Première Spécialité Mathématiques

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Sommaire : cours et exercices de Première Spé-Maths


Chapitre 01. Les fonctions polynômes du second degré.

  1. Fonction polynôme sous la forme développée réduiteMonôme. Coefficient. Polynôme. Degré. Egalité de deux polynômes. Racine d’un polynôme
  2. Fonction polynôme du second degré sous la forme développée réduite.
  3. Différentes formes remarquables d’une fonction polynôme du second degré
  4. Passage de la forme développée réduite à la forme canonique ou la forme factorisée et réciproquement
  5. Résolution de l’équation du second degré $ax^2+bx+c = 0$, $a\neq 0$
    5.b) Exercice résolu : Résolution d’une équation du second degré avec un paramètre
  6. Expression de la somme et du produit des racines d’un trinôme du second degré ($\Delta\geq0$)
  7. Factorisation et signe du trinôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq 0$
  8. Résolution d’une inéquation du second degré
  9. Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré.
  10. Tableau récapitulatif du signe d’une fonction polynôme du second degré.

Chapitre 02. Géométrie repérée dans le plan.
Équations de droites et de cercles dans un repère orthonormé du plan.

  1. Vecteurs colinéaires dans le plan
  2. Décomposition d’un vecteur dans le plan
  3. Vecteur directeur d’une droite.
  4. Équations cartésiennes de droites.
  5. Vecteur normal à une droite.
  6. Équation d’un cercle dans un repère orthonormé du plan
  7. Éléments caractéristiques d’un cercle.

Chapitre 03. Dérivation d’une fonction

  1. Déterminer le nombre dérivé d’une fonction en un point.
  2. Calculer la dérivée d’une fonction usuelle
  3. Calculer la dérivée d’une fonction. Taux de variation.
  4. Sécantes à la courbe représentative d’une fonction en un point donné. Nombre dérivé d’une fonction en un point comme limite du taux de variation. Notation $f'(a)$.
  5. $T_a$,Tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point comme « limite des sécantes ». Pente de la droite.
  6. Équation de la droite $T_a$ tangente à la courbe en a : $y=f′(a)(x−a)+f(a)$
  7. La fonction « racine carrée » n’est pas dérivable en $0$.
  8. La fonction « valeur absolue » : Étude de la dérivabilité en $0$. Lien avec la courbe représentative.

Chapitre 04. Probabilités, probabilités conditionnelles

  1. Représentation de la situation par un tableau ou un arbre pondéré.
  2. Probabilité conditionnelle d’un événement $B$ sachant un événement $A$ de probabilité non nulle. Notation $P_A(B)$.
  3. Indépendance de deux événements.
  4. Arbres pondérés et calcul de probabilités : règle du produit, de la somme.
  5. Partition de l’univers (systèmes complets d’événements). Formule des probabilités totales.
  6. Succession de deux épreuves indépendantes.
  7. Représentation par un arbre ou un tableau.

Chapitre 05. Les suites numériques

  1. Différents modes de génération d’une suite
  2. Modélisation d’une situation par une suite explicite ou une suite définie par une formule de récurrence.
  3. Sens de variation d’une suite
  4. Utilisation de la calculatrice. Conjectures
  5. Notion de limite d’une suite
  6. Suites arithmétiques :
    Exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l’étude d’évolutions successives à accroissements constants. Lien avec les fonctions affines. Calcul de $1+2+\cdots+n$.
  7. Suites géométriques :
    Exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l’étude d’évolutions successives à taux constant. Lien avec la fonction exponentielle. Calcul de $1+q+q^2+\cdots+q^n$.

Chapitre 06. Les fonctions dérivées

  1. Fonctions dérivées des fonctions carrée, inverse, cube et racine carrée.
  2. Opérations sur les fonctions dérivables : produit, somme, inverse, quotient.
  3. Fonction dérivée de $g(ax+b)$.
  4. Pour $n\in\Z$, fonction dérivée de $x \mapsto x^n$., fonction dérivée de $x\mapsto x^n$.xtoxn$
    Application de la dérivée pour étudier le sens de variation d’une fonction.

Chapitre 07. Les angles orientés. Trigonométrie

  1. Cercle trigonométrique. Longueur d’arc. Radian.
  2. Enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique. Image d’un nombre réel.
  3. Cosinus et sinus d’un nombre réel. Lien avec le sinus et le cosinus dans un triangle rectangle. Valeurs remarquables.
  4. Fonctions cosinus et sinus. Parité, périodicité. Construction des courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus.
  5. Démonstration
    Calcul de $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$, $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$
  6. Exemple d’algorithme
    Approximation de π par la méthode d’Archimède.

Chapitre 08. Probabilités, les variables aléatoires

  1. Variable aléatoire réelle:modélisation du résultat numérique d’une expérience aléatoire ; formalisation comme fonction définie sur l’univers et à valeurs réelles.
  2. Loi d’une variable aléatoire.
  3. Espérance, variance, écart-type d’une variable aléatoire.

Chapitre 09. Sens de variation et représentations graphique des fonctions

  1. Lien entre le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle et signe de sa fonction dérivée ; caractérisation des fonctions constantes.
  2. Tableau de variation d’une fonction. Recherche des extremums.
  3. Nombre dérivé en un extremum, tangente à la courbe représentative.
  4. Modélisation pour résoudre des problèmes d’optimisation.
  5. Exploiter les variations d’une fonction pour établir une inégalité.
  6. Étudier la position relative de deux courbes représentatives.
  7. Étudier, en lien avec la dérivation,une fonction polynôme du second degré: variations, extremum, allure selon le signe du coefficient de $x^2$.

Chapitre 10. Le produit scalaire de deux vecteurs

  1.  Produit scalaire à partir de la projection orthogonale et de la formule avec le cosinus.
  2. Caractérisation de l’orthogonalité.
  3. Bilinéarité, symétrie. En base orthonormée, expression du produit scalaire et de la norme, critère d’orthogonalité.
  4. Développement de $\parallel{u+v}\parallel^2$. Formule d’Al-Kashi.
  5. Transformation de l’expression $ \overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MA}$.

Chapitre 11. La fonction exponentielle

  • Définition de la fonction exponentielle, comme unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant $ƒ’=ƒ$ et $ƒ(0)=1$. L’existence et l’unicité sont admises. Notation $exp(x)$.
  • Pour tous réels $x$ et $y$, $exp(x+y)=exp(x)exp(y)$ et $exp(x)exp(-x)=1$. Nombre $e$. Notation $e^x$.
  • Pour tout réel $a$, la suite $(e^{na})$ est une suite géométrique.
  • Signe, sens de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle.

Chapitre 12. Éléments de logique


Chapitre 13. Algorithmique et programmation