Proportions échelonnées. Calcul de proportion d’une proportion

Exprimer une proportion de différentes manières


Les notions de proportions et de pourcentages sont fondamentales aussi bien dans la vie courante que dans la vie professionnelle.
Il est absolument nécessaire d’abord de maîtriser les concepts, puis de savoir effectuer les calculs appropriés. Notamment pour appliquer ou calculer, puis exprimer une proportion sous différentes formes (décimale, fractionnaire, pourcentage) et calculer des proportions de proportions.


10. Proportions échelonnées ou proportions de proportions

Définition 10.
On considère trois populations $A$, $E$ et $F$, où $A$ est une sous-population de $E$ et $E$ est une sous-population de $F$ comme l’indique le schéma ci-dessous. On dit que les populations $A$, $E$ et $F$ sont échelonnées ou emboîtées dans cet ordre.

$A$ est contenue dans $E$ et $E$ est contenue dans $F$. On note :
$$\color{brown}{A\subset E\quad\textrm{et}\quad E\subset F}$$

Figure 2. Populations échelonnées ou emboîtées

Propriété n°1.
On considère trois populations $A$, $E$ et $F$ où $A$ est une sous-population de $E$ et $E$ une sous-population de $F$. Si $p$ est la proportion de $A$ dans $E$ et $p’$ est la proportion de $E$ dans $F$, alors la proportion $P$ de $A$ dans $F$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\; P = p\times p’\; }}$$

On note alors $n_A$, $n_E$ et $n_F$ les effectifs de $A$, $E$ et $F$ respectivement.
On note $p$ la proportion de la sous-population $A$ dans la population $E$,
$p’$ la proportion de la sous-population $E$ dans la population $F$ et $P$ la proportion de la sous-population $A$ dans la population $F$.

On a alors : $p=\dfrac{n_A}{n_E}$, $p’=\dfrac{n_E}{n_F}$ et $P=\dfrac{n_A}{n_F}$.

Ce qui donne :
$$ p\times p’=\dfrac{n_A}{n_E}\times \dfrac{n_E}{n_F} = \dfrac{n_A\times n_E}{n_E\times n_F}= \dfrac{n_A}{n_F}=P.$$

Exercice résolu 1.
Au lycée Édouard Vaillant, la proportion des élèves de 1ère STMG dans l’ensemble des Premières est de 20% et la proportion de l’ensemble des Premières dans l’ensemble des élèves du lycée est de 30%.
Déterminer la proportion des élèves de 1ère STMG dans l’ensemble du lycée.

Corrigé.
Soit $F$ = la population des élèves du lycée,
$E$ = la sous-population de $F$ des élèves de Premières
et $A$ = la sous-population de $E$ des élèves de 1ère STMG.

$A$ est contenue dans $E$ et $E$ est contenue dans $F$.
Donc, ces trois populations sont échelonnées ou emboîtées dans cet ordre.

La proportion de la sous-population $A$ dans la population $E$ est : $p=20\%=0,20$.
La proportion de la sous-population $E$ dans la population $F$ est : $p’=30\%=0,30$.
Donc, si on note $P$ la proportion de la sous-population $A$ dans $F$, alors :
$$P=p \times p’ = 0,2 \times 0,3 = 0,06 = 6%$$
Conclusion. La proportion des élèves de 1ère STMG dans l’ensemble du lycée est de $6\%$.

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