Coefficient multiplicateur et taux d’évolution


Les notions de taux d’évolution et de coefficient multiplicateur sont fondamentales aussi bien dans la vie courante que dans la vie professionnelle.
Il est absolument nécessaire d’abord de maîtriser ces concepts, puis d’apprendre à effectuer les calculs appropriés. Notamment pour calculer un taux d’évolution, l’exprimer en pourcentage ; passer d’une formule additive («augmenter de 5%» ou «diminuer de 5%») à une formule multiplicative («multiplier par 1,05» ou «multiplier par 0,95») ; appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou initiale ; interpréter un indice de base 100 ; calculer un indice ; calculer le taux d’évolution entre deux valeurs ; calculer le taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives ; calculer un taux d’évolution réciproque.


1. Coefficient multiplicateur

Dans toute la suite, on considère deux nombres réels strictement positifs $y_1$ et $y_2$.

Définition 1.
On considère deux nombres réels strictement positifs $y_1$ et $y_2$.
$y_1=\color{brown}{V_I = \textrm{valeur initiale}}$ et $y_2=\color{brown}{V_F = \textrm{valeur finale}}$.
On appelle coefficient multiplicateur de $y_1$ à $y_2$, le nombre réel strictement positif noté $\color{brown}{k}$ ou $\color{brown}{\text{CM}}$, tel que :
$$\color{brown}{\boxed{\; y_2=k y_1\; }\; (1)}\quad \textrm{ou}\quad \color{brown}{\boxed{ \; V_F=\text{CM} \times V_I\; }\; (1)}$$
ou encore :
$$\color{brown}{\boxed{\; y_1=\dfrac{y_2}{k} \; }\; (2)}\quad \textrm{ou}\quad \color{brown}{\boxed{\; V_I=\dfrac{V_F}{\text{CM}} \; }\; (2)}$$
Ce qui donne :
$$\color{brown}{\boxed{\; k= \dfrac{y_2}{y_1} \; }\; (3)} \quad \textrm{ou}\quad \color{brown}{\boxed{\; \text{CM}= \dfrac{V_F}{V_I}} \; (3) }$$
Le coefficient multiplicateur $k$ est un nombre sans unité.


Propriété 1.
On considère deux nombres réels strictement positifs $y_1$ et $y_2$. Si on appelle $t$ le taux d’évolution et $k$ le coefficient multiplicateur de $y_1$ à $y_2$, alors :
$$\color{brown}{\boxed{\; k= 1+t\;}}\; \textrm{(4)}\quad \textrm{et}\quad \color{brown}{\boxed{\; t = k-1\; }} \;\textrm{(5)}$$
Par suite : $$ \color{brown}{\boxed{\; y_2= (1+t)y_1\;}}\; \textrm{(6)}$$

En effet : $k-1=\dfrac{y_2}{y_1}-1= \dfrac{y_2}{y_1}- \dfrac{y_1}{y_1}= \dfrac{y_2-y_1}{y_1}=t$.
D’où $k-1=t$ ou encore $k=1+t$. Et comme $y_2=ky_1=(1+t)y_1$.


Propriété 2.
1°) Un coefficient multiplicateur entre $y_1$ et $y_2$ strictement supérieur à $1$ correspond à une augmentation ou une hausse.
2°) Un coefficient multiplicateur entre $y_1$ et $y_2$ compris strictement entre $0$ et $1$ correspond à une diminution ou une baisse.

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2. Exercices résolus

Exercice 1.
Dans chacun des cas, calculer le taux d’évolution, le coefficient multiplicateur et préciser s’il s’agit d’une augmentation ou d’une diminution.
1°) Une augmentation de 5% ;
2°) Une diminution de 5% ;
3°) $k=1,2$
4°) $k=0,85$
5°) $y_1=40$ et $y_2=30$ ;
6°) $y_2=40$ et $y_2=48$ ;

Corrigé.
1°) Une augmentation de 5% correspond à $t =5\%=\dfrac{5}{100}=+0,05$, donc : $\color{brown}{\boxed{\; t =+0,05\; }}$. Donc $k=1+t=1+0,05$. Donc $\color{brown}{\boxed{\; k=1,05\; }}$.

2°) Une diminution de 5% correspond à $t =-5\%=\dfrac{-5}{100}=-0,05$, donc : $\color{brown}{ \boxed{\; t =-0,05\; }}$. Donc $k=1+t=1+(-0,05)=0,95$. Donc $\color{brown}{\boxed{\; k=0,95\; }}$.

