Calculs avec les puissances de 10

Sommaire
1) Définition des puissances de 10
2) Pourquoi $10^0=1$
3) Propriétés des puissances de 10
4) Écriture d’un nombre décimal à l’aide des puissances de 10
5) Notation scientifique
6) Notation de l’ingénieur
7) Principaux préfixes utilisés dans les unités, avec les puissances de 10

3.1. Définition des puissances de 10

$\boxed{\color{red}{ 10^0=1}}$, (nous allons voir pourquoi) ;
$\boxed{ \color{red}{ 10^1=10}}$,
$\color{red}{10^2}=10\times 10 =100$,
$\color{red}{10^3}= 10\times 10\times 10=1000$,…etc, désignent les puissances entières de $10$.

Définition 1.
Plus généralement, pour tout entier naturel non nul $ \color{bleu}{n}$, 10 (élevé) à la puissance $\color{bleu}{n}$, notée $ \color{bleu}{10^n}$ est définie par : $$\boxed{ \color{bleu}{10^{n}=\underbrace{ 10\times … \times 10}_{n \textrm{ facteurs}} }}$$ $n$ s’appelle l’exposant. $\color{bleu}{10^n}$ peut s’écrire également : $$\boxed{\color{bleu}{10^n=\underbrace{10…0}_{\textrm{1 suivi de }n \textrm{ zéros}} }}$$

Un dixième = $\dfrac{1}{10}$ est une fraction décimale qui s’écrit en ligne : $\dfrac{1}{10}=0,1$ revient à diviser l’unité en 10 petites unités notées $0,1$ qu’on note encore $ \boxed{ \color{red}{ 10^{-1}=0,1}}$.
Deux-dixièmes = $\dfrac{2}{10} = 2 \times\dfrac{1}{10}=0,2$ ;
Trois-dixièmes = $\dfrac{3}{10} = 3\times\dfrac{1}{10}=0,3$ ;… et ainsi de suite.

De même, un centième = $\dfrac{1}{100}$ est une fraction décimale qui s’écrit en ligne : $\dfrac{1}{100}=0,01$ revient à diviser l’unité en 100 plus petites unités notées $0,01$ qu’on note encore $ \boxed{ \color{red}{ 10^{-2}=0,01}}$.
Deux-centèmes = $\dfrac{2}{100} = 2\times\dfrac{1}{100}=0,02$ ;
Trois-centièmes = $\dfrac{3}{100} = 3\times\dfrac{1}{100}=0,03$ ;… et ainsi de suite.

Définition 2.
Plus généralement, pour tout entier naturel non nul $ \color{bleu}{n}$, 10 (élevé) à la puissance $\color{bleu}{n}$, notée $ \color{bleu}{10^{-n}}$ est définie par : $$\boxed{ \color{bleu}{10^{-n}= \dfrac{1}{10^n} }}$$
$\color{Bleu}{10^{-n}}$ peut s’écrire également : $$\boxed{ \color{bleu}{10^{-n}=\underbrace{0,0…01}_{\textrm{1 précédé de }n \textrm{ zéros y compris celui avant la virgule}} }}$$

3.2. Pourquoi $10^0=1$

Très souvent, on définit $\color{red}{10^0=1}$ comme une convention. Écrivons quelques termes de la suite des puissances de 10 : $$\ldots 10^{-2}\rightarrow 10^{-1}\rightarrow 10^{0}\rightarrow 10^{1}\rightarrow 10^{2}\rightarrow \ldots, $$
puis écrivons la suite des valeurs des termes correspondants :
$$\ldots 0,01 \rightarrow 0,1 \rightarrow x \rightarrow 10 \rightarrow 100 \rightarrow \ldots$$
Il est clair que, pour passer d’une puissance de $10$ à la puissance suivante, on multiplie par $10$. On a alors pour tout entier relatif $n$ :
$$\boxed{ \color{red}{ 10^{n} \times 10 = 10^{n+1}} }$$
En particulier, on a : $10^{-1}\times 10=0,1\times10 = 1$.
Ce qui démontre que : $$\boxed{ \color{red}{10^0=1 }}$$
C’est une question qui a été posée à l’Oral du CAPES pour des enseignants !

