Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan
Prérequis
$\bullet$ Intervalles
$\bullet$ Repérage d’un point dans le plan.
$\bullet$ Domaine de définition d’une fonction de la variable réelle
Liens connexes
- Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
- Repérage d’un point dans le plan.
- Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
- Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
- Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
- Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
- Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
- Sens de variation d’une fonction numérique de la variable réelle.
- Déterminer graphiquement le sens de variations d’une fonction.
- Tableau de variations d’une fonction.
- Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
- Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.
1. Représentation graphique d’une fonction
Définition 3.
Soit $D$ un intervalle ou une réunion finie d’intervalles de $\R$. Soit $f$ une fonction définie sur $D$.
La « représentation graphique » ou « courbe représentative » de $f$, notée $C_f$, dans un repère donné (orthonormé ou non) est l’ensemble de tous les points $M(x;y)$ du plan dont les coordonnées $(x,y)$ vérifient $y=f(x)$. Autrement dit, pour tout $x\in D$ et $y\in\R$, on a :
$$\color{brown}{\boxed{\quad\text{Si }x\in D~:~\text{alors }M(x;f(x))\in C_f\quad}}$$
Ainsi, étant donné une fonction $f$ définie sur un intervalle $D$ de $\R$, on lui associe une courbe, notée $C_f$ dans un repère du plan.
Propriété 1.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $D$ de $\R$ et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O\, ;I,J)$. Alors : la courbe $C_f$ a pour équation : $y=f(x)$. Autrement dit, pour tout $x\in D$, $y\in\R$ :
$$\color{brown}{\boxed{\quad M(x, y)\in C_f \Longleftrightarrow y = f(x)\quad}}$$

2. Fonction associée à une courbe
Inversement, étant donné une courbe $C$ dans un repère donné (orthonormé ou non), on peut lui associer la fonction $f$ sous certaine conditions
Propriété 2.
Soit $C$ une courbe construite dans un repère $(O\, ;I,J)$. Alors :
$C$ est la courbe représentative dans un repère $(O\, ;I,J)$, d’une fonction $f$ définie sur un intervalle $D$ de $\R$, si et seulement si :
Pour tout $x\in D$, la droite parallèle à l’axe $(Oy)$ coupe la courbe en un point unique $M(x,y)\in C$
En effet : Si $x\in D$ et la droite parallèle à l’axe $(Oy)$ coupe la courbe en un point unique $M(x,y)\in C$, alors on pose $f(x)=y$.
On définit ainsi une fonction $f$ sur $D$ telle que $D_f=D$ et $C_f=C$ sur $D$. Ainsi, tout $x\in D$ admet exactement une image $y$ par la fonction $f$. On obtient donc :
$$\color{brown}{\boxed{\quad [M(x, y)\in C \Leftrightarrow y = f(x) \Leftrightarrow M(x, y)\in C_f]\quad}}$$
$C$ devient la courbe représentative $C_f$ de $f$ sur $D$.
3. Exercices résolus
Exercice résolu n°1. Parmi les courbes suivantes, lesquelles sont des courbes représentatives de fonction. Justifiez votre réponse.




4. Exercices supplémentaires pour s’entraîner
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