Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique

  1. Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
  2. Repérage d’un point dans le plan.
  3. Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
  4. Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
  5. Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
  6. Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
  7. Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
  8. Fonctions périodiques. Interprétation géométrique.
  9. Sens de variation d’une fonction numérique de la variable réelle.
  10. Déterminer graphiquement le sens de variations d’une fonction.
  11. Tableau de variations d’une fonction.
  12. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
  13. Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.

1. Fonctions paires

Définition 1.
Soit $D$ un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$. On dit que $D$ est symétrique par rapport à zéro ou que $D$ est centré en zéro, si et seulement si, pour tout $x\in \R$ : $$[\quad x\in D \Longleftrightarrow -x\in D\quad]$$

Exemples.
$\bullet$ Les ensembles $\R$ , $\R\setminus\{0\}$ , $[-\pi; +\pi]$ , $\R\setminus [-1; +1]$ sont symétriques par rapport à zéro.
$\bullet$ Les ensembles $\R\setminus\{-1\}$ , $\left[-3;+3\right[$, $[1 ;+\infty[$ ne sont pas symétriques par rapport à zéro.

Définition 2.
Soit $D$ un intervalle ou une réunion d’intervalles $\R$ et $f$ une fonction définie sur $D$. On dit que $f$ est paire lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1°) le domaine de définition $D$ est symétrique par rapport à zéro ;
2°) et pour tout $x\in D$ : $[\; f(-x)=f(x)\; ]$.

Le modèle de ces fonctions est donné par les fonctions monômes de degré pair : $x\mapsto x^{2p}$. C’est ce qui explique leur nom de fonctions paires.

Interprétation graphique

Théorème 1.
Dans un repère orthogonal (ou orthonormé), la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Exemple : (modèle)
Dans un repère orthogonal (ou orthonormé), la fonction carrée $f:x\mapsto x^{2}$, définie sur $\R$ est une fonction paire car $\R$ est symétrique par rapport à zéro et pour tout $x\in \R$ : $$f(-x) =(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$$

La courbe de la fonction carrée est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Remarque

Si une fonction est paire, on peut réduire le domaine d’étude de la fonction à la partie positive de $D_{f}$. La courbe de $f$ peut alors se construire par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées du repère.

1.2. Fonctions impaires

Définition 3.
Soit $D$ un intervalle ou une réunion d’intervalles $\R$ et $f$ une fonction définie sur $D$. On dit que $f$ est impaire lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1°) le domaine de définition $D$ est symétrique par rapport à zéro ;
2°) et pour tout $x\in D$ : $[f(-x)=-f(x)]$.

Le modèle de ces fonctions est donné par les fonctions monômes de degré impair : $x\mapsto x^{2p+1}$. C’est ce qui explique leur nom de fonctions impaires.

Interprétation graphique

Théorème 2.
Dans un repère orthogonal (ou orthonormé), la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine $O$ du repère.

Exemple :(modèle)
Dans un repère orthogonal (ou orthonormé), la fonction cube $f:x\mapsto x^{3}$ définie sur $\R$ est une fonction impaire car $D_{f}=\R$ est symétrique par rapport à zéro et
pour tout $x\in \R$ : $$f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$$

La courbe de la fonction cube est symétrique par rapport à l’origine $O$ du repère.

Remarque

Si une fonction est impaire, on peut réduire le domaine d’étude de la fonction à la partie positive de $D_{f}$. La courbe de $f$ peut alors se construire par symétrie par rapport à l’origine $O$ du repère.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
1°) Étudier la parité de la fonction $f$ définie par : $$f(x) =3x^2(x^2-4)$$
2°) Interpréter graphiquement votre résultat dans un repère orthogonal quelconque.

Corrigé.
1°) $\color{brown}{f(x) =3x^2(x^2-4)}$
$i$) Tout d’abord, la fonction $f$ n’a aucune valeur interdite. Donc, son domaine de définition est $D_f=\R$. Donc, $D_f$ est symétrique par rapport à zéro.

$ii$) Pour tout $x\in\R$ : $f(-x)=3(-x)^2[(-x)^2-4] =3x^2(x^2-4)=f(x)$.
Par conséquent, pour tout $x\in\R$ : $f(-x)=f(x)$.

Conclusion. La fonction $f$ est paire, donc sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque, est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées $(Oy)$ du repère.

Exercice résolu n°2.
1°) Étudier la parité de la fonction $f$ définie par : $$f(x)=\dfrac{1}{x}$$
2°) Interpréter graphiquement votre résultat dans un repère orthogonal quelconque.

Corrigé.
2°) $\color{brown}{f(x) =\dfrac{1}{x}}$
$i$) Tout d’abord,cherchons le domaine de définition de la fonction $f$.
La fonction $f$ admet une valeur interdite :
$x\in D_f \Leftrightarrow x\neq 0$. Donc : $D_f=\R\setminus\{0\}=\R^{*}$.
Donc, $D_f$ est bien symétrique par rapport à zéro.

