Estimer un ordre de grandeur

1. Ordre de grandeur d’un nombre

Calculer un ordre de grandeur, c’est trouver une valeur « arrondie », facile à calculer pour déterminer rapidement une valeur approchée du résultat et éviter les erreurs grossières.
Il existe alors deux définitions d’un ordre de grandeur d’un nombre :

Définition 1. (du bon sens)
L’ordre de grandeur d’un nombre ou du résultat d’un calcul est égal au nombre le plus proche, arrondi à la position non nulle la plus élevée de ce nombre ou de ce résultat.

EXEMPLES

  1. L’ordre de grandeur de $61,35$ est $60$ ; mais l’ordre de grandeur de $66,35$ est $70$ . Ici, la position la plus haute est le chiffre des dizaines.
  2. L’ordre de grandeur de $0,348$ est $0,3$ ; mais l’ordre de grandeur de $0,352$ est $0,4$. Ici, la position la plus haute est le chiffre des dixièmes.
  3. L’ordre de grandeur de $350$ est $400$. Ici, la position la plus haute est le chiffre des centaines et le chiffre suivant est un $5$. Il fait partie du deuxième groupe parmi les dix chiffres : $\{0;1;2;3;4\}$ et $\{5;6;7;8;9\}$.

Définition 2. En physique-Chimie
L’ordre de grandeur d’une longueur, dans une unité donnée, est égal à la puissance de $10$ la plus proche de sa valeur dans cette unité.

La suite des puissances de 10 est :
$$\ldots 0,001\; ; \; 0,01\; ; \; 0,1 \; ; \; \color{red}{\boxed{\; 1\;}} \; ; \; 10 \; ; \; 100 \; ; \; 1000 \; ; \; \ldots$$
En physique-Chimie, l’ordre de grandeur d’une longueur, est égal à la valeur la plus proche parmi ces nombres.
On appelle cette liste « une échelle logarithmique ».

EXEMPLE. En physique-Chimie
Déterminer l’ordre de grandeur de $61,35\, m$ en $hm$, $dam$, $m$, $dm$ et $cm$.

a) Recherche de l’ordre de grandeur de $61,35\, m$ en hm.
$61,35~m=0,6135~hm\simeq 1=10^0~hm$.
Donc : $\color{red}{61,35~m\simeq 1~hm\;}$.

b) Recherche de l’ordre de grandeur de $61,35\, m$ en dam.
$61,35~m=6,135~dam\simeq 10=10^1~dam$.
Donc : $\color{red}{61,35 ~m\simeq 10~dam\;}$.

b) Recherche de l’ordre de grandeur de $61,35\, m$ en m (la même unité).
$61,35~m\simeq 100=10^2~m$.
Donc : $\color{red}{61,35 ~m\simeq 100~m\;}$.

d) Recherche de l’ordre de grandeur de $61,35\, m$ en dm.
$61,35~m=613,5~dm\simeq 1000=10^3~dm$.
Donc : $\color{red}{61,35 ~m\simeq 1000~dm\;}$.

2. Estimer un ordre de grandeur dans un calcul

Point méthode.
Pour estimer l’ordre de grandeur d’un résultat dans un calcul, Il suffit de remplacer chacun des termes ou des facteurs par son ordre de grandeur et effectuer un calcul mental simple.

EXEMPLES

  1. L’ordre de grandeur de $2,85\times 61,35$ est $3\times 60=180$.
  2. L’ordre de grandeur de $5,78\times 0,348$ est $6\times 0,3=1,8$.
  3. L’ordre de grandeur de $365\times 1365$ est $400\times 1000=400\,000$.

Point méthode 1.
Pour estimer l’ordre de grandeur d’un nombre $N$ dans une unité donnée, il suffit d’écrire ce nombre en notation scientifique $N=a\times 10^p$ dans cette unité ($1\leq a \leq 9$), puis arrondir $a$ à l’unité : $a\simeq n$ où $n$ est un chiffre non nul. Alors, un ordre de grandeur de $N$ est $N\simeq n\times10^p$.

Point méthode 2. En Physique-Chimie
Pour déterminer l’ordre de grandeur d’une longueur $L$ dans une unité donnée, il suffit d’écrire cette longueur en notation scientifique $L=a\times 10^p$ dans cette unité ($1\leq a \leq 9$ ). Alors : $10^p\leq a <10^{p+1}$ et :
– Si $1\leq a <5$, alors l’ordre de grandeur de $L\simeq 10^p$
– Si $5\leq a \leq 9$, alors l’ordre de grandeur de $L\simeq 10^{p+1}$.

