Définition d’une suite numérique

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Il existe plusieurs manières de donner la définition d’une suite numérique. Suites explicites. Suites récurrentes. Modes de génération de suites numériques. Utilisation de la calculatrice pour le calcul des termes d’une suite.

2. Définition d’une suite numérique

Définitions 1.
Comme les factures d’électricité ou de gaz, une suite numérique est une liste de nombres réels « numérotés » avec les nombres entiers naturels. La numérotation peut commencer par le premier terme de la suite avec un rang $0$, $1$ ou $2$… On note $u_n$ le terme de rang $n$ ou encore le terme d’indice $n$ de la suite.

Exemple

La suite des carrés des nombres entiers naturels est donnée par : $0$ ; $1$ ; $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25$ ; $\ldots$.
Elle peut être définie d’une manière explicite comme suit :

Pour tout entier naturel $n$ : $u_n=n^2$.

Ainsi, le premier terme est le terme de rang $0$ : $u_0=0$.
Le deuxième terme est le terme de rang $1$ : $u_1=1^2=1$.
Le 10ème terme est le terme de rang $9$ : $u_9=9^2=81$. Eh oui, on commence au rang $0$.
La suite globale se note $(u_n)$.
Le terme générale de la suite est $u_n=n^2$.

Définitions 2.
Une suite numérique est une fonction $u$ de $\N$ dans $\R$ qui, à tout nombre entier $n\in\N$ associe un nombre réel $u(n)$ noté $u_n$.
$$\begin{array}{rll}
u : &\N \longrightarrow \R \\
&n \longmapsto u(n)=u_n \\
\end{array}$$
$\bullet$ $n$ s’appelle le rang du terme $u_n$.
$\bullet$ Le nombre $u_n$ [sans les parenthèses] est le terme général de la suite.
$\bullet$ Le nombre $u_0$ s’appelle Le premier terme ou le terme initial de la suite.
$\bullet$ $u_n$ s’appelle aussi le terme de rang $n$ ou encore le terme d’indice $n$ de la suite.
$\bullet$ La suite globale se note : $(u_n)$ [avec des parenthèses].

1. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. En supposant que les nombres de la liste ordonnée suivante obéissent à une formule les reliant ou reliant leurs rangs, déterminer les deux nombres manquants en fin de la liste.
$L_1$ : $0$ ; $3$ ; $6$ ; $9$ ; $\ldots$; $\ldots$

Tout d’abord, dans chaque liste de nombres, interviennent deux notions :
$\quad i)$ Le rang de chaque terme ;
$\quad ii)$ La valeur du terme de la liste dans un rang donné.
Pour trouver le lien entre les termes de chaque liste, on cherche une relation entre chaque terme et son rang, ou entre chaque terme avec le terme de rang précédent, ou avec les termes des deux rangs précédents, et ainsi de suite.
Les rangs sont des nombres entiers. On peut commencer à partir de 0 ou à partir de 1 ou de n’importe quel nombre entier $p$.

Appelons $u_n$ le terme de rang $n$
1°) $L_1$ : $0$ ; $3$ ; $6$ ; $9$ ; $\ldots$; $\ldots$
On reconnaît la table de multiplication de $3$.
$u_0=3\times 0 = \color{brown}{0}$. Le terme de rang $0$. Ici, c’est le premier terme.
$u_1=3\times 1 = \color{brown}{3}$. Le terme de rang $1$. Ici, c’est le deuxième terme.
$u_2=3\times 2 = \color{brown}{6}$. Le terme de rang $2$. Ici, c’est le troisième terme.
$u_3=3\times 3 = \color{brown}{9}$. Le terme de rang $3$. Et ainsi de suite.
Ensuite, les termes suivants s’obtiennent avec la même formule :
$u_4=3\times 4 = \color{brown}{12}$. Le terme de rang $4$.
$u_5=3\times 5 = \color{brown}{15}$. Le terme de rang $5$.

Conclusion. On obtient la liste avec les termes manquants :
$$L_1 : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; \color{brown}{12} ; \color{brown}{15}$$

1°bis) $L_1$ : $0$ ; $3$ ; $6$ ; $9$ ; $\ldots$; $\ldots$
On aurait pu également obtenir les termes de la liste $L_1$, en commençant par $0$ et ajoutant le nombre $3$ à chaque terme pour obtenir le terme suivant.

$u_0=\color{brown}{0}$. Le terme de rang $0$. Ici, c’est le premier terme.
$u_1=u_0+3=0+3= \color{brown}{3}$. Le terme de rang $1$, le deuxième terme.
$u_2=u_1+3=3+3 =\color{brown}{6}$. Le terme de rang $2$, le troisième terme.
$u_3=u_2+3=6+3= \color{brown}{9}$. Le terme de rang $3$, le quatrième terme.
Ensuite, les termes suivants s’obtiennent avec la même formule :
$u_4=u_3+3=9+3=\color{brown}{12}$. Le terme de rang $4$.
$u_5=u_4+3=12+3=\color{brown}{15}$. Le terme de rang $5$.

