I. Proportions et fréquences

1.1. Population de référence

a) On appelle population, un ensemble d’objets ou d’individus faisant l’objet d’une étude statistique.

Exemples.
L’ensemble des élèves de 1ère STMG au Lycée ; l’ensemble des entreprises de moins de 10 salariés en France ; l’ensemble des livres d’une bibliothèque forment des populations faisant l’objet d’études statistiques.

b) Les éléments qui constituent une population s’appellent les individus de cette population. Le nombre d’individus s’appelle l’effectif de la population.

c) La population de référence est la population totale sur laquelle porte l’étude.

Exemple.
Pour calculer la proportion ou le taux de chômage dans un pays, la population de référence considérée est la population active, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les personnes en âge de travailler – en général, de 18 à 64 ans – qui sont disponibles sur le marché du travail, qu’ils aient un emploi ou non.

c) Une sous-population $A$ d’une population $E$ est une partie de cette population. L’effectif de $A$ s’appelle un effectif partiel.
Une sous-population $A$ d’une population $E$, est généralement déterminée par un caractère quantitatif ou qualitatif, ou encore au hasard s’il s’agit d’un échantillon de la population $E$.

Exemples.
L’ensemble des chômeurs forment une sous-population de la population active d’un pays. Le groupe $A$ et le groupe des filles de la classe 1ère STMG2 sont des sous-populations de cette classe.

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1.2. Calculer, exprimer une proportion

Définition 1.
Soient une population de référence, notée $E$, et $A$ une sous-population de $E$. On note l’effectif de la population $E$ et l’effectif partiel de la sous-population $A$. On appelle proportion (ou fréquence) de la sous-population $A$ dans la population $E$ le nombre : $$ p_A = \dfrac{\textrm{Effectif partiel}}{\textrm{Effectif total}} $$
$$\quad\textrm{ou}\quad \color{red}{\boxed{\; p_A = \dfrac{n_A}{n_E}\; }}$$
$p_A$ s’appelle aussi la proportion des individus de $A$ parmi les individus de $E$.
On voit bien que la proportion d’une sous-population $A$ dans une population $E$ correspond exactement à la fréquence de la sous-population $A$ dans $E$.

Propriété n°1.
Une proportion est un nombre réel (positif) compris entre 0 et 1. On a alors : $$\color{red}{\boxed{\; 0 \leq n_A \leq n_E\; }}
\;\textrm{et}\;\color{red}{\boxed{\; 0 \leq p_A \leq 1\; }}$$

Exercice résolu 1.
Au Lycée Édouard Vaillant, qui contient 1050 élèves, 300 élèves sont en Première, dont 70 sont en 1ère STMG. Déterminer la proportion des élèves de 1ère STMG parmi les élèves de Première dans ce lycée.

Méthode : On commence par identifier de façon précise la population de référence $E$, la sous-population $A$ à étudier et leurs effectifs. Appliquer la définition d’une proportion, puis conclure.

Corrigé.
Ici, la population de référence est l’ensemble $E$ des élèves de Première du Lycée, et non la totalité des élèves. Parmi les élèves de Première, $A$ désigne le sous-ensemble des élèves de 1ère STMG. Dans ce Lycée, 300 élèves sont en Première dont 70 en 1ère STMG, donc $n_E = 300$ et $n_A=70$. La proportion $p_A$ est donnée par : $$p_A=\dfrac{n_A}{n_E}=\dfrac{70}{300}$$
Cette fraction n’est pas irréductible. Nous devons simplifier le résultat avant de conclure.
$$ \dfrac{70}{300}=\dfrac{7\times 10}{30\times 10}=\boxed{\;\dfrac{7}{30}\; }$$
Conclusion. La proportion des élèves de 1ère STMG parmi les élèves de Première dans ce Lycée est de $p_A=\dfrac{7}{30}$.
On pourrait aussi conclure : Sept élèves de Première sur 30 dans ce Lycée sont en 1ère STMG.

