Effectuer des calculs avec les puissances

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1. Puissances d’exposant un entier positif

Définition D1.
Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à 2 et $a$ un nombre relatif. Alors $a^n$ désigne le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$. Ce qui donne :
$${\mathrm (D1)}\qquad \color{red}{\boxed{\; a^n= \underbrace{a\times a\times…\times a}_{n\; \rm facteurs} \;}}$$
$\color{red}{a^n}$ se lit « $a$ élevé à la puissance $n$ » ou « $a$ puissance $n$ » ou encore « $a$ exposant $n$ ». On dit que $n$ est $\color{red}{l’exposant}$ de la puissance de $a$.

De plus : $\color{red}{\boxed{\; a^1=a\; }}$ et si $a\neq 0$, alors $\color{red}{\boxed{\; a^0=1\; }}$. Le cas particulier $\color{red}{0^0}$ n’est pas défini.

EXEMPLES.
$2^3=2\times 2\times 2=8$.
$2^5= 2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$.
$(-3)^4= (-3)\times (-3)\times (-3) \times (-3) =81$.
$(-3)^5= (-3)\times (-3)\times (-3) \times (-3) \times (-3) =-243$.

2. Puissances d’exposant un entier négatif

Définition D2.
Soit $n$ un entier positif, donc ($–n$) est un entier négatif. Soit $a$ un nombre relatif non nul. Alors Le nombre $a^{-n}$ est égal à l’inverse de $a^n$. Autrement dit, pour tout nombre relatif $a$, on a : $$ {\mathrm (D2)}\qquad \color{red}{\boxed{\; a^{-n}=\frac{1}{a^n}\; }}$$

EXEMPLES.
$ 2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$
$ (-3)^{-2}=\dfrac{1}{ (-3) ^2}=\dfrac{1}{9}$
$ (-3)^{-5}=\dfrac{1}{ (-3) ^5}= – \dfrac{1}{243}$.

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3. Propriétés

Propriétés.
Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs non nuls ($a\neq 0$ et $b\neq 0$) et $n$ et $p$ deux entiers relatifs quelconques. Alors on a les propriétés suivantes :
$\qquad P_1)$ : $a^{n+p}=a^n \times a^p$.
$\qquad P_2)$ : $a^{n-p}=\dfrac{a^n}{a^p}$.
$\qquad P_3)$ : $(a^n)^p=a^{n \times p}$.
$\qquad P_4)$ : $(ab)^n=a^n \times b^n$.
$\qquad P_5)$ : $\left( \dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$.

Démonstrations.
Nous allons faire une démonstration pour $n$ et $p$ des entiers strictement positifs.

($P_1$) : Soit $a$ un nombre réel quelconque et $n$ et $p$ des entiers strictement positifs. Alors
\begin{eqnarray*}
a^{n+p} &=& \underbrace{a\times a\times…\times a}_{n+p\; \rm facteurs} \\
&=& \underbrace{a\times a\times…\times a}_{n\; \rm facteurs} \times
\underbrace{a\times a\times…\times a}_{p\; \rm facteurs} \\
a^{n+p} &=& a^n \times a^p\\
\end{eqnarray*}

($P_2$) : Soit $a$ un nombre réel non nul et $n$ et $p$ des entiers strictement positifs. Alors, d’après la propriété (P1), on a :
$a^{n-p}\times a^p = a^{n-p+p}=a^n$. Ce qui montre que : $a^{n-p}=\dfrac{a^n}{a^p}$.

($P_3$) : Soit $a$ un nombre réel quelconque et $n$ et $p$ des entiers strictement positifs. Alors, par définition (D1) :
\begin{eqnarray*}
(a^n)^{p} &=& \underbrace{ (a^n) \times (a^n) \times…\times (a^n) }_{p\; \rm facteurs} \\
&=& a^{ \overbrace{n+n+…+n}^{p\; \rm termes} }\\
(a^n)^{p} &=& a^{n\times p}\\
\end{eqnarray*}

($P_4$) : Soient $a$ et $b$ deux nombres réels quelconques et $n$ un entier strictement positif. Alors, par définition (D1) :
\begin{eqnarray*}
(a\times b)^n &=& \underbrace{ (a\times b)\times (a\times b)\times…\times
(a\times b) }_{n\; \rm facteurs} \\
&=& \underbrace{a\times a\times…\times a}_{n\; \rm facteurs} \times
\underbrace{b\times b\times…\times b}_{n\; \rm facteurs} \\
(a\times b)^n &=& a^n\times b^n\\
\end{eqnarray*}

($P_5$) : Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls et $n$ un entier strictement positif. Alors, par définition (D1) :
\begin{eqnarray*}
\left(\dfrac{a}{b}\right)^n &=& \underbrace{\dfrac{a}{b}\times \dfrac{a}{b} \times…\times
\dfrac{a}{b} }_{n\; \rm facteurs} \\
&=& \dfrac{ \overbrace{a\times a\times…\times a}^{n\; \rm facteurs}}
{\underbrace{b\times b\times…\times b}_{n\; \rm facteurs}} \\
\left(\dfrac{a}{b}\right)^n &=& \dfrac{ a^n}{b^n}\\
\end{eqnarray*}

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4. Puissances et opérations

Ordre de priorité des opérations

Propriétés.
– Dans une suite de calculs sans parenthèses, les puissances sont prioritaires par rapport à toutes les opérations.
– Dans une suite de calculs, on effectue les opérations dans l’ordre suivant :
$\qquad$ 1°) Les opérations entre parenthèses ;
$\qquad$ 2°) Les puissances ;
$\qquad$ 3°) Les multiplications et les divisions dans l’ordre où elles se présentent ;
$\qquad$ 4°) Les additions et les soustractions dans l’ordre où elles se présentent.

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5. Exercices

Exercice résolu n° 1. Calculer :
$A=5\times 2^3-2^2\times 7$ ;
$B= (5\times 2)^3-2^2\times 7$ ;
$C=5\times (2^3-2)^2\times 7$ ;
et $D=5\times (2^3-2^2)^2\times 7$ ;

Exercice résolu n°2. Écrire sous la forme d’une seule puissance :
$E=\dfrac{5^4\times (5^2)^{-3}}{5^3}$ et $F=\dfrac{6^3\times 2^5 \times 3^3}{2^8\times 3^{-2}}$.

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