Exprimer une proportion ou une fréquence de différentes manières

Calculer, appliquer une proportion


Les notions de proportions et de pourcentages sont fondamentales aussi bien dans la vie courante que dans la vie professionnelle.
Il est absolument nécessaire d’abord de maîtriser les concepts, puis de savoir effectuer les calculs appropriés. Notamment pour appliquer ou calculer, puis exprimer une proportion sous différentes formes (décimale, fractionnaire, pourcentage) et calculer des proportions de proportions.

Liens connexes

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  2. Calculer, appliquer une proportion
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  7. Présentation de proportions dans un tableau croisé
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  9. Sous-populations contraires
  10. Proportions échelonnées. Calcul d’une proportion de proportions

3. Exprimer une proportion ou une fréquence de différentes manières

En appliquant la définition, nous pouvons calculer une proportion sous la forme d’une fraction irréductible. Nous pouvons également l’écrire sous trois autres formes et passer de l’une à l’autre :

Propriété 3.
Une proportion peut s’écrire de trois manières différentes
a) sous la forme d’une fraction irréductible ;
b) sous la forme d’un nombre décimal compris entre 0 et 1, en donnant la valeur exacte ou une valeur approchée arrondie à la position précisée dans l’énoncé (au minimum au centième).
c) ou sous la forme d’un pourcentage.

Exercice résolu 3.
Au Lycée Édouard Vaillant, qui contient 1050 élèves, 300 élèves sont en Première, dont 70 sont en 1ère STMG.
1°) Calculer la proportion des élèves de 1ère STMG parmi les élèves de Première dans ce lycée On exprimera cette proportion sous la forme fractionnaire,
2°a) sous la forme d’un nombre décimal compris entre 0 et 1 au millième près.
$\;\;\;$b) et enfin sous la forme d’un pourcentage arrondi à 0,1% près.

Corrigé.
Calcul de la proportion sous la forme d’une fraction irréductible.
1°) Ici, la population de référence est l’ensemble $E$ des élèves de Première du Lycée, et non la totalité des élèves.

Parmi les élèves de Première, $A$ désigne le sous-ensemble des élèves de 1ère STMG.

Dans ce Lycée, 300 élèves sont en Première dont 70 en 1ère STMG, donc $n_E = 300$ et $n_A=70$. La proportion $p_A$ est donnée par :
$$p_A=\dfrac{n_A}{n_E}=\dfrac{70}{300}$$
Cette fraction n’est pas irréductible. Nous devons simplifier le résultat avant de conclure.
$$ \dfrac{70}{300}=\dfrac{7\times 10}{30\times 10}=\boxed{\;\dfrac{7}{30}\; }$$
Conclusion. La proportion des élèves de 1ère STMG parmi les élèves de Première dans ce Lycée est de $p_A=\dfrac{7}{30}$.

2°a) Sous la forme d’un nombre décimal compris entre 0 et 1, en donnant la valeur exacte ou une valeur approchée arrondie.
Il suffit d’effectuer la division. Par exemple : $ \dfrac{7}{30}=0,2333…$
On peut conclure que la proportion … est égale à $p_A=0,2333…$ et suivant la question posée, on peut arrondir à l’unité, au dixième, …etc.
Conclusion. La proportion des élèves de 1ère STMG parmi les élèves de Première dans ce Lycée est de $p_A\simeq 0,233$.

b) Sous la forme d’un pourcentage au dixième près
Comme on doit multiplier par 100, on effectue le calcul jusqu’au 4ème chiffre après la virgule, pour arrondir au 3ème.
Pour arrondir en pourcentage au dixième (1 chiffre après la virgule), il faut et il suffit d’arrondir l’écriture décimale au millième près (trois chiffres après la virgule).
$\begin{array}{rcl}\dfrac{70}{300}&=&0,2333… \\
&=& \boxed{\dfrac{23,33…}{100}}\\
&\simeq & 23,3\% \\
\end{array}$
Pour écrire une fraction en pourcentage, il suffit de multiplier par 100. Ce qui revient à déplacer la virgule de deux chiffres à droite.

Conclusion. 23,3% des élèves de Première dans ce Lycée sont en 1ère STMG.

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