Présentation de proportions dans un tableau croisé

Exprimer une proportion de différentes manières


Les notions de proportions et de pourcentages sont fondamentales aussi bien dans la vie courante que dans la vie professionnelle.
Il est absolument nécessaire d’abord de maîtriser les concepts, puis de savoir effectuer les calculs appropriés. Notamment pour appliquer ou calculer, puis exprimer une proportion sous différentes formes (décimale, fractionnaire, pourcentage) et calculer des proportions de proportions.


7. Présentation de proportions dans un tableau croisé :

On reprend l’exemple « Fromage ou dessert !? »

Exercice résolu 7.
A la fin d’un banquet, 86% des convives ont commandé un fromage, 94% des convives ont commandé un dessert et 81% ont commandé un fromage et un dessert. Calculer la proportion des convives qui ont commandé un fromage ou un dessert.

On peut présenter le problème dans un tableau croisé. Ainsi, on note (en gras) tout ce qu’on sait.
Puis, on remplit (en rouge) les cases vides en complétant les différents totaux.

On note $F$ la partie des convives qui ont choisi le « fromage » ;
$D$, la partie des convives qui ont choisi le « dessert ».

On note $\overline{F}$ et $\overline{D}$ les complémentaires [les événements contraires] de $F$ et de $D$ dans $E$ respectivement. On obtient le tableau des proportion sur la base de 100 convives.

Répartition $F$ $\overline{F}$ Total
$D$ 81 $\color{brown}{13}$ 94
$\overline{D}$$\color{brown}{5}$ $\color{brown}{1}$ $\color{brown}{6}$
Total 86 $\color{brown}{14}$ 100

On remplit d’abord le tableau en inscrivant (en gras) les valeurs données dans l’énoncé.
Puis on complète les cases manquantes par un calcul de simples soustractions.

Ainsi, sur 100 convives, 86 ont pris un fromage, dont 81 ont aussi pris un dessert.
Donc, il n’y a que 5 qui ont pris un fromage, mais pas de dessert.
Et ainsi de suite… pour compléter le tableau.

Finalement, 1 convive n’a pris ni fromage ni dessert.
Il reste 99 sur les 100 qui ont commandé « fromage ou dessert ».

Conclusion : 99% des convives ont commandé « fromage ou dessert ».

Corrigé par le calcul.
La population de référence $E$ = l’ensemble de tous les convives = 100%.
La sous-population $F$ = les convives qui ont commandé un fromage.
La sous-population $D$ = les convives qui ont commandé un dessert.

$F\cap D$ = la sous-population des convives qui ont commandé un fromage et un dessert.
Enfin, $F\cup D$ = la sous-population des convives qui ont commandé un fromage ou un dessert.

D’après le cours, on sait que : $p_{F\cup D} = p_F+p_D-p_{F\cap D}$.
Donc : $p_{F\cup D} = 0,86 + 0,94 – 0,81 = 0,99 = 99\%$.

Conclusion. 99% des convives ont commandé « fromage ou dessert ».

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