Calculer, appliquer une proportion

Exprimer une proportion de différentes manières

Les notions de proportions et de pourcentages sont fondamentales aussi bien dans la vie courante que dans la vie professionnelle.
Il est absolument nécessaire d’abord de maîtriser les concepts, puis de savoir effectuer les calculs appropriés. Notamment pour appliquer ou calculer, puis exprimer une proportion sous différentes formes (décimale, fractionnaire, pourcentage) et calculer des proportions de proportions.

  1. Population de référence
  2. Calculer, appliquer une proportion
  3. Exprimer une proportion ou une fréquence de différentes manières
  4. Calculer un effectif connaissant une proportion
  5. Comparer deux effectifs et comparer deux proportions
  6. Réunion, intersection et proportions
  7. Présentation de proportions dans un tableau croisé
  8. Sous-populations disjointes
  9. Sous-populations contraires
  10. Proportions échelonnées. Calcul d’une proportion de proportions

2. Calculer, exprimer une proportion

Définition 1.
On considère une population de référence, notée $E$, et $A$ une sous-population de $E$. On note $n_E$ l’effectif de la population $E$ et $n_A$ l’effectif partiel de la sous-population $A$. On appelle proportion (ou fréquence) de la sous-population $A$ dans la population $E$ le nombre : $$ \color{brown}{\boxed{\quad p_A = \dfrac{\textrm{Effectif partiel}}{\textrm{Effectif total}} \quad}} $$
$$\quad\textrm{ou}\quad \color{brown}{\boxed{\quad p_A = \dfrac{n_A}{n_E}\quad}}$$
$p_A$ s’appelle aussi la proportion des individus de $A$ parmi les individus de $E$.
On voit bien que la proportion d’une sous-population $A$ dans une population $E$ correspond exactement à la fréquence de la sous-population $A$ dans $E$.

Propriété n°1.
Une proportion est un nombre réel (positif) compris entre 0 et 1. On a alors :
$$\color{brown}{\boxed{\; 0 \leq n_A \leq n_E\; }}
\;\textrm{et}\;\color{brown}{\boxed{\; 0 \leq p_A \leq 1\; }}$$

Exercice résolu 2.
Au Lycée Édouard Vaillant, qui contient 1050 élèves, 300 élèves sont en Première, dont 70 sont en 1ère STMG. Déterminer la proportion des élèves de 1ère STMG parmi les élèves de Première dans ce lycée.

Méthode : On commence par identifier de façon précise la population de référence $E$, la sous-population $A$ à étudier et leurs effectifs. Appliquer la définition d’une proportion, puis conclure.

Corrigé.
Ici, la population de référence est l’ensemble $E$ des élèves de Première du Lycée, et non la totalité des élèves.

Parmi les élèves de Première, $A$ désigne le sous-ensemble des élèves de 1ère STMG.

Dans ce Lycée, 300 élèves sont en Première dont 70 en 1ère STMG, donc $n_E = 300$ et $n_A=70$. La proportion $p_A$ est donnée par :
$$p_A=\dfrac{n_A}{n_E}=\dfrac{70}{300}$$
Cette fraction n’est pas irréductible. Nous devons simplifier le résultat avant de conclure.
$$ \dfrac{70}{300}=\dfrac{7\times 10}{30\times 10}=\boxed{\;\dfrac{7}{30}\; }$$
Conclusion. La proportion des élèves de 1ère STMG parmi les élèves de Première dans ce Lycée est de $p_A=\dfrac{7}{30}$.

On pourrait aussi conclure : Sept élèves de Première sur 30 dans ce Lycée sont en 1ère STMG.

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