Proportions échelonnées. Calcul de proportion d’une proportion
Exprimer une proportion de différentes manières
Les notions de proportions et de pourcentages sont fondamentales aussi bien dans la vie courante que dans la vie professionnelle.
Il est absolument nécessaire d’abord de maîtriser les concepts, puis de savoir effectuer les calculs appropriés. Notamment pour appliquer ou calculer, puis exprimer une proportion sous différentes formes (décimale, fractionnaire, pourcentage) et calculer des proportions de proportions.
10. Proportions échelonnées ou proportions de proportions
Définition 10.
On considère trois populations $A$, $E$ et $F$, où $A$ est une sous-population de $E$ et $E$ est une sous-population de $F$ comme l’indique le schéma ci-dessous. On dit que les populations $A$, $E$ et $F$ sont échelonnées ou emboîtées dans cet ordre.
$A$ est contenue dans $E$ et $E$ est contenue dans $F$. On note :
$$\color{brown}{A\subset E\quad\textrm{et}\quad E\subset F}$$

Propriété n°1.
On considère trois populations $A$, $E$ et $F$ où $A$ est une sous-population de $E$ et $E$ une sous-population de $F$. Si $p$ est la proportion de $A$ dans $E$ et $p’$ est la proportion de $E$ dans $F$, alors la proportion $P$ de $A$ dans $F$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\; P = p\times p’\; }}$$
On note alors $n_A$, $n_E$ et $n_F$ les effectifs de $A$, $E$ et $F$ respectivement.
On note $p$ la proportion de la sous-population $A$ dans la population $E$,
$p’$ la proportion de la sous-population $E$ dans la population $F$ et $P$ la proportion de la sous-population $A$ dans la population $F$.
On a alors : $p=\dfrac{n_A}{n_E}$, $p’=\dfrac{n_E}{n_F}$ et $P=\dfrac{n_A}{n_F}$.
Ce qui donne :
$$ p\times p’=\dfrac{n_A}{n_E}\times \dfrac{n_E}{n_F} = \dfrac{n_A\times n_E}{n_E\times n_F}= \dfrac{n_A}{n_F}=P.$$
Exercice résolu 1.
Au lycée Édouard Vaillant, la proportion des élèves de 1ère STMG dans l’ensemble des Premières est de 20% et la proportion de l’ensemble des Premières dans l’ensemble des élèves du lycée est de 30%.
Déterminer la proportion des élèves de 1ère STMG dans l’ensemble du lycée.
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