Cours. Étude du signe de l’expression du premier degré $ax+b$


1. Vocabulaire

Définition 1.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels donnés.
Lorsque $a\neq 0$, on appelle racine de l’expression $ax+b$ la valeur $x$ qui annule cette expression.
Comme $a\neq 0$, on a :
$$ax+b=0\;\Longleftrightarrow\; x=\dfrac{-b}{a}$$
Par conséquent : Si $a\neq 0$, la racine de l’expression $ax+b$ est $x=\dfrac{-b}{a}$.

Exercice résolu 1. Déterminer les racines des expressions suivantes :
1°) $2x+6$,
2°) $-3x+2$
3°) $-2x$.

Corrigé
1°) On résout l’équation $2x+6=0$.
$2x+6=0$ $\Leftrightarrow$ $2x=-6$ $\Leftrightarrow$ $x=\dfrac{-6}{2}$ $\Leftrightarrow$ $x=-3$.
Ainsi la racine de l’expression : $2x+6$, est $x=-3$.

2°) On résout l’équation $-3x+2=0$.
$-3x+2=0$ $\Leftrightarrow$ $-3x=-2$ $\Leftrightarrow$ $x=\dfrac{-2}{-3}$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{2}{3}$.
Ainsi la racine de l’expression : $-3x+2$, est $x=\dfrac{-2}{-3}$.

3°) On résout l’équation $-2x=0$.
$-2x=0$ $\Leftrightarrow$ $x=\dfrac{0}{-2}$ $\Leftrightarrow$ $x=0$.
Ainsi la racine de l’expression : $-2x$, est $x=0$.


2. Représentation graphique

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels donnés.
$ax+b$ est l’expression d’une fonction affine $f$ dont la représentation graphique est une droite $D$.

Définition 2.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels donnés.
$ax+b$ est l’expression d’une fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$.
La représentation graphique de $f$ est une droite $D$ dans un repère du plan.

Propriétés 1.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels donnés et $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$, dont la représentation graphique est une droite $D$. Alors :

1°) Si $a\neq 0$, la fonction affine $f$ est constante et pour tout $x\in\R$ : $f(x)=b$.
Sa représentation graphique est une droite oblique $D$ qui coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse $x=\dfrac{-b}{a}$.

2°) Si $a=0$, la fonction affine $f$ est constante et pour tout $x\in\R$ : $f(x)=b$.
Sa représentation graphique est une droite horizontale $D$ qui ne coupe pas l’axe des abscisses (si $b\neq 0$).
$\bullet$ Si $a=0$, la droite $D$ est horizontale, donc ne coupe pas l’axe des abscisses.
$\bullet$ Si $a\neq 0$, la droite $D$ est oblique donc elle coupe l’axe des abscisses.
$$f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad ax+b=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{-b}{a}$$

En effet : Si $a\neq 0$, on résout l’équation $f(x)=0$. Alors :
$f(x)=0\Longleftrightarrow\; ax+b=0$ $\Longleftrightarrow\; x=\dfrac{-b}{a}$
Par conséquent : Si $a\neq 0$, la racine de l’expression $ax+b$ est $x=\dfrac{-b}{a}$.
C’est l’abscisse du point d’intersection de la droite représentation graphique de $f$ avec l’axe des abscisses.

3. Signe de l’expression $ax+b$

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels donnés, avec $a\neq 0$.
1er cas : $a>0$.

Propriétés 2.
Si $a>0$, alors :
$ax+b<0\;\Longleftrightarrow\; ax<-b$ $\Longleftrightarrow x<\dfrac{-b}{a}$
$ax+b\geqslant 0\;\Longleftrightarrow\; ax\geqslant -b$ $\Longleftrightarrow x\geqslant\dfrac{-b}{a}$.

Si $a>0$, on obtient le tableau de signe suivant :
$$\begin{array}{|r|lcccr|} \hline
a & -\infty & & \frac{-b}{a} & & +\infty\\ \hline
ax+b & & – & 0 & + & \\ \hline
\end{array}$$

Propriétés 2bis. Interprétation graphique.
Si $a>0$, alors la fonction $f$ définie par $f(x) =ax+b$, est strictement croissante. Donc, sa représentative, la droite $D$ d’équation $y=ax+b$, passe de $-\infty$ à $+\infty$.
Donc, $f(x)$ est d’abord négative, puis $f$ s’annule en $\dfrac{-b}{a}$ et enfin elle devient positive. Ce qui donne le tableau de signes ci-dessus.

2ème cas : $a<0$.

Propriétés 3.
Si $a<0$, alors :
$ax+b<0\;\Longleftrightarrow\; ax<-b$ $\Longleftrightarrow x>\dfrac{-b}{a}$
$ax+b\geqslant 0\;\Longleftrightarrow\; ax\geqslant -b$ $\Longleftrightarrow x\leqslant\dfrac{-b}{a}$.

