Cours. Isoler ou exprimer une variable en fonction des autres dans une égalité ou une inégalité


1. Isoler ou exprimer une variable en fonction des autres dans une égalité ou une inégalité.

Méthode
On considère une égalité ou une inégalité $(E)$, contenant deux ou trois variables $x$, $y$ et $z$.
Pour exprimer $x$ en fonction de $y$ et $z$, il suffit regrouper et factoriser par $x$ ou $x^2$, pour isoler le terme en $x$ dans le membre de gauche, puis diviser par son coefficient lorsque c’est possible.
Autrement dit : le coefficient de $x$, qu’on peut noter $C$, est une expression dépendant éventuellement de $y$ et $z$, donc $C=C(y,z)$.
On cherche alors toutes les valeurs des autres variables pour lesquelles $C(y,z)=0$. Puis, on distingue tous les cas possibles.

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Soient $x$, $y$ et $z$ trois nombres réels vérifiant l’égalité suivante :
$$(E_1)\; :\quad 2x +3y-4z =6$$
1° a) Exprimer $x$ en fonction des autres variables $y$ et $z$.
$\quad$ b) Calculer $x$ lorsque $y=0$ et $z=2$.
2° b) Exprimer $y$ en fonction des autres variables $x$ et $z$.
$\quad$ b) Calculer $y$ lorsque $x=2$ et $z=2$.

Corrigé
1°a) Tout d’abord, l’égalité $(E_1)$ : $2x +3y -4z=6$, n’admet aucune valeur interdite pour $x$, pour $x$ ou pour $z$. Pour exprimer $x$ en fonction de $y$ et $z$, il suffit d’isoler le terme en $x$ dans le membre de gauche, puis diviser par son coefficient lorsque c’est possible. On a alors :
$$\begin{array}{rcl}
2x +3y-4z =6 &\Leftrightarrow & 2x = -3y+4z+6\\
&\Leftrightarrow & x=\dfrac{-3y+4z+6}{2}\\
&\Leftrightarrow &x=\dfrac{-3}{2}y+2z+3\\
\end{array}$$
Conclusion. Sachant que $2x +3y-4z =6$, $x$ peut s’exprimer en fonction des autres variables $y$ et $z$ comme suit :
$$\color{brown}{\boxed{\; x=\dfrac{-3}{2}y+2z+3\;}}$$
1° b) Pour calculer $x$, il suffit de remplacer $y$ et $z$ par les valeurs données.
$x=\dfrac{-3}{2}y+2z+3 = \dfrac{-3}{2}\times 0+2\times 2+3 = 7$.
Par conséquent, lorsque $y=0$ et $z=2$, on obtient $\color{brown}{\boxed{\;x=7.\;}}$

2° a) D’une manière analogue, pour exprimer $y$ en fonction de $x$ et $z$, il suffit d’isoler le terme en $y$ dans le membre de gauche, puis diviser par son coefficient lorsque c’est possible. On a alors :
$$\begin{array}{rcl}
2x +3y-4z =6 &\Leftrightarrow & 3y = -2x+4z+6\\
&\Leftrightarrow & y=\dfrac{-2x+4z+6}{2}\\
&\Leftrightarrow & y=\dfrac{-2}{3}x+\dfrac{4}{3}z+2\\
\end{array}$$
Conclusion. Sachant que $2x +3y-4z =6$, $y$ peut s’exprimer en fonction des autres variables $x$ et $z$ comme suit :
$$\color{brown}{\boxed{\; y=\dfrac{-2}{3}x+\dfrac{4}{3}z+2\;}}$$
2° b) Pour calculer $y$, il suffit de remplacer $x$ et $z$ par les valeurs données.
$y=\dfrac{-2}{3}x+\dfrac{4}{3}z+2 = y=\dfrac{-2}{3}\times 2+\dfrac{4}{3}\times 2+2$.
Donc : $y=\dfrac{-4}{3}+\dfrac{8}{3}+2 = \dfrac{-4+8+6}{3}=\dfrac{10}{3}$
Par conséquent, lorsque $x=2$ et $z=2$, on obtient $\color{brown}{\boxed{\;y=\dfrac{10}{3}.\;}}$


Exercice résolu n°2. Soient $x$ et $y$deux nombres réels vérifiant l’égalité suivante :
$$(E_2) : 2x +xy=6$$
1° a) Exprimer $x$ en fonction de $y$.
$\quad$ b) Calculer $x$ lorsque $y=1$ puis lorsque $y=-2$.
2° a) Exprimer $y$ en fonction de $x$.
$\quad$ b) Calculer $y$ lorsque $x=2$ puis lorsque $x=0$.

