2. Résolution d’équations-produits

Équations-produits, équations quotients. Théorème du produit nul


La maîtrise du calcul numérique et algébrique de base est absolument nécessaire aussi bien pour pouvoir aborder d’autres notions plus complexes, que dans la vie de tous les jours.
Nous abordons ici les méthodes de résolution des équations du 1er degré. la résolution d’équations-produits. Le théorème du produit nul. En particulier, les équations de la forme $x^2= a$. Nous abordons également les méthodes de résolution d’équations-quotients, avec des valeurs interdites et enfin, nous donnons des exemples de mise en équation d’un problème. Ces notions sont présentées ici par compétence.


2. Résolution d’équations-produits

Définition 2.
Une équation du type $\color{brown}{P(x) \times Q(x) = 0}$, $P(x)$ et $Q(x)$ sont des expressions algébriques s’appelle une équation-produit.
Exemple : Une équation du type $\color{brown}{(ax+b)(cx+d)=0}$, est une équation-produit.

Théorème du produit nul. (On utilisera l’abréviation T.P.N.)
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses (ces) facteurs est nul !
Autrement dit : Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :
$$\color{brown}{\boxed{\; a \times b = 0\Longleftrightarrow a=0 \quad\text{ou}\quad b=0\;}}$$

Résolution d’une équation-produit. On applique le théorème du produit nul et on se ramène au cas de (petites) équations du 1er degré.

Application.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses (ces) facteurs est nul !
Autrement dit : Pour tous nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$ :
$$\color{brown}{(ax+b)(cx+d)= 0\Longleftrightarrow ax+b=0 \quad\text{ou}\quad cx+d=0}$$

Exercice résolu 1. Résoudre les équations suivantes dans $\R$ :
1°) ($E_1$) : $(2x+3)(x-4) =0$.
2°) ($E_2$) : $(2x+3)(5x-4)=(2x+3)(4x-3)$.

Corrigé
1°) Résoudre l’équation : $(2x+3)(x-4) =0$.
C’est une équation-produit. Donc, d’après le théorème du produit nul, on a :
$(2x+3)(x-4) =0$ équivaut à :
$$\begin{eqnarray}
2x+3&=&0 &\quad\text{ou}\quad& x-4 &=&0 \\
2x&=&-3 &\quad\text{ou}\quad& x &=&4\\
x&=&\dfrac{-3}{2}&\quad\text{ou}\quad& x &=&4\\
\end{eqnarray}$$
Conclusion. Cette équation admet (exactement) deux solutions. Donc l’ensemble des solutions est : $$\color{brown}{\boxed{\quad {\cal S}=\left\{\dfrac{-3}{2};4\right\} \quad}}$$

2°) Résoudre l’équation : ($E_2$) : $(2x+3)(5x-4)=(2x+3)(4x-3)$ dans $\R$.
$$\begin{eqnarray}
(2x+3)(5x-4) &=& (2x+3)(4x-3) \\
(2x+3)(5x-4)-(2x+3)(4x-3) &=&0 \\
\color{brown}{(2x+3)}(5x-4)-\color{brown}{(2x+3)}(4x-3) &=&0 \\
\color{brown}{(2x+3)}\left[ (5x-4)-(4x-3)\right] &=& 0 \\
(2x+3)(5x-4-x+3) &=& 0 \\
(2x+3)(x-1) &=& 0 \\
2x+3=0\quad\text{ou}\quad x-1 &=&0 \\
x=-\dfrac{3}{2}\quad\text{ou}\quad x &=&1 \\
\end{eqnarray}$$

Conclusion. Cette équation admet (exactement) deux solutions. Donc l’ensemble des solutions est : $$\color{brown}{\boxed{\quad {\cal S}=\left\{\dfrac{-3}{2};1\right\} \quad}}$$

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