1. Propriétés des inégalités dans $\R$

Encadrement d’un expression algébrique


La maîtrise du calcul numérique et algébrique de base est absolument nécessaire aussi bien pour pouvoir aborder d’autres notions plus complexes, que dans la vie de tous les jours.
Les propriétés ci-dessous permettent résoudre des inéquations du 1er degré ou de déterminer des encadrements d’expressions algébriques. Additionner ou soustraire un même nombre, ou bien multiplier ou diviser les 2 membres d’une inégalités par un même nombre (non nul). Additionner membre à membre deux inégalités de même sens, ou bien multiplier membre à membre deux inégalités de même sens entre nombre positifs.

Liens connexes

  1. Propriétés des inégalités dans $\R$
  2. Résoudre une inéquation du premier degré
  3. Étude du signe de l’expression du premier degré $ax+b$
  4. Déterminer le signe d’une expression factorisée du second degré
  5. Isoler une variable dans une égalité ou une inégalité
  6. Effectuer une application numérique d’une formule

1.1. Ordre dans $\R$

Nous savons comparer deux nombres réels de différentes manières. Partie entière, partie décimale ; ordre lexicographique, mais la méthode la plus pratique est la suivante :

Définition 1.
Pour comparer deux nombres réels, on étudie le signe de leur différence.
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels, alors :
$\color{brown}{\boxed{\; a < b\;\text{si, et seulement si}\; a – b < 0\;}}$
$\color{brown}{\boxed{\; a > b\;\text{si, et seulement si}\; a – b > 0\;}}$
On dit que ces inégalités sont strictes.

Définition 2.
D’une manière analogue, on définit les inégalités larges :
$\color{brown}{\boxed{\; a \leqslant b\;\text{si, et seulement si}\; a < b\;\text{ou}\; a=b \;}}$
$\color{brown}{\boxed{\; a \geqslant b\;\text{si, et seulement si}\; a > b\;\text{ou}\; a=b \;}}$


Premières propriétés de cette relation d’ordre dans $\R$

Ces premières propriétés sont en fait des axiomes des relations d’ordre. Elles paraissent évidentes, mais elles sont fondamentales.

Premières propriétés de cette relation d’ordre dans $\R$
($P_{0a}$) Réflexivité.
$\qquad\bullet$ Pour tout $x\in \R$ : $x\leqslant x$
($P_{0b}$) Antisymétrie.
$\qquad\bullet$ Pour tout $x, y\in \R$ : Si $x\leqslant y$ et $y\leqslant x$, alors $x=y$
($P_{0c}$) Transitivité.
$\qquad\bullet$ Pour tout $x, y, z\in \R$ : Si $x\leqslant y$ et $y\leqslant z$, alors $x\leqslant z$.

Exemples. — Il est clair que : $2\leqslant 2$ et $2\leqslant 3$.
— Si $x\leqslant 3$ et $3<5$, alors on en déduit que $x\leqslant 5$ ou encore $x<5$.
— Si $x\leqslant 3$ et $3\leqslant x$, alors on en déduit que $x=3$.


1.2. Propriétés des inégalités dans $\R$

Propriétés des inégalités vues au Collège

Ces propriétés permettent résoudre des inéquations du 1er degré ou de déterminer des encadrements d’expressions algébriques. Additionner ou soustraire un même nombre, ou bien multiplier ou diviser les 2 membres d’une inégalités par un même nombre (non nul).

Propriétés.
($P_1$) Lorsqu’on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres d’une inégalité, on obtient une nouvelle égalité de même sens.

Autrement dit :
Pour tous $a$, $b$ et $c$, des nombres réels quelconques, on a :
($P_{1a}$) : Si $a\leqslant b$, alors $a+c \leqslant b+c$
($P_{1b}$) : Si $a\leqslant b$, alors $a-c \leqslant b-c$

Exemple : Si $x\leqslant -5$, alors $x+2\leqslant -5+2$, donc $x+2\leqslant -3$.
De même : Si $x\leqslant -5$ alors $x-3\leqslant -5-3$, donc $x-3\leqslant -8$.


($P_2$) Lorsqu’on multiplie ou on divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement positif, on obtient une nouvelle égalité de même sens.