Corrigé
1°a) Tout d’abord, l’égalité $(E_2)$ : $2x +xy=6$, n’admet aucune valeur interdite pour $x$ ou pour $y$. Pour exprimer $x$ en fonction de $y$, il suffit d’isoler le terme en $x$ dans le membre de gauche, puis diviser par son coefficient lorsque c’est possible. On a alors : $$2x +xy=6 \Leftrightarrow x(2+y) =6$$
Pour exprimer $x$ en fonction de $y$, il faut diviser par $2+y$.
Or il est interdit de diviser par $0$. On doit donc résoudre $2+y=0\Leftrightarrow y=-2$ et distinguer les deux cas possibles :
1er cas : $y=-2$.
L’égalité $(E)$ $\Leftrightarrow$ $2x+x\times(-2)=6$ $\Leftrightarrow$ $0=6$.
Ce qui est impossible.
Par conséquent, si $y=-2$, il n’existe aucun réel $x$ pour que l’égalité $(E)$ soit vérifiée.

2ème cas : $y\not=-2$.
Dans ce cas, pour tout $y\not=-2$, on a : $2+y\not=0$, donc on peut diviser par $2+y$. Ce qui donne :
$$\begin{array}{rcl}
2x +xy=6 &\Leftrightarrow & x(2+y) =6\\
&\Leftrightarrow & x=\dfrac{6}{2+y}\\
\end{array}$$
Conclusion. Si $y=-2$, on ne peut pas exprimer $x$ en fonction de $y$.
Si $y\not=-2$, alors $x$ peut s’exprimer en fonction de $y$ comme suit :
$$\color{brown}{\boxed{\;x=\dfrac{6}{2+y}\;}}$$
1° b) Pour calculer $x$, il suffit de remplacer $y$ par la valeur donnée.
$\bullet$ Pour $y=1$, l’égalité $(E_2)$ : $2x +x\times 1=6$. Ce qui donne $3x=6$. Donc, $x=2$.
Par conséquent, lorsque $y=1$, on obtient $\color{brown}{\boxed{\;x=2\;}}$
$\bullet$ $y=-2$, nous avons vu que l’égalité $(E)$ est impossible.

2°a) D’une manière analogue, pour exprimer $y$ en fonction de $x$, il suffit d’isoler le terme en $y$ dans le membre de gauche, puis diviser par son coefficient lorsque c’est possible. On a alors : $$2x +xy=6 \Leftrightarrow xy =-2x+6$$
Pour exprimer $y$ en fonction de $x$, il faut diviser par $x$.
Or il est interdit de diviser par $0$. On doit donc distinguer les deux cas possibles :

1er cas : $x=0$.
L’égalité $(E)$ $\Leftrightarrow$ $2\imes 0+0\times y=6$ $\Leftrightarrow$ $0=6$.
Ce qui est impossible.
Par conséquent, si $x=0$, il n’existe aucun réel $y$ pour que l’égalité $(E_2)$ soit vérifiée.

2ème cas : $x\not=0$.
Dans ce cas, pour tout $x\not=0$, on peut diviser par $x$. Ce qui donne :
$$\begin{array}{rcl}
2x +xy=6 &\Leftrightarrow & xy =-2x+6\\
&\Leftrightarrow & y=\dfrac{-2x+6}{x}\\
&\Leftrightarrow & y=-2+\dfrac{6}{x}\\
\end{array}$$
Conclusion. Si $x=0$, on ne peut pas exprimer $y$ en fonction de $x$.
Si $x\not=0$, alors $y$ peut s’exprimer en fonction de $x$ comme suit :
$$\color{brown}{\boxed{\;y=-2+\dfrac{6}{x}\;}}$$
2° b) Pour calculer $x$, il suffit de remplacer $y$ par la valeur donnée.
$\bullet$ Pour $x=2$, l’égalité $(E_2)$ : $2\times2+2y=6$. Ce qui donne $2y=2$. Donc, $y=1$.
Par conséquent, lorsque $x=2$, on obtient $\color{brown}{\boxed{\;y=1\;}}$
$\bullet$ $x=0$, nous avons vu que l’égalité $(E_2)$ est impossible.


Exercice résolu n°3. On considère un cylindre de rayon $r\not=0$ et de hauteur $h\not=0$. On appelle $V$ son volume.
1°) Exprimer $h$ en fonction de $V$ et $r$.
2°) Exprimer $r$ en fonction de $V$ et $h$.

Corrigé
1°) Tout d’abord, le volume $V$ d’un cylindre de rayon $r\not=0$ et de hauteur $h\not=0$ est donné par la formule : $$V=base\times hauteur = \pi r^2 h$$
$r\not=0$ et $h\not=0$, donc $V\not=0$.
$r$ et $h$ sont des dimensions, donc $r>0$ et $h>0$.
Comme $V=\pi r^2 h$, on obtient : $\color{brown}{\boxed{\;h=\dfrac{V}{\pi r^2}\;}}$

2°) D’une manière analogue, comme $V=\pi r^2 h>0$, $r>0$ et $h>0$, on a $r^2=\dfrac{V}{\pi h}$. Par conséquent, on obtient :
$$\color{brown}{\boxed{\;r=\sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}\;}}$$

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