Résolution d’équations du 1er degré

Équations-produits, équations quotients. Théorème du produit nul


La maîtrise du calcul numérique et algébrique de base est absolument nécessaire aussi bien pour pouvoir aborder d’autres notions plus complexes, que dans la vie de tous les jours.
Nous abordons ici les méthodes de résolution des équations du 1er degré. la résolution d’équations-produits. Le théorème du produit nul. En particulier, les équations de la forme $x^2= a$. Nous abordons également les méthodes de résolution d’équations-quotients, avec des valeurs interdites et enfin, nous donnons des exemples de mise en équation d’un problème. Ces notions sont présentées ici par compétence.


1. Résolution d’équations du 1er degré

1.1. Vocabulaire

Définition 1.
Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité entre deux expressions algébriques contenant une seule variable de degré 1. Ce type d’équations peut toujours se ramener à la forme réduite : $\color{brown}{ax+b=0}$ ou $\color{brown}{ax=b’}$.

Définition 2.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de la variable pour lesquelles l’égalité est vraie. Ces valeurs sont les solutions de l’équation. $\cal S$ désigne l’ensemble des solutions.

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1.2. Méthodes de résolution d’équations du 1er degré

Pour résoudre une équation du premier degré d’inconnue $x$, on commence d’abord par développer et on réduire les deux expressions à gauche et à droite. On transpose les termes en $x$ à gauche et les termes constants à droite pour obtenir une forme réduite $ax=b$.

Une seule égalité par ligne et tous les signes (=) sont alignés verticalement !

Remarque : Il est interdit de diviser par 0.

Propriété. Méthodes de résolution.
On considère l’équation du premier degré (E) : $ax=b$.
1°) Si $a\neq 0$, alors l’équation $ax=b$ admet une unique solution $x=\dfrac{b}{a}$. On écrit $$\color{brown}{\quad {\cal S}=\left\{\dfrac{b}{a} \right\}\quad}$$
2°) Si $a=0$ et $b\neq 0$, alors l’équation $0x=b$, n’admet aucune solution de cette équation. L’ensemble des solutions est « l’ensemble vide ». On écrit :
$$\color{brown}{{\cal S}=\emptyset}$$
3°) Si $a=0$ et $b=0$, alors l’équation $0x=0$ admet une infinité de solutions. tous les nombres réels sont solutions de cette équation. On écrit : $$\color{brown}{{\cal S}=\R}$$

1.3. Exercices résolus

Exercice résolu 1. Résoudre l’équation $5(x -1) = x+2(x+1)-8$ dans $\R$.

Méthode
$x$ désigne l’inconnue. On développe et on réduit les deux expressions à gauche et à droite. On transpose les termes en $x$ à gauche et les termes constants à droite pour obtenir une forme réduite. Une seule égalité par ligne et tous les signes (=) sont alignés verticalement !

Corrigé
Résoudre l’équation $5(x -1) = x+2(x+1)-8$ dans $\R$.
$$\begin{eqnarray}
5(x -1) &=& x+2(x+1)-8 &(1) \\
5x-5 &=& x+2x+2-8 &(2) \\
5x-5 &=& 3x-6 &(3)\\
5x-3x &=&-6+5 &(4)\\
2x &=&-1 &(5)\\
\dfrac{2x}{\color{brown}{2}} &=& \dfrac{-1}{\color{brown}{2}} &(6)\\
x &=& \dfrac{-1}{2} & (7) \\
\end{eqnarray}$$
(1) On récrit l’équation à résoudre
(2) On développe pour supprimer les parenthèses
(3) On réduit chacun des deux membres
(4) On regroupe les termes de même nature
(5) On réduit chacun des deux membres
(6) On divise les deux côtés par le coefficient de $x$
(7) On simplifie et on garde le résultat sous la forme fractionnaire.

Conclusion. Cette équation admet une seule solution. On écrit : $$\color{brown}{\boxed{\quad {\cal S}=\left\{\dfrac{-1}{2} \right\}\quad}}$$


Exercice résolu 2. Résoudre les équations suivantes dans $\R$.
1°) $5(x -1) = 3x+2(x+1)-7$ ;
2°) $5(x -1) = 3x+2(x+1)$.

Corrigé
1°) Résoudre l’équation : $5(x -1) = 3x+2(x+1)-7$
$$\begin{eqnarray}
5(x -1) &=& 3x+2(x+1)-7 \\
5x-5 &=& 3x+2x+2-7 \\
5x-5x &=& 5+2-7 \\
\color{brown}{0x} &=&\color{brown}{0} \\
0 &=&0 \\
\end{eqnarray}$$
« $0x=0$ » qui est équivalente « $0=0$ », est une égalité vraie pour toutes les valeurs de $x$. Par conséquent, tous les nombres réels sont solutions de cette équation. L’équation admet une infinité de solutions.

Conclusion. L’ensemble des solutions est « l’ensemble $\R$ tout entier ». On écrit : $$\color{brown}{\boxed{\quad {\cal S}=\R \quad}}$$

2°) Résoudre l’équation : $5(x -1) = 3x+2(x+1)$ dans $\R$.
$$\begin{eqnarray}
5(x -1) &=& 3x+2(x+1) \\
5x-5 &=& 3x+2x+2 \\
5x-5x &=& 2 \\
\color{brown}{0x} &\color{brown}{=}&\color{brown}{2} \\
0 &=&2 \\
\end{eqnarray}$$
« $0=2$ » est une égalité fausse. Il n’existe aucun nombre réel $x$ tel que $0\times x =2$.

Conclusion. Cette équation n’admet aucune solution. L’ensemble des solutions est « l’ensemble vide ». On écrit : $$\color{brown}{\boxed{\quad {\cal S}=\emptyset\quad}}$$


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