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1.3. Exprimer une fréquence de différentes manières

En appliquant la définition, nous obtenons une proportion écrite sous la forme d’une fraction irréductible.
En fait, nous pouvons l’écrire sous trois autres formes et passer de l’une à l’autre :

i) Sous la forme d’une fraction irréductible.
Par exemple, au Lycée Édouard Vaillant, sur les 300 élèves de Première sont en 1ère STMG. Donc, $p = \dfrac{70}{300}=\boxed{\dfrac{7}{30}}$ qui est une fraction irréductible.

ii) Sous la forme d’un nombre décimal compris entre 0 et 1, en donnant la valeur exacte ou une valeur approchée arrondie.
Il suffit d’effectuer la division. Par exemple : $ \dfrac{7}{30}=0,2333…$
On peut conclure que la proportion … est égale à $p_A=0,2333…$ et suivant la question posée, on peut arrondir à l’unité, au dixième, …etc.

iii) Sous la forme d’un pourcentage.
Par exemple :
$\begin{array}{rcl}\dfrac{70}{300}&=&0,2333… \\
&=& \boxed{\dfrac{23,33..}{100}}\\
&=& 23,33…\%
\end{array}$
Pour écrire une fraction en pourcentage, il suffit de multiplier (et diviser) par 100. Ce qui revient à déplacer la virgule de deux chiffres à droite.
Là aussi, pour arrondir en pourcentage au dixième (1 chiffre après la virgule), il faut et il suffit d’arrondir l’écriture décimale au millième près (trois chiffres après la virgule).

Conclusion. 23,3% des élèves de Première dans ce Lycée sont en 1ère STMG.

Propriété 2.
Une proportion peut s’écrire de trois manière différentes
i) sous la forme d’une fraction irréductible ;
ii) sous la forme d’un nombre décimal compris entre 0 et 1, en donnant la valeur exacte ou une valeur approchée arrondie.
iii) ou sous la forme d’un pourcentage.

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1.4. Calculer un effectif connaissant une proportion

On commence par identifier de façon précise la population de référence $E$ et la sous-population $A$. On suppose cette fois que la proportion et l’un des deux effectifs sont connus.

Propriété 3.
Pour calculer l’effectif de la sous-population A ou l’effectif de la population E, on écrit la formule de calcul d’une proportion, puis on écrit l’égalité des produits en croix. Ce qui donne :
$\color{red}{\boxed{\; p_A = \dfrac{n_A}{n_E}\; }}\; (1)\quad$ $\color{red}{\boxed{\; n_A =p_A\times n_E\; }}\; (2)\quad$ $\color{red}{\boxed{\; n_E = \dfrac{n_A}{p_A}\; }}\; (3)$

Exercice résolu 2.
La classe de 1èreS1 contient 33 élèves dont 35% de filles. Calculer le nombre de filles dans cette classe.

Corrigé.
La population de référence $E$= Ensemble des élèves de la classe de 1èreS1. Effectif  $n_E= 33$. La sous-population $F$ concernée est le groupe des filles de la classe 1èreS1. Effectif $n_F=?$ à calculer.
D’après l’énoncé, la proportion des filles dans cette classe est $p_F= 35% =\dfrac{35}{100} =0,35$ . On pose donc : $$n_F=p_F\times n_E$$
Ce qui donne : $n_F=0,35\times 33 = 11,55$.
Le nombre de filles étant un nombre entier, on doit arrondir le résultat à l’unité. Ce qui donne : $11,55\simeq 12$.
Conclusion. L’effectif des filles dans la classe 1èreS1 est égal à $12$.

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1.5. Comparer deux effectifs et comparer deux proportions

Propriété n°4.
1°) Si deux sous-populations font partie d’une même population de référence, alors leurs proportions sont rangées dans le même ordre que les effectifs.
2°) Si deux sous-populations font partie de populations de référence différentes, alors leurs proportions et les effectifs ne sont pas forcément rangées dans le même ordre.

Exercice résolu 3.
Sur les 25 élèves de la classe 1STMG2, il y a 14 filles. Comparer les effectifs et les proportions des filles et des garçons dans cette classe.