3°) $k=1,2$, donc $t=k-1=0,2=0,20=\dfrac{20}{100}$, donc $\color{brown}{ \boxed{\; t=0,02\; }}$ ou encore $\color{brown}{\boxed{\; t=20\%\; }}$.
Comme $k>1$ (ou $t>0$), il s’agit d’une augmentation de $20\%$.

4°) $k=0,85$, donc $t=k-1=0,85-1=-0,15 = \dfrac{-15}{100}$, donc $\color{brown}{ \boxed{\; t=-0,15\; }}$ ou encore $\color{brown}{\boxed{\; t=-15\%\; }}$.
Comme $k<1$ (ou $t<0$), il s’agit d’une diminution de $15\%$.

5°) $y_1=40$ et $y_2=30$. On peut aussi bien calculer $t$ que $k$ directement et en déduire l’autre en utilisant une des formules (4) ou (5).
Calcul de $t$ :
$t=\dfrac{y_2-y_1}{y_1}=\dfrac{30-40}{40}=-0,25$. Donc : $t=-0,25$ ou encore $\color{brown}{\boxed{\; t=-25\%\; }}$.
On en déduit que : $k=1+t=1-0,25 =0,75$. Donc $\color{brown}{\boxed{\; k=0,75\; }}$.
Comme $k<1$ (ou $t<0$), il s’agit d’une diminution de $25\%$.

6°) $y_2=40$ et $y_2=48$. Cette fois, on commence par calculer $k$.
Calcul de $k$ :
$k=\dfrac{y_2}{y_1}=\dfrac{48}{40}=1,2$. Donc : $\color{brown}{\boxed{\; k=1,2\; }}$. On en déduit que : $t=k-1=1,2-1=0,2$. Donc $\color{brown}{\boxed{\; t=0,2\; }}$ ou encore : $\color{brown}{\boxed{\; t=20\%\; }}$. Comme $t>0$ (ou $k>1$), il s’agit d’une augmentation de $20\%$.

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Exercice 2.
Le chiffre d’affaire d’une entreprise est passé de 65 500 € en 2016 à 72 050 € en 2017.
1°) Calculer le coefficient multiplicateur de 65 500 à 72 050
2°) En déduire le taux d’évolution du chiffre d’affaire.
3°) Quel était le chiffre d’affaire de cette entreprise en 2015, sachant qu’elle a connu la même évolution de 2015 à 2016 que de 2016 à 2017 ?

Corrigé.
1°) Attention ! La question dit « Calculer le coefficient multiplicateur de 65 500 à 72 050 », je dois donc faire un calcul direct. Or, par définition, le coefficient multiplicateur de y1 à y2, est donné par :
$k=\dfrac{y_2}{y_1}=\dfrac{72050}{65500}=1,1$. Donc : $\color{brown}{\boxed{\; k=1,1\; }}$.

2°) Ici, la question dit « en déduire » la valeur du taux d’évolution du chiffre d’affaire, on applique la formule qui relie le taux d’évolution au coefficient multiplicateur de $y_1$ à $y_2$.
On sait que $k=1+t$ donc $t=k-1=1,1-1=0,1$ ou encore $\color{brown}{\boxed{\; t=+10\%\; }}$.
Conclusion : Lc chiffre d’affaire a subi une augmentation de 10% entre 2016 et 2017.

3°) Calcul du chiffre d’affaire $y_0$ de l’entreprise en 2015.
On sait que l’entreprise a subi une augmentation de 10% de 2015 à
2016. Donc $t=0,10$ et $k=1,10$.

1ère méthode : j’utilise $k$ pour calculer $y_0$. (Très rapide)
$ k=\dfrac{y_1}{y_0} $ donc $ky_0=y_1$ ou encore : $y_0=\dfrac{y_1}{k}=\dfrac{65500}{1,1}=59545,45$.
Conclusion. L’entreprise a réalisé un chiffre d’affaire d’environ $59545$ €.

2ème méthode : j’utilise $t$ pour calculer $y_0$.
$y_1=(1+t)y_0$ donc $y_0=\dfrac{y_1}{1+t}$ donc $y_0=\dfrac{65500}{1,1}=59545,45$.
Conclusion. L’entreprise a réalisé un chiffre d’affaire d’environ $59545$ €.

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