3.3. Propriétés des puissances de 10

Propriétés : Pour tous entiers relatifs $n$ et $p$ quelconques,
$(P_1)$ : $\color{bordeaux}{10^0=1}$ et $\color{ bordeaux }{ 10^1=10}$.
$(P_2)$ : $\color{bordeaux}{10^{n}\times 10^{p} = 10^{n+p}}$
$(P_3)$ : $\color{bordeaux}{10^{-n}= \dfrac{1}{10^n} }$
$(P_4)$ : $\color{bordeaux}{ \dfrac{10^n}{10^p} = 10^{n-p}}$
$(P_5)$ : $\color{bordeaux}{ (10^n)^p = 10^{n\times p}}$

Exercice résolu n°1. Écrire sous la forme d’une seule puissance de 10.
$A=10^{-14}\times 10^{11}$ ; $B= \dfrac{10^{-14}}{10^{11}}$ et $C=\dfrac{10^{-14}\times 10^{11} }{(10^{-2})^5}$.

Corrigé.
$A=10^{-14}\times 10^{11}= 10^{-14+11}$, donc $\boxed{\color{red}{A=10^{-3}}}$
$B= \dfrac{10^{-14}}{10^{11}} = 10^{-14-11} =$, donc $\boxed{\color{red}{B=10^{-25}}}$.
$C=\dfrac{10^{-14}\times 10^{11} }{ (10^{-2})^5}$. On effectue d’abord les opérations dans le numérateur et dans le dénominateur. Ce qui donne :
$C=\dfrac{10^{-14+11}}{10^{-2\times 5}} = \dfrac{10^{-3}}{10^{-10}} = 10^{-3+10}$, donc $\boxed{\color{red}{C=10^{7}}}$.

3.4. Écriture d’un nombre décimal à l’aide des puissances de 10

Comme pour les fractions, il existe une écriture unique, la fraction irréductible,
nous allons chercher les différentes écritures d’un nombre décimal et surtout s’il existe une écriture unique. Commençons par donner deux exemples.

Exercice résolu 2. Écrire les deux nombres suivants sous différentes formes avec les puissances de 10. $A = 35000$ et $B = 0,0037$

Corrigé.
a) $A = 35000 = 35 \times 1000$, donc $\boxed{A=35\times 10^3}$
$A =35000 = 3,5\times 10 000$, donc $\boxed{\color{red}{A=3,5\times 10^4}}$
$A = 35000 = 0,35 \times 100000$, donc $\boxed{A=0,35\times 10^5}$.

b) $B = 0,0037 =0,037\times 0,1$, donc $\boxed{B= 0,037\times 10^{-1}}$
$B = 0,0037 =0,37\times 0,01$, donc $\boxed{B= 0,37\times 10^{-2}}$
$B = 0,0037 =3,7\times 0,001$, donc $\boxed{ \color{red}{B=3,7\times 10^{-3}}}$

Propriété 6 : Tout nombre décimal $N$ peut s’écrire d’une infinité de manières sous la forme : $\color{bordeaux}{N=a\times 10^p}$, où $a$ est un nombre décimal relatif et p est un entier relatif.

3.5. Notation scientifique

Propriété 7 : Tout nombre décimal positif $N$ peut s’écrire d’une manière unique sous la forme : $\color{bordeaux}{N=a\times 10^p}$, où $a$ est un nombre décimal compris entre $1$ et $10$ ($1\leq a < 10$) et $p$ est un entier relatif.
Ceci signifie que $a$ est un nombre décimal ayant exactement un seul chiffre non nul AVANT la virgule.

Définition 3. Soit $N$ un nombre décimal. On appelle notation scientifique de $N$, l’écriture : $$\color{red}{N=a\times 10^p}$$ où $a$ est un nombre décimal tel que $1\leq a < 10$ et p est un entier relatif.

Exercice résolu 3. Donner la notation scientifique des trois nombres relatifs suivants. $A= 35000$, $B = 0,00385$ et $C=0,0537 \times 10^{12}$.

Corrigé.
On repère d’abord le 1er chiffre non nul à partit de la gauche puis on compte les chiffres pour aller jusqu’au chiffre des unités à droite ($+$) ou à gauche ($-$).
$A= 35000$, donc la notation scientifique de $A$ est $\boxed{\color{red}{A=3,5\times 10^4}}$.
$B = 0,00385$, donc la notation scientifique de $B$ est $\boxed{ \color{red}{B=3,85\times 10^{-3}}}$.
Pour $C$, c’est un peu plus compliqué, on cherche d’abord la notation scientifique du premier nombre, puis on multiplie les puissances de 10.
$C=0,0537 \times 10^{12}$. On a alors :
$0,0537 = 5,37\times 10^{-2}$, Donc :
$C= 5,37\times 10^{-2} \times 10^{12}= 5,37\times 10^{-2+12}$.
Par suite, la notation scientifique de $C$ est : $\boxed{ \color{red}{ C= 5,37\times 10^{10} }}$.

