Résolution d’inéquations du 1er degré

Liens connexes

  1. Propriétés des inégalités dans $\R$
  2. Résoudre une inéquation du premier degré
  3. Étude du signe de l’expression du premier degré $ax+b$
  4. Déterminer le signe d’une expression factorisée du second degré
  5. Isoler une variable dans une égalité ou une inégalité
  6. Effectuer une application numérique d’une formule

1. Vocabulaire

Définition 1.
Une inéquation du premier degré à une inconnue est une inégalité entre deux expressions algébriques contenant une seule variable de degré 1. Ce type d’inéquations peut toujours se ramener à la forme réduite : $\color{brown}{ax+b<0}$.
On peut également écrire des inéquations avec $>$, $\leqslant$ ou $\geqslant$.

Définition 2.
Résoudre une inéquation, c’est trouver l’ensemble de toutes les valeurs de la variable pour lesquelles l’inégalité est vraie.
Ces valeurs constituent l’ensemble des solutions de l’inéquation, qu’on note $\cal S$ et qu’on écrit sous la forme d’un intervalle ou une réunion d’intervalles.


2. Méthodes de résolution d’inéquations du 1er degré

Pour résoudre une inéquation du premier degré d’inconnue $x$, on commence d’abord par développer et réduire les deux expressions à gauche et à droite. On transpose les termes en $x$ à gauche et les termes constants à droite pour obtenir une forme réduite $ax<-b$.

Une seule égalité par ligne et tous les signes ($<$, $\leqslant$ ou $\geqslant$) sont alignés verticalement !

Remarque : Il est interdit de diviser par 0.

On utilise les propriétés des inégalités dans $\R$. On considère l’inéquation du premier degré (E) : $ax+b<0$, équivalente à : $ax<-b$. On distingue alors deux cas :

1er cas. $a\neq 0$.

Propriétés 1. Méthodes de résolution.
1°) Si $a>0$, on divise les deux membres par le nombre $a$ strictement positif, on ne change pas le sens de l’inégalité. Alors :
$$ax<-b\quad\Longleftrightarrow\quad x<\dfrac{-b}{a}$$
Alors l’ensemble des solutions est : $\color{brown}{\quad {\cal S}=\left]-\infty;\dfrac{-b}{a} \right[\quad}$.

2°) Si $a<0$, on divise les deux membres par un nombre $a$ strictement négatif, on change le sens de l’inégalité. Alors :
$$ax<-b\quad\Longleftrightarrow\quad x>\dfrac{-b}{a}$$
Alors l’ensemble des solutions est : $\color{brown}{\; {\cal S}=\left]\dfrac{-b}{a} ;+\infty\right[\;}$.

2ème cas. $a=0$.

Propriétés 2. Méthodes de résolution.
3°) Si $a=0$ et $b>0$, alors l’inéquation $0x<b$ est équivalente à $0<b$. Ce qui est vrai pour tout $x$. Donc tous les nombres réels sont solutions. Donc : $$\qquad\color{brown}{\;{\cal S}=\R\;}$$

4°) Si $a=0$ et $b\leqslant 0$, alors l’inéquation $0x<b$ est équivalente à $0<b$. Ce qui est impossible. Donc cette inéquation n’admet aucune solution. L’ensemble des solutions est « l’ensemble vide ». On écrit : $$\qquad\color{brown}{\;{\cal S}=\emptyset\;}$$

Haut de page

3. Exercices résolus

Exercice résolu 1. Résoudre l’équation ($E_1$) : $5(x -1) < x+6(x+1)-8$ dans $\R$.

Méthode
$x$ désigne l’inconnue. On développe et on réduit les deux expressions à gauche et à droite. On transpose les termes en $x$ à gauche et les termes constants à droite pour obtenir une forme réduite. Une seule inégalité par ligne et tous les signes (<) sont alignés verticalement !
On note le signe de $a$. Et on divise les deux membres et appliquer les propriétés des inégalités.

Corrigé
Résoudre l’équation ($E_1$) : $5(x -1) = x+2(x+1)-8$ dans $\R$.
$$\begin{eqnarray}
5(x -1) &<& x+6(x+1)-8 &(1) \\
5x-5 &<& x+6x+6-8 &(2) \\
5x-5 &<& 7x-2 &(3)\\
5x-7x &<&-2+5 &(4)\\
-2x &<&3 &(5)\\
\dfrac{-2x}{\color{brown}{-2}} &>& \dfrac{3}{\color{brown}{-2}} &(6)\\
x &>& \dfrac{-3}{2} & (7) \\
\end{eqnarray}$$
(1) On récrit l’équation à résoudre
(2) On développe pour supprimer les parenthèses
(3) On réduit chacun des deux membres
(4) On regroupe les termes de même nature
(5) On réduit chacun des deux membres
(6) On divise les deux côtés par le coefficient négatif de $x$ et on change de sens de l’inégalité.
(7) On simplifie et on garde le résultat sous la forme fractionnaire.

Conclusion. L’ensemble des solutions de cette inéquation ($E_1$) est :
$$\color{brown}{\boxed{\;{\cal S}_1=\left]\dfrac{-3}{2};+\infty\right[\;}}$$


Exercice résolu 2. Résoudre l’inéquation ($E_2$) dans $\R$ :
($E_2$) : $5(x -1) < 3x+2(x+1)-4$.

Corrigé
1°) Résoudre l’équation ($E_2$) : $5(x -1) < 3x+2(x+1)-4$
$$\begin{eqnarray}
5(x -1) &<& 3x+2(x+1)-4 \\
5x-5 &<& 3x+2x+2-4 \\
5x-5x &<& 5+2-4 \\
\color{brown}{0x} &<&\color{brown}{3} \\
0 &<&3 \\
\end{eqnarray}$$
L’inéquation « $0x<3$ » est équivalente « $0<3$ », est une égalité vraie pour toutes les valeurs de $x$. Par conséquent, tous les nombres réels sont solutions de cette inéquation. L’inéquation admet une infinité de solutions.

Conclusion. L’ensemble des solutions de cette inéquation est « l’ensemble $\R$ tout entier ». On écrit : $$\color{brown}{\boxed{\;{\cal S}_2=\R \;}}$$

Exercice résolu 3. Résoudre l’inéquation ($E_2$) dans $\R$.
($E_2$) $5(x -1) \geqslant 3x+2(x+1)$.

2°) Résoudre l’équation : $5(x -1) \geqslant 3x+2(x+1)$ dans $\R$.
$$\begin{eqnarray}
5(x -1) &\geqslant& 3x+2(x+1) \\
5x-5 &\geqslant& 3x+2x+2 \\
5x-5x &\geqslant& 2 \\
\color{brown}{0x} &\color{brown}{\geqslant}&\color{brown}{2} \\
0 &\geqslant &2 \\
\end{eqnarray}$$
« $0\geqslant 2$ » est une égalité fausse. Il n’existe aucun nombre réel $x$ tel que $0\times x \geqslant 2$.

Conclusion. Cette équation n’admet aucune solution. L’ensemble des solutions est « l’ensemble vide ». On écrit : $$\color{brown}{\boxed{\;{\cal S}_3=\emptyset\;}}$$


Haut de page