Taux d’évolution équivalent à deux évolutions successives. Taux d’évolution global.


Les notions de taux d’évolution et de coefficient multiplicateur sont fondamentales aussi bien dans la vie courante que dans la vie professionnelle.
Il est absolument nécessaire d’abord de maîtriser ces concepts, puis d’apprendre à effectuer les calculs appropriés. Notamment pour calculer un taux d’évolution, l’exprimer en pourcentage ; passer d’une formule additive («augmenter de 5%» ou «diminuer de 5%») à une formule multiplicative («multiplier par 1,05» ou «multiplier par 0,95») ; appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou initiale ; interpréter un indice de base 100 ; calculer un indice ; calculer le taux d’évolution entre deux valeurs ; calculer le taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives ; calculer un taux d’évolution réciproque.


1. Calcul du taux d’évolution équivalent à deux évolutions successives

On considère trois nombres réels strictement positifs $y_0$, $y_1$ et $y_2$.
Si on appelle $t_1$ et $t_2$ les taux d’évolution qui permettent de passer de $y_0$ à $y_1$ et de $y_1$ à $y_2$ respectivement ; et $k_1$ et $k_2$ les coefficients multiplicateurs associés à $t_1$ et $t_2$ respectivement.

Propriétés 1.
1°) Le coefficient multiplicateur $K$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_2$ est égal au produit des coefficients multiplicateurs $k_1$ et $k_2$ : $$\color{brown}{\boxed{\; K = k_1 \times k_2 \;}} \quad\textrm{(1)} $$
On écrit aussi :
$$\color{brown}{\boxed{\; \textrm{CM} = \textrm{CM}_1 \times \textrm{CM}_2 \;}} \quad\textrm{(1)} $$
2°) Le taux d’évolution $T$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_2$ est s’obtient de la manière suivante : $$\color{brown}{\boxed{\; T= (1+t_1) (1+t_2) -1 \;}} \quad\textrm{(2)} $$


Définitions 1.
1°) Le coefficient multiplicateur $K$ (ou CM) qui permet de passer de $y_0$ à $y_2$ s’appelle le coefficient multiplicateur global de $y_0$ à $y_2$.
2°) De même, le taux d’évolution $T$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_2$ s’appelle le taux d’évolution global de $y_0$ à $y_2$.

Figure 1.

En effet : D’une part, on a : $y_1=k_1y_0$ et $y_2=k_2y_1$. Donc : $y_2=k_2\times k_1y_0$.
Ce qui donne : $$ K = k_1 \times k_2 $$
D’autre part, on sait que $k_1=1+t_1$ et $k_2=1+t_2$, mais aussi $K=1+T$. Donc, d’après la première relation (1), on a :
$$\begin{array}{rcl}
K & = & k_1 \times k_2 \\
1+T & = & ( 1+t_1 ) \times ( 1+t_2 ) \\
\textrm{donc : }\qquad T &=& ( 1+t_1 ) \times (1+t_2 ) -1\\
\end{array}$$

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2. Calcul du taux d’évolution équivalent à deux évolutions successives identiques

Si $t_1=t_2=t$, alors $k_1=k_2=k$. On obtient le cas particulier des propriétés précédentes :

Propriétés 2.
On considère trois nombres réels strictement positifs $y_0$, $y_1$ et $y_2$. Si on passe de $y_0$ à $y_1$ et de $y_1$ à $y_2$ avec le même taux d’évolution $t$, alors
1°) Le coefficient multiplicateur global $K$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_2$ est égal au carré du coefficient multiplicateur commun $k$ : $$\color{brown}{\boxed{\; K = k^2\;}} \quad\textrm{(3)} $$
2°) Le taux d’évolution global $T$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_2$ s’obtient de la manière suivante : $$\color{brown}{\boxed{\; T=(1+t)^2 -1 \;}} \quad\textrm{(4)} $$

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3. Calcul du taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives

Soit $n$ un nombre entier non nul.
On considère $n+1$ nombres réels strictement positifs $y_0$, $y_1$,… et $y_n$. Si on appelle $t_1$, $t_2$,… et $t_n$ les taux d’évolution qui permettent de passer de $y_0$ à $y_1$, de $y_1$ à $y_2$,… et de $y_{n-1}$ à $y_n$ respectivement ; et $k_1$, $k_2$,… et $k_n$ les coefficients multiplicateurs associés à $t_1$, $t_2$,… et $t_n$ respectivement.

