.
- Fonction dérivée ;
- Fonctions dérivées de : $x\mapsto x^2$, $x\mapsto x^3$
- Dérivée d’une somme, dérivée de $kƒ$ ($k\in \R$), dérivée d’un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 ;
- Sens de variation d’une fonction, lien avec le signe de la dérivée ;
- Tableau de variations, extremums.
- Interpréter géométriquement le nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente.
- Construire la tangente à une courbe en un point.
- Déterminer l’équation réduite de la tangente à une courbe en un point.
- Calculer la dérivée d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à trois.
- Déterminer le sens de variation et les extremums d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
6. Statistiques et probabilités
- Tableau croisé d’effectifs.
- Fréquence conditionnelle, fréquence marginale.
Exercices - Calculer des fréquences conditionnelles et des fréquences marginales.
- Compléter un tableau croisé par des raisonnements sur les effectifs ou en utilisant des fréquences conditionnelles.
Situations algorithmiques - À partir de deux listes représentant deux caractères d’individus, déterminer un sous-ensemble d’individus répondant à un critère (filtre, utilisation des ET, OU, NON).
- Dresser le tableau croisé de deux variables catégorielles à partir du fichier des individus et calculer des fréquences conditionnelles ou marginales.
- Probabilité conditionnelle ; notation $P_A(B)$.
- Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous forme de tableau croisé d’effectifs.
- On explicite l’expérience aléatoire sous-jacente qui consiste à prélever au hasard un individu dans la population étudiée.
- Il s’agit, en classe de première, de transposer aux probabilités conditionnelles le travail sur les fréquences conditionnelles, en calculant la probabilité de B sachant A sous la forme : $$P_A(B)=\dfrac{Card(B\cap A)}{Card(A)}$$
- La représentation à l’aide d’un arbre de probabilités et la formule des probabilités totales relèvent du programme de la classe terminale.
- Probabilité associée à une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes.
- Probabilité associée à la répétition d’épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli.
Exercices - Représenter par un arbre de probabilités une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes et déterminer les probabilités des événements associés aux différents chemins.
- Représenter par un arbre de probabilités la répétition de $n$ épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli avec $\leq 4$ afin de calculer des probabilités.
- Variable aléatoire discrète : loi de probabilité, espérance.
- Loi de Bernoulli (0,1) de paramètre $p$, espérance.
Exercices
- Interpréter en situation les écritures $\{ X=a \}$, $\{ X\leq a\}$ où $X$ désigne une variable aléatoire et calculer les probabilités correspondantes $P(X=a)$ et $P(X\leq a)$.
- Calculer et interpréter en contexte l’espérance d’une variable aléatoire discrète.
- Reconnaître une situation aléatoire modélisée par une loi de Bernoulli.
- Simuler $N$ échantillons de taille $n$ d’une loi de Bernoulli et représenter les fréquences observées des 1 par un histogramme ou un nuage de points.
- Interpréter sur des exemples la distance à $p$ de la fréquence observée des 1 dans un échantillon de taille $n$ d’une loi de Bernoulli de paramètre $p$.
- Simuler des échantillons de taille $n$ d’une loi de Bernoulli à partir d’un générateur de nombres aléatoires entre 0 et 1.
- Représenter par un histogramme ou par un nuage de points les fréquences observées des 1 dans $N$ échantillons de taille $n$ d’une loi de Bernoulli.
- Compter le nombre de valeurs situées dans un intervalle de la forme $[p-ks;p+ks]$ pour $k\in \{ 1;2;3\}$.
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