Si $a<0$, on obtient le tableau de signe suivant :
$$\begin{array}{|r|lcccr|} \hline
a & -\infty & & \frac{-b}{a} & & +\infty\\ \hline
ax+b & & +& 0 & – & \\ \hline
\end{array}$$

Propriétés 2bis. Interprétation graphique.
2ème cas : $a<0$. Alors, la fonction $f$ est strictement décroissante. Donc, sa représentative, la droite $D$ d’équation $y=ax+b$, passe de $+\infty$ à $-\infty$.
Donc, $f(x)$ est d’abord positive, puis $f$ s’annule en $\dfrac{-b}{a}$ et enfin elle devient négative. Ce qui donne le tableau de signes ci-dessus.

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3. Exercices résolus

Exercice résolu 1. Résoudre l’équation ($E_1$) : $5(x -1) < x+6(x+1)-8$ dans $\R$.

Méthode
$x$ désigne l’inconnue. On développe et on réduit les deux expressions à gauche et à droite. On transpose les termes en $x$ à gauche et les termes constants à droite pour obtenir une forme réduite. Une seule inégalité par ligne et tous les signes (<) sont alignés verticalement !
On note le signe de $a$. Et on divise les deux membres et appliquer les propriétés des inégalités.

Corrigé
Résoudre l’équation ($E_1$) : $5(x -1) = x+2(x+1)-8$ dans $\R$.
$$\begin{eqnarray}
5(x -1) &<& x+6(x+1)-8 &(1) \\
5x-5 &<& x+6x+6-8 &(2) \\
5x-5 &<& 7x-2 &(3)\\
5x-7x &<&-2+5 &(4)\\
-2x &<&3 &(5)\\
\dfrac{-2x}{\color{brown}{-2}} &>& \dfrac{3}{\color{brown}{-2}} &(6)\\
x &>& \dfrac{-3}{2} & (7) \\
\end{eqnarray}$$
(1) On récrit l’équation à résoudre
(2) On développe pour supprimer les parenthèses
(3) On réduit chacun des deux membres
(4) On regroupe les termes de même nature
(5) On réduit chacun des deux membres
(6) On divise les deux côtés par le coefficient négatif de $x$ et on change de sens de l’inégalité.
(7) On simplifie et on garde le résultat sous la forme fractionnaire.

Conclusion. L’ensemble des solutions de cette inéquation ($E_1$) est :
$$\color{brown}{\boxed{\;{\cal S}_1=\left]\dfrac{-3}{2};+\infty\right[\;}}$$


Exercice résolu 2. Résoudre l’inéquation ($E_2$) dans $\R$ :
($E_2$) : $5(x -1) < 3x+2(x+1)-4$.

Corrigé
1°) Résoudre l’équation ($E_2$) : $5(x -1) < 3x+2(x+1)-4$
$$\begin{eqnarray}
5(x -1) &<& 3x+2(x+1)-4 \\
5x-5 &<& 3x+2x+2-4 \\
5x-5x &<& 5+2-4 \\
\color{brown}{0x} &<&\color{brown}{3} \\
0 &<&3 \\
\end{eqnarray}$$
L’inéquation « $0x<3$ » est équivalente « $0<3$ », est une égalité vraie pour toutes les valeurs de $x$. Par conséquent, tous les nombres réels sont solutions de cette inéquation. L’inéquation admet une infinité de solutions.

Conclusion. L’ensemble des solutions de cette inéquation est « l’ensemble $\R$ tout entier ». On écrit : $$\color{brown}{\boxed{\;{\cal S}_2=\R \;}}$$

Exercice résolu 3. Résoudre l’inéquation ($E_2$) dans $\R$.
($E_2$) $5(x -1) \geqslant 3x+2(x+1)$.

2°) Résoudre l’équation : $5(x -1) \geqslant 3x+2(x+1)$ dans $\R$.
$$\begin{eqnarray}
5(x -1) &\geqslant& 3x+2(x+1) \\
5x-5 &\geqslant& 3x+2x+2 \\
5x-5x &\geqslant& 2 \\
\color{brown}{0x} &\color{brown}{\geqslant}&\color{brown}{2} \\
0 &\geqslant &2 \\
\end{eqnarray}$$
« $0\geqslant 2$ » est une égalité fausse. Il n’existe aucun nombre réel $x$ tel que $0\times x \geqslant 2$.

Conclusion. Cette équation n’admet aucune solution. L’ensemble des solutions est « l’ensemble vide ». On écrit : $$\color{brown}{\boxed{\;{\cal S}_3=\emptyset\;}}$$


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