Cours. Déterminer le signe d’une expression factorisée du second degré


1. Une expression factorisée du second degré.

Définition 1.
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels donnés. Pour tout $x\in\R$
1°) Une expression développée réduite du second degré est de la forme :
$$A(x)=ax^2+bx+c, \quad a\neq0$$
2°) Une expression factorisée du second degré est de la forme :
$$\begin{array}{rcl}
B(x) &=& (ax+b)cx+d), \quad a\neq0\;\text\; c\neq0\\
\text{ou bien}\quad C(x) &=& a(x-x_1)(x-x_2) \quad a\neq0\\
\end{array}$$
où $x_1$ et $x_2$ sont deux nombres réels donnés.

2. Signe d’une expression factorisée du second degré.

Propriétés 1.
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels donnés. Soit $x\in\R$
Pour déterminer le signe de l’expression factorisée du second degré $(ax+b)cx+d)$, $a\neq0$ et $c\neq0$, on étudie le signe de chacun des facteurs et on fait un tableau de signes en utilisant la règle des signes d’un produit.

3. Exercices résolus

Exercice résolu 1. Résoudre l’inéquation suivante :
$(E_1)$ : $(3x+5)(2x-4)\leqslant 0$.

Corrigé
1°) On résout l’inéquation $(E_1)$ : $(3x+5)(2x-4)\color{brown}{\leqslant 0}$.
On commence par déterminer le signe de chacun des facteurs.
$$\begin{array}{rcl}
3x+5 &\geqslant &0 \\
3x&\geqslant &-5 \\
x&\geqslant &\dfrac{-5}{3}\\
\end{array}$$
On en déduit que $3x+5<0\Leftrightarrow x<\dfrac{-5}{3}$.
De même, pour le deuxième facteur :
$$\begin{array}{rcl}
2x-4 &\geqslant & 0 \\
2x&\geqslant & 4 \\
x&\geqslant &\dfrac{4}{2}\\
x&\geqslant & 2\\
\end{array}$$
On en déduit que $2x-4<0\Leftrightarrow x<2$.
On résume ces deux informations
$$\begin{array}{|r|lcccccr|} \hline
x & -\infty & & \frac{-5}{3} & & 2 & & +\infty\\ \hline
3x+5 & & – & 0 & + & | & + &\\ \hline
2x-4 & & – & | & – & 0 & + &\\ \hline
(3x+5)(2x-4) & & + & 0 & – & 0 & + &\\
\text{produit des signes} & & & | & & | & &\\ \hline
\end{array}$$
Finalement, résoudre l’inéquation $(E_1)$ revient à déterminer sur quel(s) intervalle(s), l’expression est négative ou nulle. Ainsi, d’après le tableau de signes :
$(E_1)$ $\Leftrightarrow$ $(3x+5)(2x-4)\color{brown}{\leqslant 0}$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{-5}{3}\color{brown}{\leqslant x \leqslant} 2$ $\Leftrightarrow$ $x\in\left[\dfrac{-5}{3}; 2\right]$.
Les bornes sont comprises, car il y a des inégalités larges $\leqslant$.

Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $(E_1)$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\; {\cal S}_1=\left[\dfrac{-5}{3}; 2\right]}}$$


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Exercice résolu 2. Résoudre l’inéquation suivante :
2°) $(E_2)$ : $-5(x-3)(2x+1)<0$.

Corrigé
1°) On résout l’inéquation $(E_2)$ : $-5(x-3)(2x+1)\color{brown}{<0}$.
On commence par déterminer le signe de chacun des trois facteurs.
On sait que $-5$ est une constante et pour tout $x\in\R$ : $-5<0$.
D’autre part :
$$\begin{array}{rcl}
x-3 &\geqslant &0 \\
x&\geqslant &3 \\
\end{array}$$
On en déduit que $x-3<0\Leftrightarrow x<3$.
De même, pour le deuxième facteur :
$$\begin{array}{rcl}
2x+1 &\geqslant &0 \\
2x&\geqslant &-1 \\
x&\geqslant &\dfrac{-1}{2}\\
\end{array}$$
On en déduit que $2x+1<0\Leftrightarrow x<\dfrac{-1}{2}$.
On résume ces deux informations
$$\begin{array}{|r|lcccccr|} \hline
x & -\infty & & \frac{-1}{2} & & 3 & & +\infty\\ \hline
-5 & & – & | & – & | & – & \\ \hline
2x+1 & & – & 0 & + & | & + &\\ \hline
x-3 & & – & | & – & 0 & + &\\ \hline
(3x+5)(2x-4) & & – & 0 & + & 0 & – &\\
\text{produit des signes} & & & | & & | & & \\ \hline
\end{array}$$
Finalement, résoudre l’inéquation $(E_2)$ revient à déterminer sur quel(s) intervalle(s), l’expression est strictement négative. Ainsi, d’après le tableau de signes :
$(E_2)$ $\Leftrightarrow$ $-5(x-3)(2x+1)\color{brown}{<0}$ $\Leftrightarrow$ $x\color{brown}{<\dfrac{-5}{3}}\;$ ou $\; x\color{brown}{>2}$ $\Leftrightarrow$ $x\in\left]-\infty;\dfrac{-1}{2}\right[\cup \left]2;+\infty\right[$.
Ici, les bornes sont exclues, car il y a des inégalités strictes $<$ ou $>$.

Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $(E_2)$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\; {\cal S}_2=\left]-\infty;\dfrac{-1}{2}\right[\cup \left]2;+\infty\right[}}$$

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