Résolution d’inéquations du 1er degré
1. Vocabulaire
Définition 1.
Une inéquation du premier degré à une inconnue est une inégalité entre deux expressions algébriques contenant une seule variable de degré 1. Ce type d’inéquations peut toujours se ramener à la forme réduite : $\color{brown}{ax+b<0}$.
On peut également écrire des inéquations avec $>$, $\leqslant$ ou $\geqslant$.
Définition 2.
Résoudre une inéquation, c’est trouver l’ensemble de toutes les valeurs de la variable pour lesquelles l’inégalité est vraie.
Ces valeurs constituent l’ensemble des solutions de l’inéquation, qu’on note $\cal S$ et qu’on écrit sous la forme d’un intervalle ou une réunion d’intervalles.
2. Méthodes de résolution d’inéquations du 1er degré
Pour résoudre une inéquation du premier degré d’inconnue $x$, on commence d’abord par développer et réduire les deux expressions à gauche et à droite. On transpose les termes en $x$ à gauche et les termes constants à droite pour obtenir une forme réduite $ax<-b$.
Une seule égalité par ligne et tous les signes ($<$, $\leqslant$ ou $\geqslant$) sont alignés verticalement !
Remarque : Il est interdit de diviser par 0.
On utilise les propriétés des inégalités dans $\R$. On considère l’inéquation du premier degré (E) : $ax+b<0$, équivalente à : $ax<-b$. On distingue alors deux cas :
1er cas. $a\neq 0$.
Propriétés 1. Méthodes de résolution.
1°) Si $a>0$, on divise les deux membres par le nombre $a$ strictement positif, on ne change pas le sens de l’inégalité. Alors :
$$ax<-b\quad\Longleftrightarrow\quad x<\dfrac{-b}{a}$$
Alors l’ensemble des solutions est : $\color{brown}{\quad {\cal S}=\left]-\infty;\dfrac{-b}{a} \right[\quad}$.
2°) Si $a<0$, on divise les deux membres par un nombre $a$ strictement négatif, on change le sens de l’inégalité. Alors :
$$ax<-b\quad\Longleftrightarrow\quad x>\dfrac{-b}{a}$$
Alors l’ensemble des solutions est : $\color{brown}{\; {\cal S}=\left]\dfrac{-b}{a} ;+\infty\right[\;}$.
2ème cas. $a=0$.
Propriétés 2. Méthodes de résolution.
3°) Si $a=0$ et $b>0$, alors l’inéquation $0x<b$ est équivalente à $0<b$. Ce qui est vrai pour tout $x$. Donc tous les nombres réels sont solutions. Donc : $$\qquad\color{brown}{\;{\cal S}=\R\;}$$
4°) Si $a=0$ et $b\leqslant 0$, alors l’inéquation $0x<b$ est équivalente à $0<b$. Ce qui est impossible. Donc cette inéquation n’admet aucune solution. L’ensemble des solutions est « l’ensemble vide ». On écrit : $$\qquad\color{brown}{\;{\cal S}=\emptyset\;}$$
3. Exercices résolus
Exercice résolu 1. Résoudre l’équation ($E_1$) : $5(x -1) < x+6(x+1)-8$ dans $\R$.
Exercice résolu 2. Résoudre l’inéquation ($E_2$) dans $\R$ :
($E_2$) : $5(x -1) < 3x+2(x+1)-4$.
Exercice résolu 3. Résoudre l’inéquation ($E_2$) dans $\R$.
($E_2$) $5(x -1) \geqslant 3x+2(x+1)$.
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