Calcul de proportions de sous-populations contraires

Exprimer une proportion de différentes manières


Les notions de proportions et de pourcentages sont fondamentales aussi bien dans la vie courante que dans la vie professionnelle.
Il est absolument nécessaire d’abord de maîtriser les concepts, puis de savoir effectuer les calculs appropriés. Notamment pour appliquer ou calculer, puis exprimer une proportion sous différentes formes (décimale, fractionnaire, pourcentage) et calculer des proportions de proportions.


8. Sous-populations disjointes

Définition 1.
On dit que deux sous-populations $A$ et $B$ d’une même population $E$ sont disjointes lorsque $A$ et $B$ n’ont aucun individu en commun. Donc : $A\cap B=\emptyset$.

Par conséquent : $\color{red}{\boxed{\;n_{ A\cap B}=0\;}}$ et $\color{red}{\boxed{\; p_{ A\cap B}=0\;}}$.
Donc : $n_{ A\cup B}=n_A+n_B$ et $p_{ A\cup B}=p_A+p_B$.

Propriété 1.
Si deux sous-populations $A$ et $B$ d’une même population de référence sont disjointes, alors la proportion de leur réunion est donnée par : $$\color{red}{\boxed{\;n_{ A\cup B}=n_A+n_B\quad \text{et}\quad p_{ A\cup B}=p_A+p_B\; }}$$

Exercice résolu 1.
Une équipe de judo compte 40 personnes dont 10 adultes. Le groupe des jeunes est formé de 16 filles et 14 garçons.
1°) Calculer la proportion des garçons, des filles et des jeunes dans cette équipe.
2°) Que constatez-vous ? Pourquoi ?

Corrigé.
1°) La population de référence $E$ = l’ensemble de l’équipe de judo. Donc : $n_E=40$.
On pose : $F$ = le groupe des filles et $G$ = le groupe des garçons, alors :
$F\cup G$ = le groupe des jeunes.

Ce qui donne : $n_F=16$, $n_G=14$ et $n_{F\cup G}=30$ et $n_{F\cap G}=0$, puisque ces deux groupes sont disjoints.

On obtient ainsi :
$p_F=\dfrac{16}{40}= \dfrac{2}{5}= 0,40 =\dfrac{40}{100} =40\%$.
Conclusion 1. La proportion des filles dans cette équipe est : $\color{brown}{\boxed{p_F=0,40}}$

$p_G=\dfrac{14}{40}= \dfrac{7}{20}= 0,35 = \dfrac{35}{100} =35\%$.
Conclusion 2. La proportion des garçons dans cette équipe est : $\color{brown}{\boxed{p_G=0,35}}$

Ainsi, $p_{F\cup G}=\dfrac{30}{40}= \dfrac{3}{4}=0,75 = \dfrac{75}{100} =75\%$.
Conclusion 3. La proportion des jeunes dans cette équipe est : $\color{brown}{\boxed{ p_{F\cup G} =0,75}}$.

2°) D’après le cours, on sait que : $p_{ F\cup G}=p_F+p_G-p_{ F\cap G}$.
Donc : $p_{ F\cap G}=p_F+p_G-p_{ F\cup G}=0,40+0,35-0,75=\color{brown}{0}$.
Conclusion 4. $\color{brown}{\boxed{ p_{F\cap G} =0}}$.

On constate en effet, que les deux sous-populations $F$ et $G$ n’ont aucun point commun, elles sont disjointes. Donc, on aurait pu appliquer directement la propriété n°8 ci-dessus.

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9. Cas particulier : Sous-population contraire

Définition 9.
Soit $E$ une population de référence et $A$ une sous-population. Les individus de $E$ qui n’appartiennent pas à la sous-population $A$ forment la sous-population contraire, notée $\overline{A}$.

Théorème.
La proportion de $\overline{A}$ dans $E$ est donnée par : $p_{\, \overline{A}}=1-p_A$.

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Exercice résolu 2.
Une équipe de judo compte 40 personnes dont 10 adultes. Le groupe des jeunes est formé de 16 filles et 14 garçons.
1°) Calculer la proportion des adultes dans cette équipe.
2°) En déduire la proportion des jeunes dans cette équipe.

Corrigé.
1°) La population de référence $E$ = l’ensemble de l’équipe de judo. Donc : $n_E=40$.
On pose : $A$ = le groupe des adultes et $J$ = le groupe des jeunes dans cette équipe.

Ce qui donne : $n_A=10$, La proportion des adultes est :
$p_A=\dfrac{10}{40}= \dfrac{1}{4}= 0,25 =\dfrac{25}{100} =25\%$.
Conclusion 1. La proportion des adultes dans cette équipe est : $\color{brown}{\boxed{p_A=0,25}}$

2°) On peut procéder de deux manières :
1ère méthode. On calcule l’effectif de la sous-population des jeunes dans cette équipe.
$n_J=16+14=30$. La proportion des jeunes est :
$p_J=\dfrac{30}{40}= \dfrac{3}{4}= 0,75 = \dfrac{75}{100} =75\%$.
Conclusion 2. La proportion des jeunes dans cette équipe est : $\color{brown}{\boxed{p_J=0,75}}$

2ème méthode. On constate que les jeunes forment la sous-population contraire du groupe des adultes dans cette équipe. La proportion des jeunes est :
$p_J=1-p_A=1-0,25 = 0,75 = \dfrac{75}{100} =75\%$.
Conclusion 2. La proportion des jeunes dans cette équipe est : $\color{brown}{\boxed{p_J=0,75}}$