Corrigé.
L’effectif de la population de référence est de $n_E= 22$.
D’une part, l’effectif du groupe des filles est $n_F= 14$ et l’effectif du groupe des garçons est $n_G = 11$. Par suite, on a bien : $n_F > n_G$.
D’autre part, $p_F=\dfrac{n_F}{n_E}=\dfrac{14}{25}$ et $p_G=\dfrac{n_G}{n_E}=\dfrac{11}{25}$. Ces deux fractions ont le même dénominateurs, il suffit de comparer leurs numérateurs. Doù : $$n_F>n_G \Rightarrow p_F>p_G$$
Conclusion 1. On constate bien que, lorsque les deux sous-populations font partie d’une même population de référence, les proportions et les effectifs sont rangés dans le même ordre.

Exercice résolu 4.
En 2010, il y avait 30 élèves en TS1 et 35 en TS2. 28 élèves ont réussi leur bac en TS1 et 30 en TS2. Comparer les effectifs et les proportions des élèves qui ont réussi au bac dans les deux classes.

Corrigé. On définit d’abord les populations de référence :
$E$ = Ensemble des élèves de la classe TS1 et $A$ = le groupe des élèves qui ont réussi au bac en TS1. $F$ = Ensemble des élèves de la classe TS2 et $B$ = le groupe des élèves qui ont réussi au bac en TS2.
On a $n_E=30$ et $n_A=28$. De même $n_F=35$ et $n_B=30$.
On a bien $n_A< n_B$. Ce qui donne :
$p_A=\dfrac{n_A}{n_E}= \dfrac{28}{30}\simeq 0,9333…$ et $p_B=\dfrac{n_B}{n_F}= \dfrac{30}{35}\simeq 0,85714…$
Il est clair que $p_A> p_B$.

On constate bien que les proportions et les effectifs ne sont pas rangés dans le même ordre !

Exercice 5.
Si on reprend le même que l’exemple 2 avec 33 élèves qui ont réussi au bac dans la classe TS2. Montrer que, dans ce cas, même si les populations de référence ne sont pas les mêmes, n’ont pas le même effectifs, les proportions et les effectifs sont rangés dans le même ordre.

Autre présentation (On peut faire les calculs sur un tableur)
$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline
\textrm{Pop. de réf. } & TS1 & TS2 & \textrm{Les 2 TS}\\ \hline
\textrm{Effectif total} & 30 & 35 & 65\\ \hline
\textrm{Effectif partiel} & 28 & 30 & 58\\ \hline
\textrm{Proportions} & 0,933.. & 0,857.. & 0,892.. \\ \hline
\end{array}$$

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II. Réunion, intersection et proportions

2.1. Réunion et intersection

Définition 3.
On considère deux sous-populations $A$ et $B$ d’une même population de référence $E$. On note $A\cap B$ la sous-population de $E$, constituée de tous les individus de $E$ qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$. $A\cap B$ est l’ensemble des individus communs à $A$ et $B$. $A\cap B$ s’appelle l’intersection de $A$ et $B$.

Définition 4.
De même, on note $A\cup B$ la sous-population de $E$, constituée de tous les individus de $E$ qui sont dans $A$ ou dans $B$ ou dans les deux. Donc $A\cup B$ est constitué de tous les individus de $E$ qui appartiennent à au moins une des deux sous-populations $A$ ou $B$. $A\cup B$ s’appelle la réunion de A et B.

Figure 1. Intersection et réunion de $A$ et $B$.

On note alors $n_A$, $n_B$, $n_{A\cap B}$ et $n_{A\cup B}$, les effectifs respectifs, et $p_A$, $p_B$, $p_{A\cap B}$ et $p_{A\cup B}$, les proportions respectives de $A$, $B$, $A\cap B$ et $A\cup B$ dans la population $E$.

Nous cherchons à calculer l’effectif de $A\cup B$. Si on additionnait les effectifs de $A$ et $B$, on compterait deux fois les individus qui sont dans la partie commune à $A$ et $B$. Par conséquent, il faut soustraire une fois l’effectif de $A\cap B$. Ce qui donne :
$$\boxed{\; n_{A\cup B}= n_A+n_B-n_{A\cap B}\; }$$
Et, par suite, si on divise les deux membres de cette égalité par l’effectif total $n_E$, on obtient : $$\dfrac{n_{A\cup B}}{n_E}= \dfrac{ n_A}{ n_E}+ \dfrac{n_B}{ n_E}- \dfrac{n_{A\cap B}}{ n_E}$$
Ce qui donne pour les proportions :
$$\boxed{\; p_{A\cup B}= p_A+p_B-p_{A\cap B}\; }$$