Autrement dit :
Pour tous $a$, $b$ et $c$, des nombres réels quelconques, et $k>0$ on a :
($P_{2a}$) : Si $a\leqslant b$ et $\color{brown}{k>0}$, alors $ka\color{brown}{\leqslant}kb$
($P_{2b}$) : Si $a\leqslant b$ et $\color{brown}{k>0}$, alors $\dfrac{a}{k}\color{brown}{\leqslant}\dfrac{b}{k}$

Exemple : Si $x\leqslant -5$, alors $2x\leqslant 2\times (-5)$, donc $2x\leqslant -10$
De même, Si $x\leqslant -5$, alors $\dfrac{x}{5}\leqslant \dfrac{-5}{5}$, donc $\dfrac{x}{5}\leqslant -1$.


($P_3$) Lorsqu’on multiplie ou on divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement négatif, on obtient une nouvelle égalité de même sens.

Autrement dit :
Pour tous $a$, $b$ et $c$ et $d$ des nombres réels quelconques et $k<0$, on a :
($P_{2a}$) : Si $a\leqslant b$ et $\color{brown}{k<0}$, alors $ka\color{brown}{\geqslant}kb$
($P_{2b}$) : Si $a\leqslant b$ et $\color{brown}{k<0}$, alors $\dfrac{a}{k}\color{brown}{\geqslant}\dfrac{b}{k}$

Exemple : Si $x\leqslant -5$, alors $-2x\geqslant -2\times (-5)$, donc $2x\geqslant 10$
De même, Si $x\leqslant -5$, alors $\dfrac{x}{-5}\geqslant \dfrac{-5}{-5}$, donc $\dfrac{x}{-5}\geqslant 1$.


Nouvelles propriétés des inégalités. Classe de Seconde

Ces propriétés permettent résoudre des inéquations du 1er degré ou de déterminer des encadrements d’expressions algébriques. Additionner membre à membre deux inégalités de même sens, ou bien multiplier membre à membre deux inégalités de même sens entre nombre positifs.

Propriétés.
($P_4$) Lorsqu’on ajoute membre à membre deux inégalités de même sens, on obtient une nouvelle égalité de même sens.

Autrement dit :
Pour tous $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres réels quelconques, on a :
($P_4$) : Si $a\leqslant b$ et $c\leqslant d$, alors $a+c \leqslant b+d$

Exemple : Si $x\leqslant y$ et $2\leqslant 3$, alors $x+2\leqslant y+3$.


($P_5$) Lorsqu’on multiplie membre à membre deux inégalités de même sens entre nombres positifs ou nuls, on obtient une nouvelle égalité de même sens.

Autrement dit :
Pour tous $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres réels quelconques, on a :
($P_{5a}$) : Si $0\leqslant a\leqslant b$ et $0\leqslant c\leqslant d$, alors $0\leqslant ac \leqslant bd$.

En particulier :
($P_{5b}$) : Si $0\leqslant a\leqslant b$, alors $0\leqslant a^2 \leqslant b^2$.
Et on peut en déduire que :
($P_{5c}$) : Si $0\leqslant a\leqslant b$, alors $0\leqslant a^3 \leqslant b^3$.

Exemple : Si $x\leqslant y$ et $2\leqslant 3$, alors $2x\leqslant 3y$.


($P_6$) Si deux nombres strictement positifs sont rangés dans un certain ordre, alors leurs inverses sont rangés dans l’ordre contraires.

Autrement dit :
Pour tous $a$ et $b$, des nombres réels strictement positifs, on a :
($P_{6}$) : Si $0< a\leqslant b$, alors $\dfrac{1}{a}\geqslant \dfrac{1}{b}$.

Exemple : Comme $0<2< 3$, on a : $\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{3}$.


1.3. Exercices

Exercice résolu 1. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que : $-2\leqslant x \leqslant 5$ et $0< y \leqslant 3$. Donner un encadrement de chacun des nombres suivants :
a) $a = x+y$,
b) $b=x-y$
c) $c=2x-3y$

1°) On sait que : $-2\leqslant x \leqslant 5$ et $0< y \leqslant 3$. On cherche un encadrement de $a = x+y$.

On additionne membre à membre les deux inégalités de même sens et on obtient une troisième inégalité de même sens. Ce qui donne :
$-2+0\leqslant x +y\leqslant 5+3$. Donc : $-2\leqslant x+y \leqslant 8$.

Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\quad -2\leqslant a \leqslant 8\quad}}$.

