Résolution d’équations du 1er degré

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La résolution des équations du 1er degré est présente presque dans tous les domaines. Nous donnons d’abord les règles qui permettent la résolution des équations du 1er degré réduites du type $x+a=b$ et $ax+b=0$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels donnés, $x$ étant l’inconnue.

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1. Propriétés des égalités

Propriétés (à traduire en langage courant).
$(P_1)$ : Pour tous nombres réels $a$, $b$ et $c$, on a :
$\qquad\;$ Si $a=b$, alors $\boxed{\; a{\color{blue}{+c}}=b{\color{blue}{+c}}\;}$ et $\boxed{\; a{\color{blue}{-c}}=b{\color{blue}{-c}}\;}$
$(P_2)$ : Pour tous nombres réels $a$, $b$ et $k\not=0$, on a :
$\qquad\;$ Si $a=b$, alors $\boxed{\; {\color{blue}{k}}a={\color{blue}{k}}b\;}$ et $\boxed{\; \dfrac{a}{{\color{blue}{k}}}=\dfrac{b}{{\color{blue}{k}}}\;}$.
$(P_3)$ : Transposition.
$\qquad\;$ Pour tous nombres réels $a$, $b$ et $x$, on a :
$\qquad\;$ Si $\boxed{\; x+a=b\;}$ $\Leftrightarrow$ $x+a{\color{blue}{-a}}=b{\color{blue}{-a}}$ $\Leftrightarrow$ $\boxed{\; x=b-a\;}$.

2. Résolution d’équations du 1er degré

2.1. Vocabulaire

Définition 1.
Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité entre deux expressions algébriques contenant une seule variable de degré 1. Ce type d’équations peut toujours se ramener à la forme réduite : $\color{brown}{ax+b=0}$ ou $\color{brown}{ax=b’}$, où $a$, $b$ et $b’$ sont des nombres réels donnés.

Définition 2.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de la variable pour lesquelles l’égalité est vraie. Ces valeurs sont les solutions de l’équation. $\cal S$ désigne l’ensemble des solutions.

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2.2. Méthodes de résolution d’équations du 1er degré

Pour résoudre une équation du premier degré d’inconnue $x$, on commence d’abord par développer et on réduire les deux expressions à gauche et à droite. On transpose les termes en $x$ à gauche et les termes constants à droite pour obtenir une forme réduite $ax=b$.

Une seule égalité par ligne et tous les signes (=) sont alignés verticalement !

Remarque : Il est interdit de diviser par 0.

Propriété. Méthodes de résolution.
On considère l’équation du premier degré (E) : $ax=b$.
1°) Si $a\neq 0$, alors l’équation $ax=b$ admet une unique solution $x=\dfrac{b}{a}$. On écrit : $$\color{brown}{\quad {\cal S}=\left\{\dfrac{b}{a} \right\}\quad}$$
2°) Si $a=0$ et $b\neq 0$, alors l’équation $0x=b$, n’admet aucune solution de cette équation. L’ensemble des solutions est « l’ensemble vide ». On écrit : $$\color{brown}{{\cal S}=\emptyset}$$
3°) Si $a=0$ et $b=0$, alors l’équation $0x=0$ admet une infinité de solutions. tous les nombres réels sont solutions de cette équation. On écrit : $$\color{brown}{{\cal S}=\R}$$

3. Exercices résolus

Exercice résolu 1. Résoudre l’équation $5(x -1) = x+2(x+1)-8$ dans $\R$.

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Exercice résolu 2. Résoudre les équations suivantes dans $\R$.
1°) $5(x -1) = 3x+2(x+1)-7$ ;
2°) $5(x -1) = 3x+2(x+1)$.

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