3.6. Notation de l’ingénieur

Propriété 8 : Tout nombre décimal positif $N$ peut s’écrire d’une manière unique sous la forme : $\color{bordeaux}{N=a\times 10^p}$, où $a$ est un nombre décimal compris entre $1$ et $1000$ ($1\leq a < 1000$) et $p$ est un entier relatif multiple de 3.

Exercice résolu 4. Donner la notation de l’ingénieur des trois nombres relatifs suivants. $A= 35000$, $B = 0,00385$ et $C=0,0537 \times 10^{12}$.

Corrigé.
$A= 35000$, donc la notation de l’ingénieur de $A$ est $\boxed{\color{red}{ A=35\times 10^3}}$
$B = 0,00385$, donc la notation de l’ingénieur de $B$ est $\boxed{\color{red}{B= 3,85\times 10^{-3}}}$
$C=0,0537 \times 10^{12}$. Dans $10^{12}$, l’exposant est déjà un multiple de 3. On obtient alors :
$C=53,7 \times 10^{-3} \times 10^{12}$ . Donc $ \boxed{\color{red}{ C= 53,7 \times 10^{9}}}$.

7) Principaux préfixes utilisés dans les unités, avec les puissances de 10

Les principaux préfixes utilisés en physique, électrotechnique, informatique et astronomie sont :

Préfixe	Notation	Valeur	Puissance de 10	Exemples
Déci	d	$0,1$	$10^{-1}$	dl = décilitre dg = décigramme dm = décimètre
Centi	c	$0,01$	$10^{-2}$	cl = centilitre cg = centigramme cm = centimètre
Milli	m	$0,001$	$10^{-3}$	ml = millilitre mg = milligramme mm = millimètre
Micro	$\mu$	$0,000001$	$10^{-6}$	$\mu$g = microgramme $\mu$m = micromètre
Nano	n	1 à la 9ème position	$10^{-9}$	ng = nanogramme nm = nanomètre
Pico	p	1 à la 12ème position	$10^{-12}$	pg = picogramme pm = picomètre

Une autre unité de longueur qui n’est pas un préfixe, est l’Angström, notée $\overset{\circ}{\textrm{A}}$, est utilisée pour les longueurs d’onde de la lumière dites « nanométriques ».

Préfixe	Notation	Valeur	puissance de 10	Exemples
Kilo	K	1000	$10^3$	Kg = Kilogramme Km = Kilomètre
Méga	M	1000 K	$10^6$	Mo = MégaOctet
Giga	G	1000 M	$10^9$	Go = GigaOctet
Tera	T	1000 G	$10^{12}$	To = TeraOctet
Péta	P	1000 T	$10^{15}$	Pg = Pétagramme

Remarque. En informatique, le KiloOctet = 1 Ko = $1024 = 2^{10}$ octets.
De même, 1 Mo = $1024$ Ko = 1024\times 1024$ = 1 048576 = $2^{20}$ octets.
etc… Ce qui correspond environ à :
1K = Mille, 1Méga = 1Million, 1Giga = 1Milliard,
1Tera = Mille Milliards ou 1Tera = 1Billion (1 million de millions)

En astronomie, on utilise deux unités :
1°) Pour les « petites distances », on utilise l’Unité Astronomique l’U.A. 1UA = 150 millions de kilomètres et correspond à la distance Terre-Soleil.
$$ 1 \textrm{U.A.}=1,5 \times 10^8 \textrm{ Km}$$

2°) Pour les « grandes distances », on utilise l’Année-Lumière. C’est la distance parcourue par la lumière en 1 année à la vitesse (célérité de la lumière) : $$c=300000 \textrm{ km.s}^{-1}$$
Faites le calcul. 1 année = 365,25 jours, 1jour = 24heures, … etc.
$$1 \textrm{ A.L.} \simeq 9 460,730 \textrm{ milliards de kilomètres} = \simeq 9, 46 \times 10^{12} \textrm{ Km}\simeq 10^{13}\textrm{ Km.}$$

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