1. Propriétés des inégalités dans $\R$
1.1. Ordre dans $\R$
Nous savons comparer deux nombres réels de différentes manières. Partie entière, partie décimale ; ordre lexicographique, mais la méthode la plus pratique est la suivante :
Définition 1.
Pour comparer deux nombres réels, on étudie le signe de leur différence.
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels, alors :
$\color{brown}{\boxed{\; a < b\;\text{(ssi)}\; a – b < 0\;}}$
$\color{brown}{\boxed{\; a > b\;\text{(ssi)}\; a – b > 0\;}}$
On dit que ces inégalités sont strictes.
Définition 2.
D’une manière analogue, on définit les inégalités larges :
$\color{brown}{\boxed{\; a \leqslant b\;\text{(ssi)}\; a < b\;\text{ou}\; a=b \;}}$
$\color{brown}{\boxed{\; a \geqslant b\;\text{(ssi)}\; a > b\;\text{ou}\; a=b \;}}$
Premières propriétés de cette relation d’ordre dans $\R$
Ces premières propriétés sont en fait des axiomes des relations d’ordre. Elles paraissent évidentes, mais elles sont fondamentales.
Premières propriétés de cette relation d’ordre dans $\R$
($P_{0a}$) Réflexivité.
$\qquad\bullet$ Pour tout $x\in \R$ : $x\leqslant x$
($P_{0b}$) Antisymétrie.
$\qquad\bullet$ Pour tout $x, y\in \R$ : Si $x\leqslant y$ et $y\leqslant x$, alors $x=y$
($P_{0c}$) Transitivité.
$\qquad\bullet$ Pour tout $x, y, z\in \R$ : Si $x\leqslant y$ et $y\leqslant z$, alors $x\leqslant z$.
Exemples. — Il est clair que : $2\leqslant 2$ et $2\leqslant 3$.
— Si $x\leqslant 3$ et $3<5$, alors on en déduit que $x\leqslant 5$ ou encore $x<5$.
— Si $x\leqslant 3$ et $3\leqslant x$, alors on en déduit que $x=3$.
1.2. Propriétés des inégalités dans $\R$
Propriétés des inégalités vues au Collège
Ces propriétés permettent résoudre des inéquations du 1er degré ou de déterminer des encadrements d’expressions algébriques. Additionner ou soustraire un même nombre, ou bien multiplier ou diviser les 2 membres d’une inégalités par un même nombre (non nul).
Propriétés.
($P_1$) Lorsqu’on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres d’une inégalité, on obtient une nouvelle inégalité de même sens.
Autrement dit :
Pour tous $a$, $b$ et $c$, des nombres réels quelconques, on a :
($P_{1a}$) : Si $a\leqslant b$, alors $a+c \leqslant b+c$
($P_{1b}$) : Si $a\leqslant b$, alors $a-c \leqslant b-c$
Exemple : Si $x\leqslant -5$, alors $x+2\leqslant -5+2$, donc $x+2\leqslant -3$.
De même : Si $x\leqslant -5$ alors $x-3\leqslant -5-3$, donc $x-3\leqslant -8$.
($P_2$) Lorsqu’on multiplie ou on divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement positif, on obtient une nouvelle inégalité de même sens.
Autrement dit :
Pour tous $a$, $b$ et $c$, des nombres réels quelconques, et $k>0$ on a :
($P_{2a}$) : Si $a\leqslant b$ et $\color{brown}{k>0}$, alors $ka\color{brown}{\leqslant}kb$
($P_{2b}$) : Si $a\leqslant b$ et $\color{brown}{k>0}$, alors $\dfrac{a}{k}\color{brown}{\leqslant}\dfrac{b}{k}$
Exemple : Si $x\leqslant -5$, alors $2x\leqslant 2\times (-5)$, donc $2x\leqslant -10$
De même, Si $x\leqslant -5$, alors $\dfrac{x}{5}\leqslant \dfrac{-5}{5}$, donc $\dfrac{x}{5}\leqslant -1$.
