4. Résolution d’équations de la forme $x^2=a$

Équations-produits, équations quotients. Théorème du produit nul


La maîtrise du calcul numérique et algébrique de base est absolument nécessaire aussi bien pour pouvoir aborder d’autres notions plus complexes, que dans la vie de tous les jours.
Nous abordons ici les méthodes de résolution des équations du 1er degré. la résolution d’équations-produits. Le théorème du produit nul. En particulier, les équations de la forme $x^2= a$. Nous abordons également les méthodes de résolution d’équations-quotients, avec des valeurs interdites et enfin, nous donnons des exemples de mise en équation d’un problème. Ces notions sont présentées ici par compétence.


4. Résolution d’équations de la forme $x^2=a$

Théorème.
Soit $a$ un nombre réel. Pour résoudre l’équation $x^2=a$, on distingue trois cas :
– 1er cas : $a < 0$ : L’équation $x^2=a$ n’admet aucune de solution. Donc $${\cal S} =\emptyset$$ car le carré d’un nombre réel est un nombre positif ou nul. Or ici, $a<0$, donc $a\neq 0$.
– 2ème cas : $a = 0$ : L’équation $x^2=0$ admet une solution unique $x = 0$. Donc
$$\color{brown}{{\cal S}=\left\{0\right\}}$$
car 0 est le seul nombre réel dont le carré est égal à 0.
– 3ème cas : $a > 0$ : L’équation $x^2=a$ admet deux solutions $x=-\sqrt{a}$ et $x=\sqrt{a}$. Donc : $$\color{brown}{{\cal S}=\left\{-\sqrt{a};\sqrt{a}\right\}}$$

Démonstration : Les deux premiers cas sont évidents.

Pour le 3ème cas, comme $a>0$ on a les équivalences suivantes
$$\begin{eqnarray}
x^2=a &\Leftrightarrow& x^2-(\sqrt{a})^2 = 0 &\text{(I.R.n°3)} \\
&\Leftrightarrow& (x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a}) = 0 &\text{Je factorise}\\
&\Leftrightarrow& x+\sqrt{a}=0\quad\text{ou}\quad x-\sqrt{a} = 0 &\text{(T.P.N.)} \\
&\Leftrightarrow& x=-\sqrt{a}=0\quad\text{ou}\quad x=\sqrt{a} & \\
\end{eqnarray}$$

Conclusion. Lorsque $a>0$, l’équation $x^2=a$ admet deux solutions $x=-\sqrt{a}$ et $x=\sqrt{a}$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}=\left\{-\sqrt{a};\sqrt{a}\right\}\quad}}$$

Exercice résolu 1. Résoudre les équations suivantes dans $\R$ :
1°) ($E_1$) : $x^2-11=0$.
2°) ($E_2$) : $x^2+9=0$.
3°) ($E_3$) : $(2x-5)^2=9$.
4°) ($E_4$) : $(2x-5)^2=(x-3)^2$.

Corrigé
1°) Résoudre l’équation : ($E_1$) : $x^2-11 =0$.
$$\begin{eqnarray}
(E_1) &\Leftrightarrow& x^2-11 =0 \\
(E_1) &\Leftrightarrow& x^2-(\sqrt{11})^2 = 0 &\text{(I.R. n°3)} \\
&\Leftrightarrow& (x+\sqrt{11})(x-\sqrt{11}) = 0 &\text{Je factorise}\\
&\Leftrightarrow& x+\sqrt{11}=0\quad\text{ou}\quad x-\sqrt{11} = 0 &\text{(T.P.N.)} \\
&\Leftrightarrow& x=-\sqrt{11}=0\quad\text{ou}\quad x=\sqrt{11} & \\
\end{eqnarray}$$
Conclusion. Cette équation ($E_1$) admet exactement deux solutions dans $\R$. Donc l’ensemble des solutions est : $$\color{brown}{\boxed{\quad {\cal S}=\left\{-\sqrt{11};\sqrt{11}\right\} \quad}}$$

2°) Résoudre l’équation : ($E_1$) : $x^2+9 =0$.
$$\begin{eqnarray}
(E_2) &\Leftrightarrow& x^2+9 =0 \\
&\Leftrightarrow& x^2=-9 &\quad\text{Impossible.} \\
\end{eqnarray}$$
Conclusion. Comme un carré n’est jamais négatif, l’équation $(E_2)$ n’admet aucune de solution dans $\R$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S} =\emptyset\quad}}$$

3°) Résoudre l’équation : ($E_3$) : $(2x-5)^2=9$.
$$\begin{eqnarray}
(E_3) &\Leftrightarrow& (2x-5)^2=9 & \\
&\Leftrightarrow& (2x-5)^2 -9=0 &\text{Une différence} \\
&\Leftrightarrow& (2x-5)^2 -3^2=0 &\text{I.R. n°3} \\
&\Leftrightarrow& \left[(2x-5)+3\right]\left[(2x-5)-3\right]=0 &\text{Je factorise} \\
&\Leftrightarrow& (2x-2)(2x-8)=0 &\text{Je réduis} \\
&\Leftrightarrow& 2x-2=0\quad\text{ou}\quad 2x-8=0 &\text{T.P.N.} \\
&\Leftrightarrow& x=1\quad\text{ou}\quad x=4 & \\
\end{eqnarray}$$
Conclusion. L’équation $(E_3)$ admet exactement deux solutions dans $\R$. Donc :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S} =\left\{1 ; 4\right\}\quad}}$$

4°) Résoudre l’équation : ($E_4$) : $(2x-5)^2=(x-3)^2$
$$\begin{eqnarray}
(E_4) &\Leftrightarrow& (2x-5)^2=(x-3)^2 & \\
&\Leftrightarrow& (2x-5)^2 -(x-3)^2=0 &\text{Une I.R. n°3} \\
&\Leftrightarrow& \left[(2x-5)-(x-3)\right]\left[(2x-5)+(x-3)\right]=0 &\text{Je factorise} \\
&\Leftrightarrow& \left[(2x-5)-(x-3)\right]\left[(2x-5)+(x-3)\right]=0 &\text{Je développe} \\
&\Leftrightarrow& (2x-5-x+3)(2x-5+x-3)=0 &\text{Je réduis} \\
&\Leftrightarrow& (x-2)(3x-8)=0 &\text{Je réduis} \\
&\Leftrightarrow& x-2=0\quad\text{ou}\quad 3x-8=0 &\text{T.P.N.} \\
&\Leftrightarrow& x=2\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{8}{3} & \\
\end{eqnarray}$$
Conclusion. L’équation $(E_3)$ admet exactement deux solutions dans $\R$. Donc :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S} =\left\{2; \dfrac{8}{3}\right\}\quad}}$$

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