Résolution graphique d’une inéquation du type : $f(x)<k$ ou $f(x)\leqslant k$
Liens connexes
- Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
- Repérage d’un point dans le plan.
- Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
- Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
- Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
- Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
- Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
- Sens de variation d’une fonction numérique de la variable réelle.
- Déterminer graphiquement le sens de variations d’une fonction.
- Tableau de variations d’une fonction.
- Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
- Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.
1. Résolution graphique d’une inéquation du type $f(x)<k$ ou $f(x)\leqslant k$
Soit $f$ une fonction définie sur $D$, un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$ et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O\, ;I ;J)$. Soit $k\in\R$, un nombre réel donné, et $\Delta_k$ la droite parallèle à l’axe des abscisses, d’équation $y=k$.
La droite $\Delta_k$ peut couper en un ou plusieurs points (ou ne pas couper) la courbe $C_f$.
Propriété 1.
Résoudre graphiquement une inéquation du type $f(x)<k$ dans un intervalle $D$, équivaut à chercher l’ensemble des abscisses des points de la courbe $C_f$, s’il en existe, situés en dessous de la droite $\Delta_k$ parallèle à l’axe des abscisses, d’équation $y=k$.

Dans le cas de cette figure, les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés en dessous de la droite $\Delta_k$ d’équation $y=k$, sont tous les nombres réels $x$ inférieurs à $x_1$ ou supérieurs à $x_2$. Ce qui donne :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)<k &\Longleftrightarrow & x<x_1\text{ ou } x>x_2\\
& \Longleftrightarrow & x\in\left]-\infty;x_1\right[ \text{ ou } x\in\left]x_2;+\infty\right[ \\
\end{array}$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)<k$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}=\left]-\infty;x_1\right[ \cup\left]x_2;+\infty\right[\quad}}$$
D’une manière analogue, l’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\leqslant k$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}=\left]-\infty;x_1\right] \cup\left[x_2;+\infty\right[\quad}}$$
Il suffit d’inclure les bornes de cet intervalle.
1. Résolution graphique d’une inéquation du type $f(x)>k$ ou $f(x)\geqslant k$
Propriété 2.
Résoudre graphiquement une inéquation du type $f(x)>k$ dans un intervalle $D$, équivaut à chercher l’ensemble des abscisses des points de la courbe $C_f$, s’il en existe, situés au-dessus de la droite $\Delta_k$ parallèle à l’axe des abscisses, d’équation $y=k$.

Dans le cas de cette figure, les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés au-dessus de la droite $\Delta_k$ d’équation $y=k$, sont tous les nombres réels $x$ compris entre $x_1$ et $x_2$. Ce qui donne :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)>k &\Longleftrightarrow & x_1<x<x_2\\
& \Longleftrightarrow & x\in\left]x_1;x_2\right[ \\
\end{array}$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)>k$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}=\left]x_1;x_2\right[\quad}}$$
D’une manière analogue, l’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\geqslant k$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}=\left[x_1;x_2\right]\quad}}$$
Il suffit d’inclure les bornes de cet intervalle.
2. Exemples résolus
Dans les trois exercices ci-dessous, on considère la fonction définie sur l’intervalle $D=[-2;4]$ par sa courbe représentative $C_f$ (Figure 1).
Exemple résolu n°1.
Résoudre graphiquement l’inéquation suivante ($E_1$) : $f(x) \geqslant 1$.
Exemple résolu n°2.
Résoudre graphiquement l’inéquation suivante ($E_2$) : $f(x)\geqslant 5$.
Exemple résolu n°3.
1°) Résoudre graphiquement l’inéquation suivante ($E_3$) : $f(x) \leqslant 6$.
2°) Résoudre graphiquement l’inéquation suivante ($E_4$) : $f(x) \geqslant 6$.
3. Exercices supplémentaires pour s’entraîner
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