Résolution des équations quotients. Valeurs interdites
La résolution des équations quotients se ramène souvent à la résolution d’équations produits. Elle utilise une propriété fondamentale des nombres réels, appelée le théorème du produit nul.
Comme il est interdit de diviser par $0$, on commence obligatoirement par chercher les valeurs qui annulent le dénominateur, qu’on appelle les valeurs interdites. On doit alors donner en premier le domaine de définition de l’équation quotient étudiée.
1. Résolution des équations quotients. Valeurs interdites
Définitions.
Une équation du type : $\color{brown}{\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0}$, où $P(x)$ et $Q(x)$ sont des expressions algébriques, avec $Q(x)\neq 0$, s’appelle une équation-quotient.
Les valeurs qui annulent $Q(x)$ s’appellent des valeurs interdites (en abrégé v.i.). Ainsi :
$$\color{brown}{x\; \text{est une valeur interdite si, et seulement si,}\; Q(x)=0}$$
Théorème.
Pour tout nombre réel $x$ tel que $Q(x)\neq 0$, l’équation $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$ est équivalente à :
$$P(x) = 0\quad\text{et}\quad Q(x)\neq 0$$
Exercice résolu 1. Résoudre l’équation suivante dans $\R$
(E) : $\dfrac{2x^2-8}{x-2} =0$.
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