$ii$) Pour tout $x\in\R^{*}$ : $f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$.
Par conséquent, pour tout $x\in\R^{*}$ : $f(-x)=-f(x)$.

Conclusion. La fonction $f$ est impaire, donc sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque, est symétrique par rapport à l’origine $O$ du repère.

Exercice résolu n°3.
1°) Étudier la parité de la fonction $f$ définie par : $$f(x)=\dfrac{1}{x-1}$$
2°) Interpréter graphiquement votre résultat dans un repère orthogonal quelconque.

Corrigé.
2°) $\color{brown}{f(x) =\dfrac{1}{x-1}}$
$i$) Tout d’abord,cherchons le domaine de définition de la fonction $f$.
La fonction $f$ admet une valeur interdite :
$x\in D_f \Leftrightarrow x-1\neq 0$ $\Leftrightarrow x\neq$. Donc : $D_f=\R\setminus\{1\}$.
Donc, $D_f$ n’est pas symétrique par rapport à zéro.
Par conséquent, la fonction $f$ ne peut être ni paire, ni impaire.

Conclusion. La fonction $f$ n’est ni paire, ni impaire, donc sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque, n’est pas symétrique par rapport à l’axe des ordonnées $(Oy)$, ni par rapport à l’origine $O$ du repère.

Exercice résolu n°4.
1°) Étudier la parité de la fonction $f$ définie par : $$f(x)=x^2-4x+3$$
2°) Interpréter graphiquement votre résultat dans un repère orthogonal quelconque.
3°) A l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel de géométrie dynamique, tracer la courbe $C_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
4°) La courbe $C_f$ est-elle symétrique ? Préciser votre réponse.
5°) Que peut-on en conclure ?

Corrigé.
2°) $\color{brown}{f(x) =x^2-4x+3}$
$i$) Tout d’abord, la fonction $f$ n’a aucune valeur interdite. Donc, son domaine de définition est $D_f=\R$. Donc, $D_f$ est symétrique par rapport à zéro.

$ii$) Pour tout $x\in\R$ : $f(-x) = (-x)^2-4(-x)+3 =x^2+4x+3$.
Or, Pour tout $x\in\R$ : $f(x)=x^2-4x+3$. Il est clair que les expressions de $f(-x)$ et de $f(x)$ ne sont pas identiques.
Nous ne pouvons affirmer ni qu’elles sont égales, ni qu’elles sont opposées.
Pour montrer qu’elles sont différentes, il faudrait trouver – exhiber, montrer – qu’il existe au moins une valeur de $x$ pour laquelle elles sont différentes.

$\bullet$ Pour $x=1$ : $f(-x)=f(-1)=(-1)^2-4\times (-1)+3 = 8$ et $f(x)=f(1)=1^2-4\times 1+3 = 0$. On a bien :
$$f(-1)\not=f(1)\quad\text{et}\quad f(-1)\not=-f(1)$$

Par conséquent, il existe au moins un réel $x$ pour lequel $f(-x)\not=f(x)$, $x=1$, donc la fonction $f$ n’est pas paire.
Et il existe au moins un réel $x$ pour lequel $f(-x)\not=-f(x)$, $x=1$, donc la fonction $f$ n’est pas impaire.

2°) La fonction $f$ n’est ni paire, ni impaire, donc sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque, n’est pas symétrique par rapport à l’axe des ordonnées $(Oy)$, ni par rapport à l’origine $O$ du repère.

Figure 4.

Exercice résolu n°5. Étudier la parité des fonctions suivantes et interprétez graphiquement votre résultat.
1°) $f(x)=5x(3x^2+5)$
2°) $g(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{4-x^2}}$
3°) $h(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{4-x^2}}$
4°) $k(x)=\abs{x}(x^2+2)$ ; où $\abs{x}$ désigne la valeur absolue de $x$.
5°) $m(x)=x^2+3x-5$.

1°) $\color{brown}{f(x)=5x(3x^2+5)}$
$i$) Tout d’abord, la fonction $f$ n’a aucune valeur interdite. Donc, son domaine de définition est $D_f=\R$. Donc, $D_f$ est symétrique par rapport à zéro.

$ii$) Pour tout $x\in\R$ : $f(-x)=5(-x)[3(-x)^2+5] =-5x(3x^2+5)=-f(x)$.
Par conséquent, pour tout $x\in\R$ : $f(-x)=-f(x)$.

Conclusion. La fonction $f$ est impaire, donc sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque, est symétrique par rapport à l’origine $O$ du repère.

