Résolution d’équations du 1er degré
La résolution des équations du 1er degré est présente presque dans tous les domaines. Nous donnons d’abord les règles qui permettent la résolution des équations du 1er degré réduites du type $x+a=b$ et $ax+b=0$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels donnés, $x$ étant l’inconnue.
1. Propriétés des égalités
Propriétés (à traduire en langage courant).
$(P_1)$ : Pour tous nombres réels $a$, $b$ et $c$, on a :
$\qquad\;$ Si $a=b$, alors $\boxed{\; a{\color{blue}{+c}}=b{\color{blue}{+c}}\;}$ et $\boxed{\; a{\color{blue}{-c}}=b{\color{blue}{-c}}\;}$
$(P_2)$ : Pour tous nombres réels $a$, $b$ et $k\not=0$, on a :
$\qquad\;$ Si $a=b$, alors $\boxed{\; {\color{blue}{k}}a={\color{blue}{k}}b\;}$ et $\boxed{\; \dfrac{a}{{\color{blue}{k}}}=\dfrac{b}{{\color{blue}{k}}}\;}$.
$(P_3)$ : Transposition.
$\qquad\;$ Pour tous nombres réels $a$, $b$ et $x$, on a :
$\qquad\;$ Si $\boxed{\; x+a=b\;}$ $\Leftrightarrow$ $x+a{\color{blue}{-a}}=b{\color{blue}{-a}}$ $\Leftrightarrow$ $\boxed{\; x=b-a\;}$.
2. Résolution d’équations du 1er degré
2.1. Vocabulaire
Définition 1.
Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité entre deux expressions algébriques contenant une seule variable de degré 1. Ce type d’équations peut toujours se ramener à la forme réduite : $\color{brown}{ax+b=0}$ ou $\color{brown}{ax=b’}$, où $a$, $b$ et $b’$ sont des nombres réels donnés.
Définition 2.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de la variable pour lesquelles l’égalité est vraie. Ces valeurs sont les solutions de l’équation. $\cal S$ désigne l’ensemble des solutions.
2.2. Méthodes de résolution d’équations du 1er degré
Pour résoudre une équation du premier degré d’inconnue $x$, on commence d’abord par développer et on réduire les deux expressions à gauche et à droite. On transpose les termes en $x$ à gauche et les termes constants à droite pour obtenir une forme réduite $ax=b$.
Une seule égalité par ligne et tous les signes (=) sont alignés verticalement !
Remarque : Il est interdit de diviser par 0.
Propriété. Méthodes de résolution.
On considère l’équation du premier degré (E) : $ax=b$.
1°) Si $a\neq 0$, alors l’équation $ax=b$ admet une unique solution $x=\dfrac{b}{a}$. On écrit : $$\color{brown}{\quad {\cal S}=\left\{\dfrac{b}{a} \right\}\quad}$$
2°) Si $a=0$ et $b\neq 0$, alors l’équation $0x=b$, n’admet aucune solution de cette équation. L’ensemble des solutions est « l’ensemble vide ». On écrit : $$\color{brown}{{\cal S}=\emptyset}$$
3°) Si $a=0$ et $b=0$, alors l’équation $0x=0$ admet une infinité de solutions. tous les nombres réels sont solutions de cette équation. On écrit : $$\color{brown}{{\cal S}=\R}$$
3. Exercices résolus
Exercice résolu 1. Résoudre l’équation $5(x -1) = x+2(x+1)-8$ dans $\R$.
Exercice résolu 2. Résoudre les équations suivantes dans $\R$.
1°) $5(x -1) = 3x+2(x+1)-7$ ;
2°) $5(x -1) = 3x+2(x+1)$.
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