Propriétés 3.
1°) Le coefficient multiplicateur $K$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_n$ est égal au produit des coefficients multiplicateurs $k_1$, $k_2$,… et $k_n$ : $$\color{brown}{\boxed{\; K = k_1 \times k_2 \times\cdots\times k_n \;}} \quad\textrm{(5)} $$
2°) Le taux d’évolution $T$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_n$ s’obtient de la manière suivante : $$\color{brown}{\boxed{\; T = (1+t_1) (1+t_2)\times\cdots\times (1+t_n) -1 \;}} \quad\textrm{(6)} $$

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4. Calcul du taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives identiques

Propriétés 4.
On considère $n+1$ nombres réels strictement positifs $y_0$,… $y_n$. Si on passe de $y_0$ à $y_1$, de $y_1$ à $y_2$,… et de $y_{n-1}$ à $y_n$ avec le même taux d’évolution $t$, alors
1°) Le coefficient multiplicateur global $K$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_n$ est égal au coefficient multiplicateur commun $k$ élevé à la puissance $n$ : $$\color{brown}{\boxed{\; K = k^n\;}} \quad\textrm{(7)} $$
2°) Le taux d’évolution global $T$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_2$ s’obtient de la manière suivante : $$\color{brown}{\boxed{\; T=(1+t)^n -1 \;}} \quad\textrm{(8)} $$

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5. Exercices résolus sur les évolutions successives

Exercice résolu 1.
Donner le coefficient multiplicateur global associé et le taux d’évolution global associés à chacune des évolutions successives suivantes :
1°) $k_1=1,4$ ; $k_2=0,9$.
2°) $t_1=+25\%$ ; $t_2=+10\%$.
Cela correspond-il à une augmentation de $35\%$ ?
3°) Une augmentation de $30\%$ suivie d’une diminution de 20%.

Corrigé.
1°) On sait que le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs. Donc :
$K=k_1\times k_2 = 1,40 \times 090=1,26$.
Comme $T=K-1$, on a : $T=1,26-1 = +0,26 = +26\%$.

Conclusion. Le coefficient multiplicateur global est : $K=\textrm{CM} =1,26$ qui correspond à un taux d’évolution global $T=26\%$.

2°) On sait que : $k_1=1+t_1=1+\dfrac{25}{100}=1,25$ et $k_2=1+t_2=1+\dfrac{10}{100}=1,1$.
Or, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs. Donc :
$K=k_1\times k_2 = 1,25 \times 1,1=1,375$.
Comme $T=K-1$, on a : $T=1,375-1 = +0,375 = +37,5\%$.

Conclusion. Le coefficient multiplicateur global est : $K=\textrm{CM} =1,375$ qui correspond à un taux d’évolution global $T=37,5\%$.

Il est clair que : Une augmentation de 25% suivie d’une augmentation de 10% ne correspond pas à une augmentation de $35\%$.

3°) Une augmentation de $30\%$, correspond à $t_1=+0,30$ et une diminution de 20% correspond à $t_2=-0,20$.
On sait que : $k_1=1+t_1=1+0,30=1,30$ et $k_2=1+t_2=1-0,20=0,80$.
Or, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs. Donc :
$K=k_1\times k_2 = 1,30 \times 0,80=1,04$.
Comme $T=K-1$, on a : $T=1,04-1 = +0,04 = +4\%$.

Conclusion. Le coefficient multiplicateur global est : $K=\textrm{CM} =1,04$ qui correspond à un taux d’évolution global $T=4\%$

Remarque. Le taux d’évolution global dans une suite d’évolutions successives, n’est pas égal à la somme des taux d’évolution partiels.

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Exercice résolu 2.
De 2005 à 2010, l’effectif du Lycée Édouard Vaillant a diminué de 10% ; puis de 2010 à 2015, il a augmenté de 10%. Le lycée a-t-il retrouvé son effectif de 2005. Expliquez

Corrigé.
Une augmentation de $10\%$, correspond à $t_1=+0,10$ et une diminution de 20% correspond à $t_2=-0,10$.
On sait que : $k_1=1+t_1=1+0,10=1,00$ et $k_2=1+t_2=1-0,00=0,90$.
Or, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs. Donc :
$K=k_1\times k_2 = 1,10 \times 0,90=0,99$.
Comme $T=K-1$, on a : $T=0,99-1 = -0,01 = -1\%$.
Le taux d’évolution global entre 2005 et 2015 est : $T=-1\%$.

Conclusion. L’effectif du lycée a diminué globalement de 1% entre 2005 et 2015.
Donc, le lycée n’a pas retrouvé son effectif de 2005.

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