Comparer deux effectifs et comparer deux proportions

Exprimer une proportion de différentes manières


Les notions de proportions et de pourcentages sont fondamentales aussi bien dans la vie courante que dans la vie professionnelle.
Il est absolument nécessaire d’abord de maîtriser les concepts, puis de savoir effectuer les calculs appropriés. Notamment pour appliquer ou calculer, puis exprimer une proportion sous différentes formes (décimale, fractionnaire, pourcentage) et calculer des proportions de proportions.


5. Comparer deux effectifs et comparer deux proportions

Propriété n°5.
1°) Si deux sous-populations font partie d’une même population de référence, alors leurs proportions sont rangées dans le même ordre que les effectifs.
2°) Si deux sous-populations font partie de populations de référence différentes, alors leurs proportions et les effectifs ne sont pas forcément rangées dans le même ordre.


Exercice résolu 1.
Sur les 25 élèves de la classe 1STMG2, il y a 14 filles. Comparer les effectifs et les proportions des filles et des garçons dans cette classe.

Corrigé.
L’effectif de la population de référence est de $n_E= 25$.
D’une part, l’effectif du groupe des filles est $n_F= 14$ et l’effectif du groupe des garçons est $n_G = 11$. Par suite, on a bien : $\boxed{\; n_F > n_G\;}$.
D’autre part, $p_F=\dfrac{n_F}{n_E}=\dfrac{14}{25}$ et $p_G=\dfrac{n_G}{n_E}=\dfrac{11}{25}$. Ces deux fractions ont le même dénominateurs, il suffit de comparer leurs numérateurs. Doù : $$\color{brown}{\boxed{\; n_F>n_G \Rightarrow p_F>p_G\;}}$$
Conclusion 1. On constate bien que, lorsque les deux sous-populations font partie d’une même population de référence, les proportions et les effectifs sont rangés dans le même ordre.


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Exercice résolu 2.
En 2010, il y avait 30 élèves en TS1 et 35 en TS2. 28 élèves ont réussi leur bac en TS1 et 30 en TS2. Comparer les effectifs et les proportions des élèves qui ont réussi au bac dans les deux classes.

Corrigé. On définit d’abord les populations de référence :
$E$ = Ensemble des élèves de la classe TS1 et $A$ = le groupe des élèves qui ont réussi au bac en TS1. $F$ = Ensemble des élèves de la classe TS2 et $B$ = le groupe des élèves qui ont réussi au bac en TS2.

On a $n_E=30$ et $n_A=28$. De même $n_F=35$ et $n_B=30$.
On a bien $\boxed{\;n_A< n_B\;}$.
Calculons maintenant les proportions :
$p_A=\dfrac{n_A}{n_E}= \dfrac{28}{30}\simeq 0,9333…$ et $p_B=\dfrac{n_B}{n_F}= \dfrac{30}{35}\simeq 0,85714…$
Il est clair que $\color{brown}{\boxed{\;p_A> p_B\;}}$.

Les deux sous-populations ne font pas partie de la même population de référence.
On constate bien que, dans ce cas, les proportions et les effectifs ne sont pas rangés dans le même ordre !


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Exercice 3.
Si on reprend le même que l’exemple 2 avec 33 élèves qui ont réussi au bac dans la classe TS2. Montrer que, dans ce cas, même si les populations de référence ne sont pas les mêmes, n’ont pas le même effectifs, les proportions et les effectifs sont rangés dans le même ordre.

Corrigé. Autre présentation (On peut faire les calculs sur un tableur)
$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline
\textrm{Pop. de réf. } & TS1 & TS2 & \textrm{Les 2 TS}\\ \hline
\textrm{Effectif total} & 30 & 35 & 65\\ \hline
\textrm{Effectif partiel} & 28 & 30 & 58\\ \hline
\textrm{Proportions} & 0,933.. & 0,857.. & 0,892.. \\ \hline
\end{array}$$
Les deux sous-populations ne font pas partie de la même population de référence.
Et pourtant, on constate que, dans ce cas, les proportions et les effectifs sont rangés dans le même ordre !

Conclusions.
1°) Si deux sous-populations font partie d’une même population de référence, alors leurs proportions sont rangées dans le même ordre que les effectifs.
2°) Si deux sous-populations font partie de populations de référence différentes, alors leurs proportions et les effectifs ne sont pas forcément rangées dans le même ordre.


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