Propriété n°5.
1°) Si deux sous-populations$A$ et $B$ font partie d’une même population de référence, d’effectifs $n_A$ et $n_B$ et de proportions $p_A$ et $p_B$ respectivement, alors l’effectif et la proportion de leur réunion $A\cup B$ sont donnés par :
$$\color{red}{\boxed{\begin{array}{rcl}
n_{A\cup B}&=& n_A+n_B-n_{A\cap B}\\
p_{A\cup B}&=& p_A+p_B-p_{A\cap B}\\ \end{array}\; }}$$

Exemple : Fromage ou dessert !?

Exercice résolu 6.
A la fin d’un banquet, 86% des convives ont commandé un fromage, 94% des convives ont commandé un dessert et 81% ont commandé un fromage et un dessert. Calculer la proportion des convives qui ont commandé un fromage ou un dessert.

Corrigé.
La population de référence $E$ = l’ensemble de tous les convives = 100%. La sous-population $A$ = les convives qui ont commandé un fromage. La sous-population $B$ = les convives qui ont commandé un dessert. $A\cap B$ = la sous-population des convives qui ont commandé un fromage et un dessert. Enfin, $A\cup B$ = la sous-population des convives qui ont commandé un fromage ou un dessert :
D’après le cours, on sait que : $p_{A\cup B} = p_A+p_B-p_{A\cap B}$. Donc : $ p_{A\cup B} = 0,86 + 0,94 – 0,81 = 0,99 = 99%$.
Conclusion : 99% des convives ont commandé un fromage ou un dessert.

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2.2. Présentation de proportions dans un tableau croisé :

On peut présenter le problème dans un tableau croisé. On note (en gras) tout ce qu’on sait et on remplit (en simple) les cases vides en complétant les différents totaux. On note $A$ la partie des convives qui ont choisi le fromage et $B$, ceux qui on choisi dessert. On note $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les complémentaires [les événements contraires] de $A$ et de $B$ dans $E$ respectivement.

Répartition $A$ $\overline{A}$ Total
$B$ 81 13 94
$\overline{B}$5 1 6
Total 86 14 100

Ainsi, sur 100 convives, 86 ont pris un fromage, dont 81 ont aussi pris un dessert. Dont il n’y a que 5 qui ont pris un fromage, mais pas de dessert. Et ainsi de suite… Finalement, 1 convive n’a pris ni fromage ni dessert. Il reste 99 sur les 100 qui ont commandé fromage ou dessert.
Conclusion : 99% des convives ont commandé un fromage ou un dessert.

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2.3. Sous-populations disjointes

Définition 5.
On dit que deux sous-populations $A$ et $B$ d’une même population $E$ sont disjointes lorsque $A$ et $B$ n’ont aucun individu en commun. Donc : $A\cap B=\emptyset$. Par conséquent : $n_{ A\cap B}=0$ et $p_{ A\cap B}=0$. Donc : $ $n_{ A\cup B}=n_A+n_B$ et $p_{ A\cup B}=p_A+p_B$.

Propriété 6.
Si deux sous-populations $A$ et $B$ d’une même population de référence sont disjointes, alors la proportion de leur réunion est donnée par : $$\color{red}{\boxed{\;n_{ A\cup B}=n_A+n_B\;\textrm{et}\; p_{ A\cup B}=p_A+p_B\; }}$$

Exercice résolu 7.
Une équipe de judo compte 40 personnes dont 10 adultes. Le groupe des jeunes est formé de 16 filles et 14 garçons.
1°) Calculer la proportion des garçons, des filles et des jeunes dans cette équipe.
2°) Que constatez-vous ? Pourquoi ?

