Résolution des équations produits
La résolution des équations se ramène souvent à la résolution des équations produits. Elle utilise une propriété fondamentale des nombres réels, appelée le théorème du produit nul. En particulier, les équations de la forme $x^2= a$.
1. Théorème du produit nul
Théorème du produit nul. (On utilisera l’abréviation T.P.N.)
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses (ces) facteurs est nul !
Autrement dit : Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :
$$\color{brown}{\boxed{\; a \times b = 0\Longleftrightarrow a=0 \quad\text{ou}\quad b=0\;}}$$
Il n’existe aucun couple de nombres réels, tous deux non nul, dont le produit est nul.
2. Résolution des équations produits
Définition 2.
Une équation du type $\color{brown}{P(x) \times Q(x) = 0}$, $P(x)$ et $Q(x)$ sont des expressions algébriques s’appelle une équation produit nul.
Exemple : Une équation du type $\color{brown}{(ax+b)(cx+d)=0}$, est une équation produit nul.
Résolution d’une équation produit nul . On applique le théorème du produit nul et on se ramène au cas de (petites) équations du 1er degré.
Application.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses (ces) facteurs est nul !
Autrement dit : Pour tous nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$ :
$$\color{brown}{(ax+b)(cx+d)= 0\Longleftrightarrow ax+b=0 \quad\text{ou}\quad cx+d=0}$$
3. Exercices résolus
Exercice résolu 1. Résoudre les équations suivantes dans $\R$ :
1°) ($E_1$) : $(2x+3)(x-4) =0$.
2°) ($E_2$) : $(2x+3)(5x-4)=(2x+3)(4x-3)$.
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