Calcul de proportion d’une réunion ou d’une intersection

Calculer, appliquer une proportion

Les notions de proportions et de pourcentages sont fondamentales aussi bien dans la vie courante que dans la vie professionnelle.
Il est absolument nécessaire d’abord de maîtriser les concepts, puis de savoir effectuer les calculs appropriés. Notamment pour appliquer ou calculer, puis exprimer une proportion sous différentes formes (décimale, fractionnaire, pourcentage) et calculer des proportions de proportions.

  1. Population de référence
  2. Calculer, appliquer une proportion
  3. Exprimer une proportion ou une fréquence de différentes manières
  4. Calculer un effectif connaissant une proportion
  5. Comparer deux effectifs et comparer deux proportions
  6. Réunion, intersection et proportions
  7. Présentation de proportions dans un tableau croisé
  8. Sous-populations disjointes
  9. Sous-populations contraires
  10. Proportions échelonnées. Calcul d’une proportion de proportions

6. Réunions, intersections et proportions

6.1. Réunion et intersection

Définition 1.
On considère deux sous-populations $A$ et $B$ d’une même population de référence $E$. On note $A\cap B$ la sous-population de $E$, constituée de tous les individus de $E$ qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$. $A\cap B$ est l’ensemble des individus communs à $A$ et $B$. $A\cap B$ s’appelle l’intersection de $A$ et $B$.

Définition 2.
De même, on note $A\cup B$ la sous-population de $E$, constituée de tous les individus de $E$ qui sont dans $A$ ou dans $B$ ou dans les deux. Donc $A\cup B$ est constitué de tous les individus de $E$ qui appartiennent à au moins une des deux sous-populations $A$ ou $B$. $A\cup B$ s’appelle la réunion de $A$ et $B$.

Figure 1. Intersection et réunion de $A$ et $B$.
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6.2. Calcul de la proportion d’une réunion ou d’une intersection

Propriété n°6.
1°) Soient $A$ et $B$ deux sous-populations d’une même population de référence. Et soient $n_A$ et $n_B$ les d’effectifs et $p_A$ et $p_B$ les proportions de $A$ et $B$ respectivement. Alors l’effectif et la proportion de la réunion $A\cup B$ de $A$ et $B$ sont donnés par :
$$\color{brown}{\boxed{\begin{array}{rcl}
n_{A\cup B}&=& n_A+n_B-n_{A\cap B}\\
p_{A\cup B}&=& p_A+p_B-p_{A\cap B}\\ \end{array}\; }}$$

On note alors $n_A$, $n_B$, $n_{A\cap B}$ et $n_{A\cup B}$, les effectifs respectifs, et $p_A$, $p_B$, $p_{A\cap B}$ et $p_{A\cup B}$, les proportions respectives de $A$, $B$, $A\cap B$ et $A\cup B$ dans la population $E$.

Nous cherchons à calculer l’effectif de $A\cup B$. Si on additionnait les effectifs de $A$ et $B$, on compterait deux fois les individus qui sont dans la partie commune à $A$ et $B$. Par conséquent, il faut soustraire une fois l’effectif de $A\cap B$. Ce qui donne :
$$\boxed{\; n_{A\cup B}= n_A+n_B-n_{A\cap B}\; }$$
Et, par suite, si on divise les deux membres de cette égalité par l’effectif total $n_E$, on obtient : $$\dfrac{n_{A\cup B}}{n_E}= \dfrac{ n_A}{ n_E}+ \dfrac{n_B}{ n_E}- \dfrac{n_{A\cap B}}{ n_E}$$
Ce qui donne pour les proportions :
$$\boxed{\; p_{A\cup B}= p_A+p_B-p_{A\cap B}\; }$$

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6.3 Exemple. Fromage ou dessert !?

Exercice résolu 6.
A la fin d’un banquet, 86% des convives ont commandé un fromage, 94% des convives ont commandé un dessert et 81% ont commandé un fromage et un dessert. Calculer la proportion des convives qui ont commandé un fromage ou un dessert.

Corrigé.
La population de référence $E$ = l’ensemble de tous les convives = 100%.
La sous-population $A$ = les convives qui ont commandé un fromage.
La sous-population $B$ = les convives qui ont commandé un dessert.
$A\cap B$ = la sous-population des convives qui ont commandé un fromage et un dessert.
Enfin, $A\cup B$ = la sous-population des convives qui ont commandé un fromage ou un dessert.

D’après le cours, on sait que : $p_{A\cup B} = p_A+p_B-p_{A\cap B}$.
Donc : $p_{A\cup B} = 0,86 + 0,94 – 0,81 = 0,99 = 99\%$.

Conclusion. 99% des convives ont commandé un fromage ou un dessert.

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