Corrigé.
1°) La population de référence $E$ = l’ensemble de l’équipe de judo. Donc : $n_E=40$. Et si on pose : $A$ = le groupe des filles et $B$ = le groupe des garçons, alors, $A\cup B$ = le groupe des jeunes. Ce qui donne :
$n_A=16$, $n_B=14$ et $n_{A\cup B}=30$ et $n_{A\cap B}=0$, puisque ces deux groupes sont disjoints. On obtient ainsi :
$p_A=\dfrac{16}{40}= \dfrac{2}{5}= 0,40 =\dfrac{40}{100} =40%$, donc $\color{red}{\boxed{p_A=0,40}}$
$p_A=\dfrac{14}{40}= \dfrac{7}{20}= 0,35 = \dfrac{35}{100} =35%$, donc $\color{red}{\boxed{p_B=0,35}}$
$p_{A\cup B}=\dfrac{30}{40}= \dfrac{3}{4}=0,75 = \dfrac{75}{100} =75%$, donc $\color{red}{\boxed{ p_{A\cup B} =0,75}}$.

2°) On constate en effet, que les deux sous-populations $A$ et $B$ n’ont aucun point commun, elles sont disjointes. Donc, on aurait pu appliquer directement la propriété n°6.

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2.4. Cas particulier : Sous-population contraire

Définition 6.
Soit $E$ une population de référence et $A$ une sous-population. Les individus de $E$ qui n’appartiennent pas à la sous-population $A$ forment la sous-population contraire, notée $\overline{A}$.

Théorème.
La proportion de $ \overline{A}$ dans $E$ est donnée par : $p_{\, \overline{A}}=1-p_A$.

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III. Proportions échelonnées ou proportions de proportions

Définition 7.
On considère trois populations $A$, $E$ et $F$, où $A$ est une sous-population de $E$ et $E$ est une sous-population de $F$ comme l’indique le schéma ci-dessous. On dit que les populations $A$, $E$ et $F$ sont échelonnées ou emboîtées dans cet ordre. $A$ est contenue dans $E$ et $E$ est contenue dans $F$. On note : $$\color{red}{A\subset E\quad\textrm{et}\quad E\subset F}$$

Figure 2. Populations échelonnées ou emboîtées

On note alors $n_A$, $n_E$ et $n_F$ les effectifs de $A$, $E$ et $F$ respectivement. On note $p$ la proportion de la sous-population $A$ dans la population $E$, $p’$ la proportion de la sous-population $E$ dans la population $F$ et $P$ la proportion de la sous-population $A$ dans la population $F$.
On a alors : $p=\dfrac{n_A}{n_E}$, $p’=\dfrac{n_E}{n_F}$ et $P=\dfrac{n_A}{n_F}$. Ce qui donne : $$ p\times p’=\dfrac{n_A}{n_E}\times \dfrac{n_E}{n_F} = \dfrac{n_A\times n_E}{n_E\times n_F}= \dfrac{n_A}{n_F}=P.$$

Propriété n°7.
On considère trois populations $A$, $E$ et $F$ où $A$ est une sous-population de $E$ et $E$ une sous-population de $F$. Si $p$ est la proportion de $A$ dans $E$ et $p’$ est la proportion de $E$ dans $F$, alors la proportion $P$ de $A$ dans $F$ est : $$\color{red}{\boxed{\; P = p\times p’\; }} $$

Exercice résolu.
Au lycée Édouard Vaillant, la proportion des élèves de 1ère STMG dans l’ensemble des Premières est de 20% et la proportion de l’ensemble des Premières dans l’ensemble des élèves du lycée est de 30%.
Déterminer la proportion des élèves de 1ère STMG dans l’ensemble du lycée.

Corrigé.
Soit $F$ = la population des élèves du lycée, $E$ = la sous-population de $F$ des élèves de Premières et $A$ = la sous-population de $E$ des élèves de 1ère STMG.
$A$ est contenue dans $E$ et $E$ est contenue dans $F$. Donc, ces trois populations sont échelonnées ou emboîtées dans cet ordre.
La proportion de la sous-population $A$ dans la population $E$ est : $p=20\%=0,20$. La proportion de la sous-population $E$ dans la population $F$ est : $p’=30\%=0,30$.
Donc, si on note $P$ la proportion de la sous-population $A$ dans $F$, alors : $$P=p \times p’ = 0,2 \times 0,3 = 0,06 = 6%$$
Conclusion. La proportion des élèves de 1ère STMG dans l’ensemble du lycée est de $6\%$.

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