6. Mise en équation d’un problème

Équations-produits, équations quotients. Théorème du produit nul

La maîtrise du calcul numérique et algébrique de base est absolument nécessaire aussi bien pour pouvoir aborder d’autres notions plus complexes, que dans la vie de tous les jours.
Nous abordons ici les méthodes de résolution des équations du 1er degré. la résolution d’équations-produits. Le théorème du produit nul. En particulier, les équations de la forme $x^2= a$. Nous abordons également les méthodes de résolution d’équations-quotients, avec des valeurs interdites et enfin, nous donnons des exemples de mise en équation d’un problème. Ces notions sont présentées ici par compétence.

  1. Résolution d’équations du 1er degré
  2. Résolution d’équations-produits
  3. Théorème du produit nul
  4. Résolution d’équations de la forme $x^2= a$
  5. Résolution d’équations-quotients. Valeurs interdites
  6. Mise en équation d’un problème.

Exercice résolu n°1

Exercice résolu 1. Lors d’un match de football dans un village, il y avait 1000 spectateurs. Les spectateurs assis dans les tribunes paient 10 € le billet d’entrée. Les spectateurs debout derrière les grilles paient 5 € le billet d’entrée. La recette totale du match est de 8270 €.
Calculer le nombre de spectateurs de chaque catégorie.

Méthode et résolution.
Ici, en réalité, nous avons deux inconnues. Le nombre de spectateurs assis et le nombre de spectateurs debout. On pourrait utiliser la résolution par substitution d’un système de deux équations à deux inconnues.

Dans la méthode suivante, nous n’utiliserons qu’une seule inconnue.

1ère étape :
Choisir et nommer l’inconnue.
On appelle $x$ le nombre de spectateurs assis. (On peut choisir les spectateurs debout).

2ème étape :
Calculer l’autre inconnue en fonction de $x$ s’il y a lieu.
On sait qu’il y a 1000 spectateurs au total et $x$ spectateurs assis.
Donc, il y a $(1000 – x)$ spectateurs debout.

3ème étape :
Traduire les données du problème par une équation ou une inéquation :
On sait que :
$\qquad$ Recette spectateurs assis
$\qquad +$ Recette spectateurs debout
$\qquad =$ Recette totale.
Donc : $$\color{brown}{10\times x} + \color{blue}{5\times(100- x)} = \color{vert}{8270}$$

4ème étape :
Résoudre l’équation ou l’inéquation algébriquement :
$$\begin{eqnarray}
10\times x+5\times(100- x)&=&8270 \\
10 x+ 5000 -5x &=& 8270 \\
5x &=& 8270-5000 \\
5x &=& 3270 \\
x &=& \dfrac{3270}{5}\\
x &=& 654\\
\end{eqnarray}$$
Par conséquent, cette équation admet une seule solution $x=654$.

5ème étape :
Traduire le résultat en langage courant et conclure en répondant à la question posée.
Comme $x=654$, on en déduit : $1000-x= 1000-654 =346$.

Conclusion : Il y avait 654 spectateurs assis et 346 spectateurs debout.

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