($P_3$) Lorsqu’on multiplie ou on divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement négatif, on obtient une nouvelle inégalité de sens contraire.
Autrement dit :
Pour tous $a$, $b$ et $c$ et $d$ des nombres réels quelconques et $k<0$, on a :
($P_{2a}$) : Si $a\leqslant b$ et $\color{brown}{k<0}$, alors $ka\color{brown}{\geqslant}kb$
($P_{2b}$) : Si $a\leqslant b$ et $\color{brown}{k<0}$, alors $\dfrac{a}{k}\color{brown}{\geqslant}\dfrac{b}{k}$
Exemple : Si $x\leqslant -5$, alors $-2x\geqslant -2\times (-5)$, donc $2x\geqslant 10$
De même, Si $x\leqslant -5$, alors $\dfrac{x}{-5}\geqslant \dfrac{-5}{-5}$, donc $\dfrac{x}{-5}\geqslant 1$.
Nouvelles propriétés des inégalités. Classe de Seconde
Ces propriétés permettent résoudre des inéquations du 1er degré ou de déterminer des encadrements d’expressions algébriques. Additionner membre à membre deux inégalités de même sens, ou bien multiplier membre à membre deux inégalités de même sens entre nombre positifs.
Propriétés.
($P_4$) Lorsqu’on ajoute membre à membre deux inégalités de même sens, on obtient une nouvelle inégalité de même sens.
Autrement dit :
Pour tous $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres réels quelconques, on a :
$\left.\begin{array}{rl}(P_4) : \text{Si }&a\leqslant b\\
\text{et }& c\leqslant d\\ \end{array}\right\rbrace$ Alors $a+c \leqslant b+d$
Exemple : $\left.\begin{array}{rl}\text{Si }&x\leqslant y\\
\text{et }& 2\leqslant 3\\ \end{array}\right\rbrace$ alors $x+2\leqslant y+3$.
($P_5$) Lorsqu’on multiplie membre à membre deux inégalités de même sens entre nombres positifs ou nuls, on obtient une nouvelle inégalité de même sens.
Autrement dit :
Pour tous $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres réels quelconques, on a :
$\left.\begin{array}{rl}(P_5) : \text{Si}&0\leqslant a<b\\
\text{et}& 0\leqslant c<d\\ \end{array}\right\rbrace$ Alors $0\leqslant ac <bd$.
En particulier :
($P_{5b}$) : Si $0\leqslant a<b$, alors $0\leqslant a^2 <b^2$.
Et on peut en déduire que :
($P_{5c}$) : Si $0\leqslant a<b$, alors $0\leqslant a^3 <b^3$.
Exemple : $\left.\begin{array}{rl}\text{Si}&0\leqslant x\leqslant y\\
\text{et}& 0\leqslant 2\leqslant 3\\ \end{array}\right\rbrace$ Alors $2x\leqslant 3y$.
($P_6$) Si deux nombres strictement positifs sont rangés dans un certain ordre, alors leurs inverses sont rangés dans l’ordre contraires.
Autrement dit :
Pour tous $a$ et $b$, des nombres réels strictement positifs, on a :
($P_{6}$) : Si $0< a\leqslant b$, alors $\dfrac{1}{a}\geqslant \dfrac{1}{b}$.
Exemple : Comme $0<2< 3$, on a : $\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{3}$.
1.3. Exercices
Exercice résolu 1. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que : $-2\leqslant x \leqslant 5$ et $0< y \leqslant 3$. Donner un encadrement de chacun des nombres suivants :
a) $a = x+y$,
b) $b=x-y$
c) $c=2x-3y$
Exercice résolu 2. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que : $-1\leqslant x \leqslant 5$. Trouver un encadrement de $\dfrac{x+2}{x+3}$.
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