Cours. Isoler ou exprimer une variable en fonction des autres dans une égalité ou une inégalité
1. Isoler ou exprimer une variable en fonction des autres dans une égalité ou une inégalité.
Méthode
On considère une égalité ou une inégalité $(E)$, contenant deux ou trois variables $x$, $y$ et $z$.
Pour exprimer $x$ en fonction de $y$ et $z$, il suffit regrouper et factoriser par $x$ ou $x^2$, pour isoler le terme en $x$ dans le membre de gauche, puis diviser par son coefficient lorsque c’est possible.
Autrement dit : le coefficient de $x$, qu’on peut noter $C$, est une expression dépendant éventuellement de $y$ et $z$, donc $C=C(y,z)$.
On cherche alors toutes les valeurs des autres variables pour lesquelles $C(y,z)=0$. Puis, on distingue tous les cas possibles.
2. Exercices résolus
Exercice résolu n°1. Soient $x$, $y$ et $z$ trois nombres réels vérifiant l’égalité suivante :
$$(E_1)\; :\quad 2x +3y-4z =6$$
1° a) Exprimer $x$ en fonction des autres variables $y$ et $z$.
$\quad$ b) Calculer $x$ lorsque $y=0$ et $z=2$.
2° b) Exprimer $y$ en fonction des autres variables $x$ et $z$.
$\quad$ b) Calculer $y$ lorsque $x=2$ et $z=2$.
Exercice résolu n°2. Soient $x$ et $y$deux nombres réels vérifiant l’égalité suivante :
$$(E_2) : 2x +xy=6$$
1° a) Exprimer $x$ en fonction de $y$.
$\quad$ b) Calculer $x$ lorsque $y=1$ puis lorsque $y=-2$.
2° a) Exprimer $y$ en fonction de $x$.
$\quad$ b) Calculer $y$ lorsque $x=2$ puis lorsque $x=0$.
Exercice résolu n°3. On considère un cylindre de rayon $r\not=0$ et de hauteur $h\not=0$. On appelle $V$ son volume.
1°) Exprimer $h$ en fonction de $V$ et $r$.
2°) Exprimer $r$ en fonction de $V$ et $h$.
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