Résolution d’équations-quotients. Valeurs interdites

Équations-produits, équations quotients. Théorème du produit nul


La maîtrise du calcul numérique et algébrique de base est absolument nécessaire aussi bien pour pouvoir aborder d’autres notions plus complexes, que dans la vie de tous les jours.
Nous abordons ici les méthodes de résolution des équations du 1er degré. la résolution d’équations-produits. Le théorème du produit nul. En particulier, les équations de la forme $x^2= a$. Nous abordons également les méthodes de résolution d’équations-quotients, avec des valeurs interdites et enfin, nous donnons des exemples de mise en équation d’un problème. Ces notions sont présentées ici par compétence.


5. Résolution d’équations-quotients. Valeurs interdites

Définition 3.
Une équation du type : $\color{brown}{\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0}$, où $P(x)$ et $Q(x)$ sont des expressions algébriques, avec $Q(x)\neq 0$, s’appelle une équation-quotient.
Les valeurs qui annulent $Q(x)$ s’appellent des valeurs interdites (en abrégé v.i.). Ainsi :
$$\color{brown}{x\; \text{est une\bf valeur interdite\rm si, et seulement si,}\; Q(x)=0}$$

Théorème.
Pour tout nombre réel $x$ tel que $Q(x)\neq 0$, l’équation $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$ équivaut à :
$$P(x) = 0\quad\text{ou}\quad Q(x)\neq 0$$

Exercice résolu 1. Résoudre l’équation suivante dans $\R$
(E) : $\dfrac{2x^2-8}{x-2} =0$.

Méthode.
L’équation (E) est une équation-quotient.
D’après le théorème ci-dessus, la résolution de cette équation comporte deux étapes :

1$^{ère}$ étape : Il faut d’abord chercher les valeurs interdites qu’il faudra exclure. Ce sont les valeurs qui annulent le dénominateur $Q(x)=x-2$. On en déduit le domaine de définition de l’équation (E), noté $D_E$.
2$^{ème}$ étape : Résolution de l’équation $P(x)=0$, dans $D_E$.

Corrigé.
L’équation (E) est une équation-quotient.
1$^{ère}$ étape : Recherche des valeurs interdites.
$$\begin{eqnarray}
Q(x)=0 &\Leftrightarrow & x-2=0 \\
&\Leftrightarrow & x=2\\
\end{eqnarray}$$
Ainsi, ici nous avons une seule valeur interdite : $x=2$.
On obtient ainsi le domaine de définition de l’équation (E) : $$D_E=\R\setminus\{2\}$$
2$^{ème}$ étape : Résolution de l’équation $P(x)=0$, dans $D_E$.
Par conséquent, pour tout $x\neq 2$, on a :
$$\begin{eqnarray}
(E) &\Leftrightarrow & \dfrac{2x^2-8}{x-2} &=& 0\\
&\Leftrightarrow & 2x^2-8 &=& 0\\
&\Leftrightarrow & 2x^2-8 &=& 0\\
&\Leftrightarrow & 2(x^2-4) &=&0\\
&\Leftrightarrow & x^2-2^2 &=& 0\quad(I.R. n°3)\\
&\Leftrightarrow & (x+2)(x-2)&=& 0\quad\text{je factorise}\\
&\Leftrightarrow & x=-2 \text{ou}\; x&=& 2\quad\text{T.P.N.}\\
\end{eqnarray}$$
Par conséquent, l’équation $P(x)=0$ admet deux solutions $x=-2$ et $x=2$ dans $\R$.
Or, $x=2$ est une valeur interdite, donc l’équation ($E_4$) n’admet qu’une seule solution $x=-2$.

Conclusion. L’équation $(E_4)$ admet exactement une solution dans $\R$. Donc :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S} =\left\{-2\right\}\quad}}$$

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