Résolution des équations quotients. Valeurs interdites


La résolution des équations quotients se ramène souvent à la résolution d’équations produits. Elle utilise une propriété fondamentale des nombres réels, appelée le théorème du produit nul.

Comme il est interdit de diviser par $0$, on commence obligatoirement par chercher les valeurs qui annulent le dénominateur, qu’on appelle les valeurs interdites. On doit alors donner en premier le domaine de définition de l’équation quotient étudiée.


1. Résolution des équations quotients. Valeurs interdites

Définitions.
Une équation du type : $\color{brown}{\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0}$, où $P(x)$ et $Q(x)$ sont des expressions algébriques, avec $Q(x)\neq 0$, s’appelle une équation-quotient.
Les valeurs qui annulent $Q(x)$ s’appellent des valeurs interdites (en abrégé v.i.). Ainsi :
$$\color{brown}{x\; \text{est une valeur interdite si, et seulement si,}\; Q(x)=0}$$

Théorème.
Pour tout nombre réel $x$ tel que $Q(x)\neq 0$, l’équation $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$ est équivalente à :
$$P(x) = 0\quad\text{et}\quad Q(x)\neq 0$$

Exercice résolu 1. Résoudre l’équation suivante dans $\R$
(E) : $\dfrac{2x^2-8}{x-2} =0$.

Méthode.
L’équation (E) est une équation-quotient.
D’après le théorème ci-dessus, la résolution de cette équation comporte deux étapes :

1$^{ère}$ étape : Il faut d’abord chercher les valeurs interdites qu’il faudra exclure. Ce sont les valeurs qui annulent le dénominateur $Q(x)=x-2$. On en déduit le domaine de définition de l’équation (E), noté $D_E$.
2$^{ème}$ étape : Résolution de l’équation $P(x)=0$, dans $D_E$.

Corrigé.
L’équation (E) est une équation-quotient.
1$^{ère}$ étape : Recherche des valeurs interdites.
$$\begin{eqnarray}
Q(x)=0 &\Leftrightarrow & x-2=0 \\
&\Leftrightarrow & x=2\\
\end{eqnarray}$$
Ainsi, ici nous avons une seule valeur interdite : $x=2$.
On obtient ainsi le domaine de définition de l’équation (E) : $$D_E=\R\setminus\{2\}$$
2$^{ème}$ étape : Résolution de l’équation $P(x)=0$, dans $D_E$.
Par conséquent, pour tout $x\neq 2$, on a :
$$\begin{array}{rcrl}
(E) &\Leftrightarrow & \dfrac{2x^2-8}{x-2} = 0&\\
&\Leftrightarrow & 2x^2-8 = 0&\\
&\Leftrightarrow & 2x^2-8 = 0&\\
&\Leftrightarrow & 2(x^2-4) =0&\\
&\Leftrightarrow & x^2-2^2 = 0&\quad(I.R. n°3)\\
&\Leftrightarrow & (x+2)(x-2)= 0&\quad\text{je factorise}\\
&\Leftrightarrow & x=-2 \text{ ou } x= 2&\quad\text{T.P.N.}\\
\end{array}$$
Par conséquent, l’équation $P(x)=0$ admet deux solutions $x=-2$ et $x=2$ dans $\R$.
Or, $x=2$ est une valeur interdite, donc l’équation ($E_4$) n’admet qu’une seule solution $x=-2$.

Conclusion. L’équation $(E_4)$ admet exactement une solution dans $\R$. Donc :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S} =\left\{-2\right\}\quad}}$$

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