Résolution graphique d’une équation du type : $f(x)=k$

Liens connexes

  1. Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
  2. Repérage d’un point dans le plan.
  3. Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
  4. Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
  5. Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
  6. Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
  7. Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
  8. Sens de variation d’une fonction numérique de la variable réelle.
  9. Déterminer graphiquement le sens de variations d’une fonction.
  10. Tableau de variations d’une fonction.
  11. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
  12. Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.

1. Résolution graphique d’une équation du type $f(x)=k$

Soit $f$ une fonction définie sur $D$, un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$ et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O\, ;I ;J)$. Soit $k\in\R$, un nombre réel donné, et $\Delta_k$ la droite parallèle à l’axe des abscisses, d’équation $y=k$.
La droite $\Delta_k$ peut couper en un ou plusieurs points (ou ne pas couper) la courbe $C_f$.

Définition 1.
Résoudre graphiquement une équation du type $f(x)=k$ dans $D$, revient à déterminer l’ensemble des antécédents de $k$ dans $D$ par la fonction $f$ s’il en existe.

Figure 1. Résolution d’une équation $f(x)=k$

Propriété 1.
Résoudre graphiquement une équation du type $f(x)=k$ dans un intervalle $D$, équivaut à chercher l’ensemble des abscisses des points d’intersection s’il en existe, de la courbe $C_f$ avec la droite $\Delta_k$ parallèle à l’axe des abscisses, d’équation $y=k$.

2. Exemples résolus

Dans les quatre exercices ci-dessous, on considère la fonction définie sur l’intervalle $D=[-2;4]$ par sa courbe représentative $C_f$ (Figure 1).

Exemple résolu n°1.
Résoudre graphiquement l’équation suivante ($E_1$) : $f(x) = 1$.

Corrigé.
1°) Résolution de l’équation ($E_1$) $f(x) = 1$.
On trace la droite $\Delta_1$ d’équation $y = 1$ et on cherche les abscisses des points d’intersection, s’il en existe, de la courbe $C_f$ avec la droite $\Delta_1$.

Figure 2. Résoudre graphiquement l’équation $f(x)=1$

La droite $\Delta$ coupe la courbe $C_f$ en deux points $A$ et $B$ d’abscisses respectives : $x = –1$ et $x = 3$. On peut alors conclure de deux manières :

Dans le registre des équations :
Conclusion 1. L’équation ($E_1$) « $f(x) = 1$ » admet deux solutions $–1$ et $3$. Donc, l’ensemble des solutions de ($E_1$) est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_1=\left\{–1 ;3\right\}\quad}}$$

Dans le registre des fonctions :
Conclusion 2. Le nombre $1$ admet deux antécédents par la fonction $f$, qui sont $–1$ et $3$.

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Exemple résolu n°2.
Résoudre graphiquement l’équation suivante ($E_2$) : $f(x) = 0$.

Corrigé.
Résolution de l’équation ($E_2$) $f(x) = 0$.
On trace la droite $\Delta_0$ d’équation $y = 0$ (qui n’est autre que l’axe des abscisses) et on cherche les abscisses des points d’intersection, s’il en existe, de la courbe $C_f$ avec la droite $\Delta_0$.

Figure 3. Résoudre graphiquement l’équation $f(x)=0$

L’axe des abscisses coupe la courbe $C_f$ en deux points $A$ et $B$ d’abscisses respectives : $x = a_1$ et $x = a_2$ (valeurs exactes), avec $a_1\simeq -1,2$ et $a_2\simeq 3,2$ (valeurs approchées). On peut alors conclure de deux manières :

Dans le registre des équations :
Conclusion 1. L’équation ($E_2$) « $f(x) = 0$ » admet deux solutions $a_1\simeq -1,2$ et $a_2\simeq 3,2$. Donc, l’ensemble des solutions de ($E_2$) est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_2=\left\{a_1;a_2\right\}\quad}}$$
Attention ! On ne peut pas donner des valeurs approchées comme solutions d’une équation. Par contre, on peut donner des valeurs approchées des solutions (exactes) de l’équation.

Dans le registre des fonctions :
Conclusion 2. Le nombre $0$ admet deux antécédents par la fonction $f$, qui sont $a_1\simeq -1,2$ et $a_2\simeq 3,2$.

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Exemple résolu n°3.
Résoudre graphiquement l’équation suivante ($E_1$) : $f(x) = 5$.

Corrigé.
1°) Résolution de l’équation ($E_1$) $f(x) = 5$.
On trace la droite $\Delta_5$ d’équation $y = 5$ et on cherche les abscisses des points d’intersection, s’il en existe, de la courbe $C_f$ avec la droite $\Delta_5$.

Figure 4. Résoudre graphiquement l’équation $f(x)=5$

La droite $\Delta_5$ coupe la courbe $C_f$ en un seul point $A$ d’abscisses : $x = 1$. On peut alors conclure de deux manières :

Dans le registre des équations :
Conclusion 1. L’équation ($E_3$) « $f(x) = 0$ » admet une unique solution $x=1$. Donc, l’ensemble des solutions de ($E_3$) est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_3=\left\{1\right\}\quad}}$$

Dans le registre des fonctions :
Conclusion 2. Le nombre $5$ admet un unique antécédent par la fonction $f$, qui est $x=1$.

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Exemple résolu n°4.
Résoudre graphiquement l’équation suivante ($E_1$) : $f(x) = 6$.

Corrigé.
1°) Résolution de l’équation ($E_1$) $f(x) = 6$.
On trace la droite $\Delta_6$ d’équation $y = 6$ et on cherche les abscisses des points d’intersection, s’il en existe, de la courbe $C_f$ avec la droite $\Delta_6$.

Figure 4. Résoudre graphiquement l’équation $f(x)=6$

La droite $\Delta_6$ ne coupe la courbe $C_f$ en aucun point.
On peut alors conclure de deux manières :

Dans le registre des équations :
Conclusion 1. L’équation ($E_4$) « $f(x) = 6$ » n’admet aucune solution. Donc, l’ensemble des solutions de ($E_4$) est vide.
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_4=\emptyset\quad}}$$

Dans le registre des fonctions :
Conclusion 2. Le nombre $6$ n’admet aucun antécédent par la fonction $f$.

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3. Exercices supplémentaires pour s’entraîner

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