Calculer des images ou des antécédents à partir de l’expression d’une fonction


Prérequis

$\bullet$ Intervalles
$\bullet$ Repérage d’un point dans le plan.
$\bullet$ Domaine de définition d’une fonction de la variable réelle
$\bullet$ Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.


Liens connexes

  1. Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
  2. Repérage d’un point dans le plan.
  3. Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
  4. Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
  5. Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
  6. Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
  7. Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
  8. Sens de variation d’une fonction numérique de la variable réelle.
  9. Déterminer graphiquement le sens de variations d’une fonction.
  10. Tableau de variations d’une fonction.
  11. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
  12. Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.

Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Soit $f$ la fonction définie par :
$$f(x)=\dfrac{3}{2}x-5$$
On appelle $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
1°) Quelle est la nature de cette fonction $f$ ?
2°) Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$.
3°) Calculer les images de $0$ ; $-1$ ; $2$ et $\sqrt{2}$ par la fonction $f$.
4°) Les points $A(-3;-\frac{19}{2})$, $B(-2;2)$ et $E(\sqrt{2};3\sqrt{2}-10)$ appartiennent-ils à la courbe $C_f$ ? Justifiez votre réponse.
5°) Déterminer les antécédents, lorsqu’ils existent, de : $0$ ; $3$ et $\dfrac{5}{4}$ par la fonction $f$.

Corrigé.
1°) $f$ est une fonction affine, car son expression est de la forme :
$$f(x) = mx+p\quad\text{avec }m=\dfrac{3}{2}\text{ et }p=-5$$

2°) $f(x)$ exiete pour tout $x\in\R$. Donc :
$$\color{brown}{\boxed{\quad D_f=\R\quad}}$$

3°) Calcul des images de $0$, $-1$, $2$ et $\sqrt{2}$ par la fonction $f$.

a) $0\in D_f$ donc : $f(0)=\dfrac{3}{2}\times 0-5=0-5=-5$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad f(0)=-5\quad}}$$
b) $-1\in D_f$ donc : $f(-1)=\dfrac{3}{2}\times(-1)-5=\dfrac{-13}{2}=-\dfrac{13}{2}$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad f(-1)=-\dfrac{13}{2}\quad}}$$
c) $2\in D_f$ donc : $f(2)=\dfrac{3}{\not2}\times\not2-5=-2$. Donc :
$$\color{brown}{\boxed{\quad f(2)=-2\quad}}$$
d) $\sqrt{2}\in D_f$ donc : $f(\sqrt{2})=\dfrac{3}{2}\times\sqrt{2}-5=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-5=\dfrac{3\sqrt{2}-10}{2}$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad f(\sqrt{2})=\dfrac{3\sqrt{2}-10}{2}\quad}}$$

4°) Les points $A(-3;-\frac{19}{2})$, $B(-2;2)$ et $E(\sqrt{2};3\sqrt{2}-10)$ appartiennent-ils à la courbe $C_f$ ? Justifiez votre réponse.

Pour tout point $M(x;y)$ du plan, on sait que :
$$\color{brown}{\boxed{\quad [M(x, y)\in C_f \Longleftrightarrow y = f(x)]\quad}}$$
a) Pour le point $A(-3;-\frac{19}{4})$ :
$-3\in D_f$ donc : $f(-3)=\dfrac{3}{2}\times(-3)-5$ ${}=\dfrac{-9}{2}-5=-\dfrac{19}{2}=y_A$
Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad A\in C_f\quad}}$$
b) Pour le point $B(-2;2)$ :
$-2\in D_f$ donc : $f(-2)=\dfrac{3}{2}\times(-2)-5 =-8\not=y_B$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad B\not\in C_f\quad}}$$

c) Pour le point $E(\sqrt{3};3\sqrt{2}-10)$
$\sqrt{3}\in D_f$ donc : $f(\sqrt{2})=\dfrac{3}{2}\times\sqrt{2}-5=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-5$ ${}=\dfrac{3\sqrt{2}-10}{2}\not=y_E$. Donc :
$$\color{brown}{\boxed{\quad E\not\in C_f\quad}}$$

5°) Pour déterminer l’antécédent d’un nombre $y_0$, nous devons résoudre l’équation $\color{brown}{\boxed{\quad f(x)=y_0\quad}}$.

a) Pour $y_0=0$, on résout l’équation $f(x)=0$. On a :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)=0 &\Longleftrightarrow & \dfrac{3}{2}x-5=0 \\
&\Longleftrightarrow & \dfrac{3}{2}x=5 \\
&\Longleftrightarrow & x=5\times\dfrac{2}{3} \\
&\Longleftrightarrow & x=\dfrac{10}{3} \\
\end{array}$$
Par conséquent, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution : $x=\dfrac{10}{3}$.
Conclusion. $0$ admet un unique antécédent $x=\dfrac{10}{3}$.

