Mettre en équation un problème


La résolution d’un problème scientifique ou un problème de la vie courante passe souvent par mettre en équation le problème. Cette étape s’appelle une modélisation mathématique de la situation, en introduisant des variables ou des inconnues.

On résout le problème mathématique, puis on traduit les solutions dans le contexte réel.


Exercice résolu n°1

Exercice résolu 1. Lors d’un match de football dans un village, il y avait 1000 spectateurs. Les spectateurs assis dans les tribunes paient 10 € le billet d’entrée. Les spectateurs debout derrière les grilles paient 5 € le billet d’entrée. La recette totale du match est de 8270 €.
Calculer le nombre de spectateurs de chaque catégorie.
Commencer par mettre en équation le problème.

Méthode et résolution.
Ici, en réalité, nous avons deux inconnues. Le nombre de spectateurs assis et le nombre de spectateurs debout. On pourrait utiliser la résolution par substitution d’un système de deux équations à deux inconnues.

Dans la méthode suivante, nous n’utiliserons qu’une seule inconnue.

1ère étape :
Choisir et nommer l’inconnue.
On appelle $x$ le nombre de spectateurs assis. (On peut choisir les spectateurs debout).

2ème étape :
Calculer l’autre inconnue en fonction de $x$ s’il y a lieu.
On sait qu’il y a 1000 spectateurs au total et $x$ spectateurs assis.
Donc, il y a $(1000 – x)$ spectateurs debout.

3ème étape :
Traduire les données du problème par une équation ou une inéquation :
On sait que :
$\qquad$ Recette spectateurs assis
$\qquad +$ Recette spectateurs debout
$\qquad =$ Recette totale.
Donc : $$\color{brown}{10\times x} + \color{blue}{5\times(1000- x)} = \color{vert}{8270}$$

4ème étape :
Résoudre l’équation ou l’inéquation algébriquement :
$$\begin{eqnarray}
10\times x+5\times(1000- x)&=&8270 \\
10 x+ 5000 -5x &=& 8270 \\
10x-5x+5000-5000 &=& 8270-5000 \\
5x &=& 3270 \\
x &=& \dfrac{3270}{5}\\
x &=& 654\\
\end{eqnarray}$$
Par conséquent, cette équation admet une seule solution $x=654$.

5ème étape :
Traduire le résultat en langage courant et conclure en répondant à la question posée.

Comme $x=654$, on en déduit que :
$\qquad 1000-x= 1000-654 =346$.

Conclusion : Il y avait 654 spectateurs assis et 346 spectateurs debout.

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