2°) $\color{brown}{g(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{4-x^2}}}$
$i$) Tout d’abord, on cherche le domaine de définition de $g$.
L’expression de $g(x)$ est un quotient qui contient une racine carrée. Donc, $g(x)$ existe si, et seulement si, la quantité sous la racine est positive ou nulle, et le dénominateur est non nul.
$$x\in D_g\Longleftrightarrow 4-x^2>0$$
Or pour tout $x\in\R$ : $4-x^2=2^2-x^2=(2+x)(2-x)$ ($IRn$°$3$).
Donc, d’après le théorème du produit nul :
$$\begin{array}{rcl}
4-x^2>0 & \Leftrightarrow &(2+x)(2-x)>0\\
&\Leftrightarrow & -2<x<2\\
&\Leftrightarrow & x\in\left]-2;2\right[\\
\end{array}$$
Conclusion. Le domaine de définition de la fonction $g$ s’écrit :
$$\color{brown}{\boxed{\quad D_g=\left]-2;2\right[\quad}}$$
Par conséquent $D_g$ est symétrique par rapport à zéro.

$ii$) Pour tout $x\in\R$, on a d’une part :
$g(-x)=\dfrac{2(-x)+1}{\sqrt{4-(-x)^2}}= \dfrac{-2x+1}{\sqrt{4-x^2}}$.
et d’autre part : $g(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{4-x^2}}$.
Ces deux expressions ont le même dénominateur, mais des dénominateurs qui semblent différents. A-t-on pour tout $x\in D_g$ : $2x+1=-2x+1$ ?
En résolvant l’équation, on montre que cette égalité est uniquement vraie pour $x=0$.
En particulier pour $x=-1$ : $g(-1)=\dfrac{2(-1)+1}{\sqrt{4-(-1)^2}} = \dfrac{-1}{\sqrt{3}}$ et $g(1)=\dfrac{2\times1 +1}{\sqrt{4-1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.

Par conséquent : Il existe au moins un réel $x\in D_g$ tel que $g(-x)\not=g(x)$ et $g(-x)\not=-g(x)$. Il suffit de prendre $x=1$.

Conclusion. La fonction $g$ n’est ni paire, ni impaire.
Sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque n’est est symétrique ni par rapport à l’axe des ordonnées, ni par rapport à l’origine $O$ du repère.

3°) $\color{brown}{h(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{4-x^2}}}$
$i$) Tout d’abord, on cherche le domaine de définition de $h$ est le même que celui de $g$. Par conséquent, le domaine de définition de la fonction $h$ s’écrit :
$$\color{brown}{\boxed{\quad D_h=\left]-2;2\right[\quad}}$$
Par conséquent $D_h$ est symétrique par rapport à zéro.

$ii$) Pour tout $x\in\R$, on a d’une part :
$h(-x)=\dfrac{2(-x)}{\sqrt{4-(-x)^2}}= \dfrac{-2x}{\sqrt{4-x^2}}=-\dfrac{2x}{\sqrt{4-x^2}}=-h(x)$.
Par conséquent, pour tout $x\in D_h$ : $h(-x)=-h(x)$.

Conclusion. La fonction $h$ est impaire, donc sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque, est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées $(Oy)$ du repère.

4°) $\color{brown}{k(x)=\abs{x}(x^2+2)}$ ; où $\abs{x}$ désigne la valeur absolue de $x$.
$i$) Tout d’abord, le domaine de définition de $k$ est $D_k=\R$. Donc, $D_k$ est symétrique par rapport à zéro.
$ii$) On sait que pour tout $x\in\R$ : $\abs{-x}=\abs{x}$. Donc, pour tout $x\in\R$ : $k(-x)=\abs{-x}[(-x)^2+2] =\abs{x}(x^2+2)=k(x)$.
Par conséquent, pour tout $x\in\R$ : $k(-x)=k(x)$.

Conclusion. La fonction $k$ est paire, donc sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque, est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées $(Oy)$ du repère.

5°) $\color{brown}{m(x)=x^2+3x-5}$.
$i$) Tout d’abord, le domaine de définition de $m$ est $D_m=\R$. Donc, $D_m$ est symétrique par rapport à zéro.
$ii$) Pour tout $x\in\R$, on a d’une part : $m(-x)=(-x)^2+3(-x)-5=x^2-3x-5$ ;
et d’autre part : $m(x)=x^2+3x-5$.
Ces deux expressions ont le même dénominateur, mais des dénominateurs qui semblent différents. A-t-on pour tout $x\in D_m$ : $x^2-3x-5=x^2+3x-5$ ?
En résolvant l’équation, on montre que cette égalité est uniquement vraie pour $x=0$.
En particulier pour $x=-1$ : $m(-1)=(-1)^2+3\times(-1)-5 = 1-3-5=-7$ et $m(1)=1^2+3\times1-5 = 1+3-5=-1$.
Par conséquent : Il existe au moins un réel $x\in\R$ tel que $m(-x)\not=m(x)$ et $m(-x)\not=-m(x)$. Il suffit de prendre $x=1$.

Conclusion. La fonction $m$ n’est ni paire, ni impaire.
Sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque n’est est symétrique ni par rapport à l’axe des ordonnées, ni par rapport à l’origine $O$ du repère.

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4. Exercices supplémentaires pour s’entraîner

A terminer

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