b) Pour $y_1=3$, on résout l’équation $f(x)=3$. On a :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)=3 &\Longleftrightarrow & \dfrac{3}{2}x-5=3 \\
&\Longleftrightarrow & \dfrac{3}{2}x=5+3 \\
&\Longleftrightarrow & x=8\times\dfrac{2}{3} \\
&\Longleftrightarrow & x=\dfrac{16}{3} \\
\end{array}$$
Par conséquent, l’équation $f(x)=3$ admet une unique solution : $x=\dfrac{16}{3}$.
Conclusion. $3$ admet un unique antécédent $x=\dfrac{16}{3}$.

c) Pour $y_2=\dfrac{5}{4}$, on résout l’équation $f(x)=\dfrac{5}{4}$. On a :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)=3 &\Longleftrightarrow & \dfrac{3}{2}x-5=\dfrac{5}{4} \\
&\Longleftrightarrow & \dfrac{3}{2}x=5+\dfrac{5}{4} \\
&\Longleftrightarrow & \dfrac{3}{2}x=\dfrac{25}{4} \\
&\Longleftrightarrow & x=\dfrac{25}{4}\times\dfrac{2}{3} \\
&\Longleftrightarrow & x=\dfrac{25}{6} \\
\end{array}$$
Par conséquent, l’équation $f(x)=\dfrac{5}{4}$ admet une unique solution : $x=\dfrac{25}{6}$.
Conclusion. $3$ admet un unique antécédent $x=\dfrac{25}{6}$.

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Exercice résolu n°2. Soit $g$ la fonction définie par :
$$g(x)=\dfrac{2x+3}{x-4}$$
On appelle $C_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
1°) Déterminer le domaine de définition de la fonction $g$.
2°) Calculer les images de $0$, $-1$, $2$ et $\sqrt{2}$ par la fonction $g$.
3°) Les points $A(-3;-9)$, $B(5;-13)$ et $E(1;-\frac{5}{3})$ appartiennent-ils à la courbe $C_f$ ? Justifiez votre réponse.
4°) Déterminer les antécédents, lorsqu’ils existent, de : $0$ ; $1$ ; $3$ et $4$ par la fonction $g$.

Corrigé.
1°) Soit $x\in\R$. $g(x)=\dfrac{2x+3}{x-4}$.
L’expression de $g(x)$ est un quotient. Donc, $g(x)$ existe si, et seulement si, le dénominateur est non nul.
$$x\in D_g\Longleftrightarrow x-4\not=0 \Longleftrightarrow x\not=4$$
Par conséquent :
$$x\in D_g\Longleftrightarrow x\not=4$$
Conclusion. Le domaine de définition de la fonction $g$ s’écrit :
$$\color{brown}{\boxed{\quad D_g=\R\setminus\{4\}\quad}}$$
ou encore :
$$\color{brown}{\boxed{\quad D_g=\left]-\infty;4\right[\cup\left]4;+\infty\right[\quad}}$$

2°) Calcul des images de $0$, $-1$ et $\dfrac{3}{2}$ par la fonction $g$.

a) $0\in D_f$ donc : $g(0)=\dfrac{2\times 0+3}{0-4}=\dfrac{3}{-4}=-\dfrac{3}{4}$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad g(0)=-\dfrac{3}{4}\quad}}$$
b) $-1\in D_f$ donc : $g(-1)=\dfrac{2\times(-1)+3}{-1-4}=\dfrac{1}{-5}=-\dfrac{1}{5}$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad g(-1)=-\dfrac{1}{5}\quad}}$$
c) $\dfrac{3}{2}\in D_f$ donc : $g(\frac{3}{2})=\dfrac{2\times\frac{3}{2}+3}{\frac{3}{2}-4}$ ${}=\dfrac{6}{\frac{-5}{2}}=6\times \dfrac{-2}{5}=\dfrac{-12}{5}$. Donc :
$$\color{brown}{\boxed{\quad g(\frac{3}{2})=\dfrac{-12}{5}\quad}}$$

3°) Les points $A(-3;-9)$, $B(5;-13)$ et $E(1;-\frac{5}{3})$ appartiennent-ils à la courbe $C_g$ ? Justifiez votre réponse.

