Résolution graphique d’une inéquation du type : $f(x)<k$ ou $f(x)\leqslant k$


Liens connexes

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  2. Repérage d’un point dans le plan.
  3. Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
  4. Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
  5. Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
  6. Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
  7. Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
  8. Sens de variation d’une fonction numérique de la variable réelle.
  9. Déterminer graphiquement le sens de variations d’une fonction.
  10. Tableau de variations d’une fonction.
  11. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
  12. Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.

1. Résolution graphique d’une inéquation du type $f(x)<k$ ou $f(x)\leqslant k$

Soit $f$ une fonction définie sur $D$, un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$ et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O\, ;I ;J)$. Soit $k\in\R$, un nombre réel donné, et $\Delta_k$ la droite parallèle à l’axe des abscisses, d’équation $y=k$.
La droite $\Delta_k$ peut couper en un ou plusieurs points (ou ne pas couper) la courbe $C_f$.


Propriété 1.
Résoudre graphiquement une inéquation du type $f(x)<k$ dans un intervalle $D$, équivaut à chercher l’ensemble des abscisses des points de la courbe $C_f$, s’il en existe, situés en dessous de la droite $\Delta_k$ parallèle à l’axe des abscisses, d’équation $y=k$.

Figure 1. Résolution graphique d’une inéquation $f(x)<k$ ou $f(x)\leqslant k$

Dans le cas de cette figure, les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés en dessous de la droite $\Delta_k$ d’équation $y=k$, sont tous les nombres réels $x$ inférieurs à $x_1$ ou supérieurs à $x_2$. Ce qui donne :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)<k &\Longleftrightarrow & x<x_1\text{ ou } x>x_2\\
& \Longleftrightarrow & x\in\left]-\infty;x_1\right[ \text{ ou } x\in\left]x_2;+\infty\right[ \\
\end{array}$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)<k$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}=\left]-\infty;x_1\right[ \cup\left]x_2;+\infty\right[\quad}}$$

D’une manière analogue, l’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\leqslant k$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}=\left]-\infty;x_1\right] \cup\left[x_2;+\infty\right[\quad}}$$
Il suffit d’inclure les bornes de cet intervalle.


1. Résolution graphique d’une inéquation du type $f(x)>k$ ou $f(x)\geqslant k$

Propriété 2.
Résoudre graphiquement une inéquation du type $f(x)>k$ dans un intervalle $D$, équivaut à chercher l’ensemble des abscisses des points de la courbe $C_f$, s’il en existe, situés au-dessus de la droite $\Delta_k$ parallèle à l’axe des abscisses, d’équation $y=k$.

Figure 2. Résolution graphique d’une inéquation $f(x)>k$ ou $f(x)\geqslant k$

Dans le cas de cette figure, les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés au-dessus de la droite $\Delta_k$ d’équation $y=k$, sont tous les nombres réels $x$ compris entre $x_1$ et $x_2$. Ce qui donne :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)>k &\Longleftrightarrow & x_1<x<x_2\\
& \Longleftrightarrow & x\in\left]x_1;x_2\right[ \\
\end{array}$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)>k$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}=\left]x_1;x_2\right[\quad}}$$

D’une manière analogue, l’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\geqslant k$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}=\left[x_1;x_2\right]\quad}}$$
Il suffit d’inclure les bornes de cet intervalle.


2. Exemples résolus

Dans les trois exercices ci-dessous, on considère la fonction définie sur l’intervalle $D=[-2;4]$ par sa courbe représentative $C_f$ (Figure 1).

Exemple résolu n°1.
Résoudre graphiquement l’inéquation suivante ($E_1$) : $f(x) \geqslant 1$.

Corrigé.
1°) Résolution de l’inéquation ($E_1$) $f(x) \geqslant 1$.
On trace la droite $\Delta_1$ d’équation $y = 1$ et on cherche les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés au-dessus ou sur la droite $\Delta_1$.

Figure 3. Résolution graphique de l’inéquation $f(x)\geqslant1$

Les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés au-dessus de la droite $\Delta_1$ d’équation $y=1$, sont tous les nombres réels $x$ compris entre $-1$ et $3$. Ce qui donne :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)\geqslant 1 &\Longleftrightarrow & -1\geqslant x\geqslant3\\
& \Longleftrightarrow & x\in\left[-1;3\right] \\
\end{array}$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\geqslant 1$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_1=\left[-1;3\right]\quad}}$$

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Exemple résolu n°2.
Résoudre graphiquement l’inéquation suivante ($E_2$) : $f(x)\geqslant 5$.

Corrigé.
1°) Résolution de l’inéquation ($E_1$) $f(x) \geqslant 5$.
On trace la droite $\Delta_5$ d’équation $y = 5$ et on cherche les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés au-dessus ou sur la droite $\Delta_5$.

Figure 3. Résolution graphique de l’inéquation $f(x)\geqslant5$

Dans notre cas de figure, il existe un seul point de la courbe $C_f$, situés aussi sur la droite $\Delta_5$ d’équation $y=5$. Ce qui donne :
$$f(x)\geqslant 5 \Longleftrightarrow x=1$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\geqslant 5$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_2=\left\{ 1\right\}\quad}}$$

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Exemple résolu n°3.
1°) Résoudre graphiquement l’inéquation suivante ($E_3$) : $f(x) \leqslant 6$.
2°) Résoudre graphiquement l’inéquation suivante ($E_4$) : $f(x) \geqslant 6$.

Corrigé.
1°) Résolution de l’inéquation ($E_1$) $f(x) \leqslant 6$.
On trace la droite $\Delta_6$ d’équation $y = 6$ et on cherche les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés en dessous ou sur la droite $\Delta_6$.

Figure 4. Résolution graphique de l’inéquation $f(x)\leqslant 6$ ou $f(x)\geqslant 6$

Dans notre cas de figure, tous les points de la courbe $C_f$, sont situés en dessous de la droite $\Delta_6$ d’équation $y=6$. Ce qui donne :
$$f(x)\leqslant 5 \Longleftrightarrow x\in\R$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\leqslant 6$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_1=\R\quad}}$$

Corrigé.
2°) Résolution de l’inéquation ($E_2$) $f(x) \geqslant 6$.
On trace la droite $\Delta_6$ d’équation $y = 6$ et on cherche les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés au-dessus ou sur la droite $\Delta_6$.

Dans notre cas de figure, aucun point de la courbe $C_f$ n’est situé au-dessus ou sur la droite $\Delta_6$ d’équation $y=6$.
Par conséquent, cette inéquation n’admet aucune solution dans $\R$

Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\geqslant 6$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_1=\emptyset\quad}}$$

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3. Exercices supplémentaires pour s’entraîner