Résolution des équations produits


La résolution des équations se ramène souvent à la résolution des équations produits. Elle utilise une propriété fondamentale des nombres réels, appelée le théorème du produit nul. En particulier, les équations de la forme $x^2= a$.


1. Théorème du produit nul

Théorème du produit nul. (On utilisera l’abréviation T.P.N.)
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses (ces) facteurs est nul !
Autrement dit : Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :
$$\color{brown}{\boxed{\; a \times b = 0\Longleftrightarrow a=0 \quad\text{ou}\quad b=0\;}}$$

Il n’existe aucun couple de nombres réels, tous deux non nul, dont le produit est nul.

2. Résolution des équations produits

Définition 2.
Une équation du type $\color{brown}{P(x) \times Q(x) = 0}$, $P(x)$ et $Q(x)$ sont des expressions algébriques s’appelle une équation produit nul.
Exemple : Une équation du type $\color{brown}{(ax+b)(cx+d)=0}$, est une équation produit nul.

Résolution d’une équation produit nul . On applique le théorème du produit nul et on se ramène au cas de (petites) équations du 1er degré.

Application.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses (ces) facteurs est nul !
Autrement dit : Pour tous nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$ :
$$\color{brown}{(ax+b)(cx+d)= 0\Longleftrightarrow ax+b=0 \quad\text{ou}\quad cx+d=0}$$

3. Exercices résolus

Exercice résolu 1. Résoudre les équations suivantes dans $\R$ :
1°) ($E_1$) : $(2x+3)(x-4) =0$.
2°) ($E_2$) : $(2x+3)(5x-4)=(2x+3)(4x-3)$.

Corrigé
1°) Résoudre l’équation : $(2x+3)(x-4) =0$.
C’est une équation-produit nul. Donc, d’après le théorème du produit nul, on a :
$(2x+3)(x-4) =0$ équivaut à :
$$\begin{eqnarray}
2x+3&=&0 &\quad\text{ou}\quad& x-4 &=&0 \\
2x&=&-3 &\quad\text{ou}\quad& x &=&4\\
x&=&\dfrac{-3}{2}&\quad\text{ou}\quad& x &=&4\\
\end{eqnarray}$$
Conclusion. Cette équation admet (exactement) deux solutions. Donc l’ensemble des solutions est : $$\color{brown}{\boxed{\quad {\cal S}=\left\{\dfrac{-3}{2};4\right\} \quad}}$$

2°) Résoudre l’équation : ($E_2$) : $(2x+3)(5x-4)=(2x+3)(4x-3)$ dans $\R$.
$$\begin{eqnarray}
(2x+3)(5x-4) &=& (2x+3)(4x-3) \\
(2x+3)(5x-4)-(2x+3)(4x-3) &=&0 \\
\color{brown}{(2x+3)}(5x-4)-\color{brown}{(2x+3)}(4x-3) &=&0 \\
\color{brown}{(2x+3)}\left[ (5x-4)-(4x-3)\right] &=& 0 \\
(2x+3)(5x-4-x+3) &=& 0 \\
(2x+3)(x-1) &=& 0 \\
2x+3=0\quad\text{ou}\quad x-1 &=&0 \\
x=-\dfrac{3}{2}\quad\text{ou}\quad x &=&1 \\
\end{eqnarray}$$

Conclusion. Cette équation admet (exactement) deux solutions. Donc l’ensemble des solutions est : $$\color{brown}{\boxed{\quad {\cal S}=\left\{\dfrac{-3}{2};1\right\} \quad}}$$

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