1°) On sait que : $-2\leqslant x \leqslant 5\quad$(1) et $0< y \leqslant 3\quad$(2). On cherche un encadrement de $a = x-y$.
On sait que $x-y = x+(-y)$. On cherche d’abord un encadrement de $-y$.

Or $-y = (-1)\times y$. On a alors :
$0< y \leqslant 3$, donc $(-1)\times 0> (-1)\times y \geqslant (-1)\times 3$.
Par conséquent : $-3< -y \leqslant 0\quad$(3).

On additionne membre à membre les deux inégalités (1) et (3) qui sont de même sens. On obtient une troisième inégalité de même sens. Ce qui donne :
$-2+(-3)\leqslant x + (-y) \leqslant 5+0$. Donc : $-5\leqslant x-y \leqslant 5$.

Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\quad-5\leqslant b \leqslant 5\quad}}$.

1°) On sait que : $-2\leqslant x \leqslant 5\quad$(1) et $0< y \leqslant 3\quad$(2). On cherche un encadrement de $c = 2x-3y$.
On sait que $2x-3y =2\times x+(-3)\times y$. On cherche d’abord un encadrement de $-3y$.

Or $-3y = (-3)\times y$. On a alors :
$0< y \leqslant 3$, donc $(-3)\times 0> (-3)\times y \geqslant (-3)\times 3$.
Par conséquent : $-9< -3y \leqslant 0\quad$(3).

On additionne membre à membre les deux inégalités (1) et (3) qui sont de même sens. On obtient une troisième inégalité de même sens. Ce qui donne :
$-2+(-9)0\leqslant 2x -3y \leqslant 5+0$. Donc : $-11\leqslant x-y \leqslant 5$.

Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\quad-11\leqslant c \leqslant 5\quad}}$.

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Exercice résolu 2. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que : $-1\leqslant x \leqslant 5$. Trouver un encadrement de $\dfrac{x+2}{x+3}$.

On cherche à déterminer un encadrement de $\dfrac{x+2}{x+3}$ sur l’intervalle $[-1;5]$.

1ère méthode :
On sait que : $-1\leqslant x \leqslant 5$.
On ne peut pas « diviser des inégalités membre à membre ».
Pour contourner le problème, on va multiplier par l’inverse.
On sait que : $\dfrac{x+2}{x+3}=(x+2)\times \dfrac{1}{x+3}$.

1ère étape : Tout d’abord, on sait que : $-1\leqslant x \leqslant 5$, donc :
$$-1+2\leqslant x+2 \leqslant 5+2$$
Donc : $\boxed{\quad 1\leqslant (x+2) \leqslant 7\quad}$ (1).

2ème étape : D’une manière analogue, on sait que : $-1\leqslant x \leqslant 5$, donc :
$$-1+3\leqslant x+3 \leqslant 5+3$$
Donc : $2\leqslant x+3 \leqslant 8$. C’est une inégalité entre des nombres strictement positifs, les inverses sont rangés dans l’ordre contraire. Donc :
$$\dfrac{1}{2}\geqslant\dfrac{1}{x+3}\geqslant\dfrac{1}{8}$$
Ce qui donne dans l’ordre croissant :
Donc : $\boxed{\quad\dfrac{1}{8}\leqslant\dfrac{1}{x+3}\leqslant\dfrac{1}{2}\quad}$ (2).

3ème étape : Maintenant, on peut multiplier embre à membre les inégalités (1) et (2), entre des nombres strictement positifs. Donc :
$1\times \dfrac{1}{8}\leqslant (x+2)\times\dfrac{1}{x+3}\leqslant 7\times\dfrac{1}{2}$. Par conséquent : $\dfrac{1}{8}\leqslant\times\dfrac{x+2}{x+3}\leqslant\dfrac{7}{2}$

Conclusion. Un encadrement de $\dfrac{x+2}{x+3}$ est donné par :
$$\color{brown}{\boxed{\quad \dfrac{1}{8}\leqslant\dfrac{x+2}{x+3}\leqslant\dfrac{7}{2}\quad}}$$

2ème méthode : (niveau 1ère)
On définit une fonction $f$ définie par : $f(x) = \dfrac{x+2}{x+3}$.
On calcule sa dérivée $f'(x)$ et on en déduit le tableau de variation de la fonction sur l’intervalle $[-1;5]$. L’encadrement est plus précis.

A terminer.

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