Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan

Prérequis

$\bullet$ Intervalles
$\bullet$ Repérage d’un point dans le plan.
$\bullet$ Domaine de définition d’une fonction de la variable réelle

Liens connexes

  1. Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
  2. Repérage d’un point dans le plan.
  3. Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
  4. Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
  5. Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
  6. Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
  7. Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
  8. Sens de variation d’une fonction numérique de la variable réelle.
  9. Déterminer graphiquement le sens de variations d’une fonction.
  10. Tableau de variations d’une fonction.
  11. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
  12. Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.

1. Représentation graphique d’une fonction

Définition 3.
Soit $D$ un intervalle ou une réunion finie d’intervalles de $\R$. Soit $f$ une fonction définie sur $D$.
La « représentation graphique » ou « courbe représentative » de $f$, notée $C_f$, dans un repère donné (orthonormé ou non) est l’ensemble de tous les points $M(x;y)$ du plan dont les coordonnées $(x,y)$ vérifient $y=f(x)$. Autrement dit, pour tout $x\in D$ et $y\in\R$, on a :
$$\color{brown}{\boxed{\quad\text{Si }x\in D~:~\text{alors }M(x;f(x))\in C_f\quad}}$$

Ainsi, étant donné une fonction $f$ définie sur un intervalle $D$ de $\R$, on lui associe une courbe, notée $C_f$ dans un repère du plan.

Propriété 1.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $D$ de $\R$ et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O\, ;I,J)$. Alors : la courbe $C_f$ a pour équation : $y=f(x)$. Autrement dit, pour tout $x\in D$, $y\in\R$ :
$$\color{brown}{\boxed{\quad M(x, y)\in C_f \Longleftrightarrow y = f(x)\quad}}$$

$C_f$ courbe d’une fonction définie sur $[-3;+7[$

2. Fonction associée à une courbe

Inversement, étant donné une courbe $C$ dans un repère donné (orthonormé ou non), on peut lui associer la fonction $f$ sous certaine conditions

Propriété 2.
Soit $C$ une courbe construite dans un repère $(O\, ;I,J)$. Alors :
$C$ est la courbe représentative dans un repère $(O\, ;I,J)$, d’une fonction $f$ définie sur un intervalle $D$ de $\R$, si et seulement si :
Pour tout $x\in D$, la droite parallèle à l’axe $(Oy)$ coupe la courbe en un point unique $M(x,y)\in C$

En effet : Si $x\in D$ et la droite parallèle à l’axe $(Oy)$ coupe la courbe en un point unique $M(x,y)\in C$, alors on pose $f(x)=y$.
On définit ainsi une fonction $f$ sur $D$ telle que $D_f=D$ et $C_f=C$ sur $D$. Ainsi, tout $x\in D$ admet exactement une image $y$ par la fonction $f$. On obtient donc :
$$\color{brown}{\boxed{\quad [M(x, y)\in C \Leftrightarrow y = f(x) \Leftrightarrow M(x, y)\in C_f]\quad}}$$
$C$ devient la courbe représentative $C_f$ de $f$ sur $D$.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Parmi les courbes suivantes, lesquelles sont des courbes représentatives de fonction. Justifiez votre réponse.

Corrigé.
1°) La courbe $C_1$ représente une fonction $f_1$ définie sur l’intervalle $D=]-3;4]$.
En effet, pour tout $a\in ]-3;4]$, la droite parallèle à l’axe des ordonnées, d’équation $x=a$, coupe la courbe $C_1$ en un seul point $M(a;b)\in C_1$.

Par conséquent, tout $a\in ]-3;4]$ admet une image et une seule $b=f_1(a)$ par la fonction $f_1$.

2°) La courbe $C_2$ ne peut pas être la représentation graphique d’une fonction sur $]-2,6\, ;3]$ car, il existe des valeurs de $x$ qui ont deux images.
En effet, la droite parallèle à l’axe des ordonnées, d’équation $x=0$, coupe la courbe $C_3$ en deux points points $M_1(0;-0,6)\in C_3$ et $M_2(0;1)\in C_3$.

Par conséquent, $0$ admet deux images : $-0,6$ et $1$.
Ce qui montre que $C_3$ n’est pas la représentation graphique d’une fonction.

3°) La courbe $C_3$ représente une fonction $f_3$ définie sur l’intervalle $D=[-3;4]$.
En effet, pour tout $a\in ]-3;4]$, la droite parallèle à l’axe des ordonnées, d’équation $x=a$, coupe la courbe $C_3$ en un seul point $M(a;b)\in C_3$.

Par conséquent, tout $a\in ]-3;4]$ admet une image et une seule $b=f_3(a)$ par la fonction $f_3$.

4°) La courbe $C_4$ ne peut pas être la représentation graphique d’une fonction sur $]-2,5\, ;2,8]$ car, il existe des valeurs de $x$ qui ont deux images.
En effet, la droite parallèle à l’axe des ordonnées, d’équation $x=2$, coupe la courbe $C_4$ en deux points points $M_1(2;0)\in C_4$ et $M_2(2;2)\in C_4$.

Par conséquent, $2$ admet deux images : $0$ et $2$.
Ce qui montre que $C_4$ n’est pas la représentation graphique d’une fonction.

4. Exercices supplémentaires pour s’entraîner

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