Cours. Étude du signe de l’expression du premier degré $ax+b$
1. Vocabulaire
Définition 1.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels donnés.
Lorsque $a\neq 0$, on appelle racine de l’expression $ax+b$ la valeur $x$ qui annule cette expression.
Comme $a\neq 0$, on a :
$$ax+b=0\;\Longleftrightarrow\; x=\dfrac{-b}{a}$$
Par conséquent : Si $a\neq 0$, la racine de l’expression $ax+b$ est $x=\dfrac{-b}{a}$.
Exercice résolu 1. Déterminer les racines des expressions suivantes :
1°) $2x+6$,
2°) $-3x+2$
3°) $-2x$.
2. Représentation graphique
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels donnés.
$ax+b$ est l’expression d’une fonction affine $f$ dont la représentation graphique est une droite $D$.
Définition 2.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels donnés.
$ax+b$ est l’expression d’une fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$.
La représentation graphique de $f$ est une droite $D$ dans un repère du plan.
Propriétés 1.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels donnés et $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$, dont la représentation graphique est une droite $D$. Alors :
1°) Si $a\neq 0$, la fonction affine $f$ est constante et pour tout $x\in\R$ : $f(x)=b$.
Sa représentation graphique est une droite oblique $D$ qui coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse $x=\dfrac{-b}{a}$.
2°) Si $a=0$, la fonction affine $f$ est constante et pour tout $x\in\R$ : $f(x)=b$.
Sa représentation graphique est une droite horizontale $D$ qui ne coupe pas l’axe des abscisses (si $b\neq 0$).
$\bullet$ Si $a=0$, la droite $D$ est horizontale, donc ne coupe pas l’axe des abscisses.
$\bullet$ Si $a\neq 0$, la droite $D$ est oblique donc elle coupe l’axe des abscisses.
$$f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad ax+b=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{-b}{a}$$
En effet : Si $a\neq 0$, on résout l’équation $f(x)=0$. Alors :
$f(x)=0\Longleftrightarrow\; ax+b=0$ $\Longleftrightarrow\; x=\dfrac{-b}{a}$
Par conséquent : Si $a\neq 0$, la racine de l’expression $ax+b$ est $x=\dfrac{-b}{a}$.
C’est l’abscisse du point d’intersection de la droite représentation graphique de $f$ avec l’axe des abscisses.
3. Signe de l’expression $ax+b$
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels donnés, avec $a\neq 0$.
1er cas : $a>0$.
Propriétés 2.
Si $a>0$, alors :
$ax+b<0\;\Longleftrightarrow\; ax<-b$ $\Longleftrightarrow x<\dfrac{-b}{a}$
$ax+b\geqslant 0\;\Longleftrightarrow\; ax\geqslant -b$ $\Longleftrightarrow x\geqslant\dfrac{-b}{a}$.
Si $a>0$, on obtient le tableau de signe suivant :
$$\begin{array}{|r|lcccr|} \hline
a & -\infty & & \frac{-b}{a} & & +\infty\\ \hline
ax+b & & – & 0 & + & \\ \hline
\end{array}$$
Propriétés 2bis. Interprétation graphique.
Si $a>0$, alors la fonction $f$ définie par $f(x) =ax+b$, est strictement croissante. Donc, sa représentative, la droite $D$ d’équation $y=ax+b$, passe de $-\infty$ à $+\infty$.
Donc, $f(x)$ est d’abord négative, puis $f$ s’annule en $\dfrac{-b}{a}$ et enfin elle devient positive. Ce qui donne le tableau de signes ci-dessus.
2ème cas : $a<0$.
Propriétés 3.
Si $a<0$, alors :
$ax+b<0\;\Longleftrightarrow\; ax<-b$ $\Longleftrightarrow x>\dfrac{-b}{a}$
$ax+b\geqslant 0\;\Longleftrightarrow\; ax\geqslant -b$ $\Longleftrightarrow x\leqslant\dfrac{-b}{a}$.
Si $a<0$, on obtient le tableau de signe suivant :
$$\begin{array}{|r|lcccr|} \hline
a & -\infty & & \frac{-b}{a} & & +\infty\\ \hline
ax+b & & +& 0 & – & \\ \hline
\end{array}$$
Propriétés 2bis. Interprétation graphique.
2ème cas : $a<0$. Alors, la fonction $f$ est strictement décroissante. Donc, sa représentative, la droite $D$ d’équation $y=ax+b$, passe de $+\infty$ à $-\infty$.
Donc, $f(x)$ est d’abord positive, puis $f$ s’annule en $\dfrac{-b}{a}$ et enfin elle devient négative. Ce qui donne le tableau de signes ci-dessus.
3. Exercices résolus
Exercice résolu 1. Résoudre l’équation ($E_1$) : $5(x -1) < x+6(x+1)-8$ dans $\R$.
Exercice résolu 2. Résoudre l’inéquation ($E_2$) dans $\R$ :
($E_2$) : $5(x -1) < 3x+2(x+1)-4$.
Exercice résolu 3. Résoudre l’inéquation ($E_2$) dans $\R$.
($E_2$) $5(x -1) \geqslant 3x+2(x+1)$.
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