Conclusion. On obtient la liste avec les termes manquants :
$$L_1 : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; \color{brown}{12} ; \color{brown}{15}$$

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5. Exercices supplémentaires pour s’entraîner

Exercice résolu n°2. En supposant que les nombres de chacune des listes ordonnées suivantes obéissent à une formule les reliant ou reliant leurs rangs, déterminer les deux nombres manquants en fin de chaque liste.
2°) $L_2$ : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$ ; $\ldots$; $\ldots$
3°) $L_3$ : $10$ ; $13$ ; $16$ ; $19$ ; $\ldots$; $\ldots$
4°) $L_4$ : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $5$ ; $10$ ; $\ldots$; $\ldots$
5°) $L_5$ : $0$; $1$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ ; $5$ ; $8$; $\ldots$; $\ldots$

Les nombres de la liste $L_2$ et $L_3$ définissent aussi deux suites $(v_n)$ et $(w_n)$. Cette fois, le terme suivant, de rang $(n+1)$, s’écrit en fonction du terme précédent, de rang $n$, de la manière suivante :

Pour la liste $L_2$ : $\left\lbrace\begin{array}{rl}
v_0&=1\\
v_{n+1}&=2\times v_n\\
\end{array}\right.$

D’une manière analogue, on obtient :
Pour la liste $L_3$ : $\left\lbrace \begin{array}{rll}
w_0&=10\\
w_{n+1}&=w_n+3\\
\end{array}\right.$
Ainsi on peut calculer les termes suivants pas à pas :

Comme $v_0=1$, on obtient :
$v_1=2\times v_0=2\times 1=2$ ;
$v_2=2\times v_1=2\times 2=4$ ;
$v_3=2\times v_2=2\times 4=8$ ;
$v_4=16$ ; $v_5=32$ et $v_6=64$…
Ainsi, les deux termes manquants dans la liste $L_2$ sont : $32$ et $64$.

De même, $w_0=10$, on obtient :
$w_1=w_0+3=10+3=13$ ;
$w_2=w_1+3=13+3=16$ ;
$w_3=w_2+3=16+3=19$ ;
$w_4=22$ ; $w_5=25$ ;…
Ainsi, les deux termes manquants dans la liste $L_3$ sont : $22$ et $25$.

On voit bien, dans cette liste, pour passer d’un terme au suivant, on rajoute $1$ ou bien on multiplie le précédent par $2$.
On peut donc poser le premier terme $u_1=1$. et pour tout entier $n$ on définit $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ da la manière suivante :
$$u_{n+1}\left\lbrace \begin{array}{ll}
=u_n+1~~\text{si}~n~\text{est impair}\\
=2\times u_n~~\text{si}~n~\text{est pair}\\
\end{array}\right.$$

Comme $u_1=1$, on obtient :
$u_2=u_1+1=1+1=2$ ;
$u_3=2\times u_2=2\times 2=4$ ;
$u_4=u_3+1=4+1=5$ ;
$u_5=2\times u_4=2\times 5=10$ ;
$u_6=u_5+1=10+1=11$ ;
$u_7=2\times u_6=2\times 11=22$ ;
Ainsi, les deux termes manquants dans la liste $L_4$ sont : $11$ et $22$.

Pour la suite $L_5$, on suppose que les deux premiers termes $u_0$ et $u_1$ sont donnés. Essayez de trouver une relation entre chaque terme et les deux termes précédents. La suite des termes est : $0$; $1$; $1$; $2$; $3$; $5$; $8$;…

Testez cette relation : $$\begin{array}{ccccccccccccc}
0 & + &1 & = &1 & & & & & & & & \\
& &1 & + &1 & =& 2 & & & & & & \\
& & & & 1 & +&2 & =& 3 & & & & \\
& & & & & &2 & +& 3 & =& 5 & & \\
& & & & & & & &\ldots & \ldots & \ldots & & \\
\end{array}$$ Ce qui donne : $$\begin{array}{ccccccccccccc}
u_0 & + &u_1 & = &u_2 & & & & & & & & \\
& &u_1 & + &u_2 & =& u_3 & & & & & & \\
& & & & u_2 & +&u_3 & =& u_4 & & & & \\
& & & & & &u_3 & +& u_4 & =& u_5 & & \\
& & & & & & & &\ldots & \ldots & \ldots & & \\
\end{array}$$ Pour déterminer les termes suivants, on pose
$0+1=1$ ; $1+1=2$ ; $1+2 =3$ ; $2+3 =5$ ; $3+5 =8$ ; $5+ 8=13$ ; et $8+13=21$.
Ainsi, les deux termes manquants dans la liste $L_5$ sont : $13$ et $21$.

arque

Cette suite de nombres entiers est célèbre et s’appelle la suite de Fibonacci.
Elle donne le nombre de pétales possibles dans une fleur que peut donner une plante.

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