APPLICATIONS

$\color{red}{Dans\; la\; vie\ courante}$, à l’échelle ordinaire, Vincent achète $27,5~$m de tissu à $21,99~$€ le mètre. Un ordre de grandeur de chacun de ces deux nombres arrondis à la position la plus élevée est :
$27,5\simeq 30$ et $21,99\simeq 20$. On effectue un calcul mental de l’opération : $30\times 20 =600$.
Ainsi, un ordre de grandeur du prix du morceau de tissu est d’environ $600~$€.

Le calcul exact donnerait : $27,5\times 21.99 = 604,725$.

$\color{red}{En\; Astronomie}$, à l’échelle de l’infiniment grand, l’Univers est formé de systèmes solaires, d’étoiles, de galaxies,…
Notre système solaire est composé d’une étoile, le Soleil, de huit planètes qui gravitent autour du Soleil et d’autres corps : satellites, astéroïdes, comètes,…
L’unité de mesure est la distance Terre-Soleil qui est d’environ $150\,000\,000~$km « cent cinquante millions de kilomètres » et qui s’écrit en notation scientifique : $d_{TS}=1,5\times 10^8~$km.
La distance Terre-Lune est de $384\,000~$km, qu’on note $d_{TL}=384\times 10^3~$km.
L’ordre de grandeur de $d_{TL}$ est d’environ $400\times 10^3=400\,000~$km.

$\color{red}{En\; physique}$, à l’échelle de l’infiniment petit, l’Univers est composé d’atomes, qui peuvent se regrouper en molécules, puis former des chaînes,…
Un atome est lui-même composé d’un noyau et d’électrons en mouvement qui gravitent autour du noyau. Le noyau lui-même est composé d’autres particules,etc…
L’ordre de grandeur d’un rayon atomique est de « un dix milliardième de mètre », soit $10^{-10}$.
L’ordre de grandeur d’un rayon d’un noyau d’un atome est de « un millionnième de milliardième de mètre », soit $10^{-15}$.

EXERCICES

Exercice 1. Déterminer les ordres de grandeur des nombres suivants :
$N = 65\,732$ ; $M=0,0589$ et $P=325\times 10^5$.

Exercice 2. Déterminer les ordres de grandeur des résultats des calculs suivants :
$A=64,5+38,89$ ; $B= 69,5\times38,89+458,56$ et $C=1 a.l.$

$1 a.l.$ se lit « Une année lumière ».
$1 a.l.$ = distance parcourue par une particule qui se déplace à la vitesse (célérité) de la lumière $c=300\;000~$km/s (qu’on note km.s${}^{-1}$) pendant une année.
Une année = 365,25 jours $\times$ 24 heures $\times$ 60 minites $\times$ 60 secondes.
Calculer d’abord un ordre de grandeur de $C$ puis la valeur exacte, qu’on peut aussi arrondir.

CORRIGÉS

Exercice 1. Déterminer les ordres de grandeur des nombres suivants :
a) L’ordre de grandeur de $N = 65\,732$ est $70\,000$. On écrit $N\simeq 70\,000$.

b) L’ordre de grandeur de $M=0,0589$ est $0,06$. On écrit : $M\simeq 0,06$.

c) L’ordre de grandeur de $P=325\times 10^5$ est $300\times 10^5=30\,000\,000$ ou encore : $P\simeq 3\times 10^5$.

Exercice 2. Calcul des ordres de grandeur des résultats de calcul :
a) $A=64,5+38,89\simeq 60+40 = 100$. Ainsi un ordre de grandeur de $A$ est égal à $100$.

b) $B= 69,5\times38,89+458,56$
$\quad B \simeq 70\times 40 + 500$
$\quad B\simeq 2800+500=3300$.
Ainsi un ordre de grandeur de $B$ est égal à $3300$.

c) $C=1 a.l.$
$\quad C = 365,25\times 24 \times 60 \times 60 \times 300\,000$
$\quad C\simeq 400\times 20 \times 60 \times 60 \times 300\,000$
$\quad C\simeq 4\times 2 \times 6 \times 6 \times 3\times 10\,000\,000\,000$
$\quad C \simeq 48\times 18\times 10\,000\,000\,000$, en regroupant les trois premiers facteurs puis les 2 suivants.
$\quad C \simeq 50\times 20\times 10\,000\,000\,000$
$\quad C \simeq 1000\times 10\,000\,000\,000$
Par conséquent : $C \simeq 10\,000\,000\,000\,000$, qu’on peut écrire en notation scientifique $\color{red}{\boxed{\;1\, a.l.\simeq 1\times 10^{13}\;}}$

A la calculatrice, on obtient la valeur exacte à quelques décimales près : $\color{red}{\boxed{\; 1\, a.l. = 9,46728…\times 10^{12}\;}}$.

En prenant un ordre de grandeur de $9,46728…\simeq 10$, on obtient bien : $1\, a.l.\simeq 1\times 10^{13}$.