Soit $M(x;y)$ un point du plan. On sait que :
$$\color{brown}{\boxed{\quad [M(x, y)\in C_g \Longleftrightarrow y = g(x)]\quad}}$$
a) Pour le point $A(-3;-9)$ :
$-3\in D_g$ donc : $g(-3)=\dfrac{2\times(-3)+3}{(-3)-4}=\dfrac{-3}{-7}=\dfrac{3}{7}\not=y_A$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad A\not\in C_g\quad}}$$
b) Pour le point $B(5;-13)$ :
$5\in D_g$ donc : $g(5)=\dfrac{2\times(5)+3}{5-4}=\dfrac{13}{-1}=-13=y_B$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad B\in C_g\quad}}$$
c) Pour le point $E(1;-\frac{5}{3})$ :
$1\in D_f$ donc : $g(1)=\dfrac{2\times 1+3}{1-4}=\dfrac{5}{-3}=-\dfrac{5}{3}=y_E$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad E\in C_f\quad}}$$

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Exercice résolu n°3. Soit $h$ la fonction définie par :
$$h(x)=\dfrac{2x+1}{x^2-1}$$
On appelle $C_h$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
1°) Déterminer le domaine de définition de la fonction $h$.
2°) Calculer les images de $0$ ; $-1$ ; $2$ et $\sqrt{2}$ par la fonction $h$.
3°) Les points $A(-3;\frac{-5}{8})$, $B(-2;2)$ et $E(\sqrt{3};2\sqrt{3}+1)$ appartiennent-ils à la courbe $C_h$ ? Justifiez votre réponse.

Corrigé.
1°) Soit $x\in\R$. L’expression de $h(x)$ est un quotient. Donc, $h(x)$ existe si, et seulement si, le dénominateur est non nul.
$$x\in D_h\Longleftrightarrow x^2-1\not=0$$
Or pour tout $x\in\R$ : $x^2-1=(x+1)(x-1)$ (Identité remarquable $IRn$°$3$). Donc : $$x^2-1=0 \Longleftrightarrow (x+1)(x-1)=0$$
Donc, d’après le théorème du produit nul :
$$\begin{array}{rcl}
x^2-1=0 &\Leftrightarrow & x+1=0\text{ ou }x-1=0\\
&\Leftrightarrow & x=-1\text{ ou }x=1\\
\end{array}$$
Par conséquent :
$$x\in D_h\Longleftrightarrow x\not=-1\text{ et }x\not=1$$
Conclusion. Le domaine de définition de la fonction $h$ s’écrit :
$$\color{brown}{\boxed{\quad D_h=\R\setminus\{-1;1\}\quad}}$$
ou encore :
$$\color{brown}{\boxed{\quad D_h=\left]-\infty;-1\right[\cup\left]-1;1\right[\cup\left]1;+\infty\right[\quad}}$$

2°) Calcul des images de $0$, $-1$, $2$ et $\sqrt{2}$ par la fonction $f$.
a) $0\in D_h$ donc : $h(0)=\dfrac{2\times 0+1}{0^2-1}=\dfrac{1}{-1}=-1$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad h(0)=-1\quad}}$$
b) $-1\not\in D_h$ donc : $f(-1)$ n’existe pas. $-1$ n’admet aucune image par la fonction $f$.
c) $2\in D_h$ donc : $h(2)=\dfrac{2\times 2+1}{2^2-1}=\dfrac{5}{3}$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad h(2)=\dfrac{5}{3}\quad}}$$
c) $\sqrt{2}\in D_h$ donc : $h(\sqrt{2})=\dfrac{2\times\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^2-1}=\dfrac{2\sqrt{2}+1}{1}$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad h(\sqrt{2})=\sqrt{2}+1\quad}}$$

3°) Les points $A(-3;\frac{-5}{8})$, $B(-2;2)$ et $E(\sqrt{3};2\sqrt{3}+1)$ appartiennent-ils à la courbe $C_h$ ? Justifiez votre réponse.
Soit $M(x;y)$ un point du plan. On sait que :
$$\color{brown}{\boxed{\quad [M(x, y)\in C_h \Longleftrightarrow y = h(x)]\quad}}$$
a) Pour le point $A(-3;\frac{-5}{8})$ :
$-3\in D_h$ donc : $h(-3)=\dfrac{2\times(-3)+1}{(-3)^2-1}=\dfrac{-5}{8}=y_A$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad A\in C_h\quad}}$$
b) Pour le point $B(-2;2)$ :
$-2\in D_h$ donc : $h(-2)=\dfrac{2\times(-2)+1}{(-2)^2-1}=\dfrac{-3}{3}=1\not=y_B$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad B\not\in C_h\quad}}$$
c) Pour le point $E(\sqrt{3};2\sqrt{3}+1)$
$\sqrt{3}\in D_h$ donc : $h(\sqrt{3})=\dfrac{2\times\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2-1}=\dfrac{2\sqrt{3}+1}{2}\not=y_E$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad E\not\in C_h\quad}}$$

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