Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique


1. Fonctions paires

Définition 1.
Soit $D$ un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$. On dit que $D$ est symétrique par rapport à zéro ou que $D$ est centré en zéro, si et seulement si, pour tout $x\in \R$ : $$[\quad x\in D \Longleftrightarrow -x\in D\quad]$$

Exemples.
$\bullet$ Les ensembles $\R$ , $\R\setminus\{0\}$ , $[-\pi; +\pi]$ , $\R\setminus [-1; +1]$ sont symétriques par rapport à zéro.
$\bullet$ Les ensembles $\R\setminus\{-1\}$ , $\left[-3;+3\right[$, $[1 ;+\infty[$ ne sont pas symétriques par rapport à zéro.

Définition 2.
Soit $D$ un intervalle ou une réunion d’intervalles $\R$ et $f$ une fonction définie sur $D$. On dit que $f$ est paire lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1°) le domaine de définition $D$ est symétrique par rapport à zéro ;
2°) et pour tout $x\in D$ : $[\; f(-x)=f(x)\; ]$.

Le modèle de ces fonctions est donné par les fonctions monômes de degré pair : $x\mapsto x^{2p}$. C’est ce qui explique leur nom de fonctions paires.

Interprétation graphique

Théorème 1.
Dans un repère orthogonal (ou orthonormé), la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Exemple : (modèle)
Dans un repère orthogonal (ou orthonormé), la fonction carrée $f:x\mapsto x^{2}$, définie sur $\R$ est une fonction paire car $\R$ est symétrique par rapport à zéro et pour tout $x\in \R$ : $$f(-x) =(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$$

La courbe de la fonction carrée est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Remarque

Si une fonction est paire, on peut réduire le domaine d’étude de la fonction à la partie positive de $D_{f}$. La courbe de $f$ peut alors se construire par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées du repère.

1.2. Fonctions impaires

Définition 3.
Soit $D$ un intervalle ou une réunion d’intervalles $\R$ et $f$ une fonction définie sur $D$. On dit que $f$ est impaire lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1°) le domaine de définition $D$ est symétrique par rapport à zéro ;
2°) et pour tout $x\in D$ : $[f(-x)=-f(x)]$.

Le modèle de ces fonctions est donné par les fonctions monômes de degré impair : $x\mapsto x^{2p+1}$. C’est ce qui explique leur nom de fonctions impaires.

Interprétation graphique

Théorème 2.
Dans un repère orthogonal (ou orthonormé), la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine $O$ du repère.

Exemple :(modèle)
Dans un repère orthogonal (ou orthonormé), la fonction cube $f:x\mapsto x^{3}$ définie sur $\R$ est une fonction impaire car $D_{f}=\R$ est symétrique par rapport à zéro et
pour tout $x\in \R$ : $$f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$$

La courbe de la fonction cube est symétrique par rapport à l’origine $O$ du repère.

Remarque

Si une fonction est impaire, on peut réduire le domaine d’étude de la fonction à la partie positive de $D_{f}$. La courbe de $f$ peut alors se construire par symétrie par rapport à l’origine $O$ du repère.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
1°) Étudier la parité de la fonction $f$ définie par : $$f(x) =3x^2(x^2-4)$$
2°) Interpréter graphiquement votre résultat dans un repère orthogonal quelconque.

Corrigé.
1°) $\color{brown}{f(x) =3x^2(x^2-4)}$
$i$) Tout d’abord, la fonction $f$ n’a aucune valeur interdite. Donc, son domaine de définition est $D_f=\R$. Donc, $D_f$ est symétrique par rapport à zéro.

$ii$) Pour tout $x\in\R$ : $f(-x)=3(-x)^2[(-x)^2-4] =3x^2(x^2-4)=f(x)$.
Par conséquent, pour tout $x\in\R$ : $f(-x)=f(x)$.

Conclusion. La fonction $f$ est paire, donc sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque, est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées $(Oy)$ du repère.

Exercice résolu n°2.
1°) Étudier la parité de la fonction $f$ définie par : $$f(x)=\dfrac{1}{x}$$
2°) Interpréter graphiquement votre résultat dans un repère orthogonal quelconque.

Corrigé.
2°) $\color{brown}{f(x) =\dfrac{1}{x}}$
$i$) Tout d’abord,cherchons le domaine de définition de la fonction $f$.
La fonction $f$ admet une valeur interdite :
$x\in D_f \Leftrightarrow x\neq 0$. Donc : $D_f=\R\setminus\{0\}=\R^{*}$.
Donc, $D_f$ est bien symétrique par rapport à zéro.

$ii$) Pour tout $x\in\R^{*}$ : $f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$.
Par conséquent, pour tout $x\in\R^{*}$ : $f(-x)=-f(x)$.

Conclusion. La fonction $f$ est impaire, donc sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque, est symétrique par rapport à l’origine $O$ du repère.

Exercice résolu n°3.
1°) Étudier la parité de la fonction $f$ définie par : $$f(x)=\dfrac{1}{x-1}$$
2°) Interpréter graphiquement votre résultat dans un repère orthogonal quelconque.

Corrigé.
2°) $\color{brown}{f(x) =\dfrac{1}{x-1}}$
$i$) Tout d’abord,cherchons le domaine de définition de la fonction $f$.
La fonction $f$ admet une valeur interdite :
$x\in D_f \Leftrightarrow x-1\neq 0$ $\Leftrightarrow x\neq$. Donc : $D_f=\R\setminus\{1\}$.
Donc, $D_f$ n’est pas symétrique par rapport à zéro.
Par conséquent, la fonction $f$ ne peut être ni paire, ni impaire.

Conclusion. La fonction $f$ n’est ni paire, ni impaire, donc sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque, n’est pas symétrique par rapport à l’axe des ordonnées $(Oy)$, ni par rapport à l’origine $O$ du repère.

Exercice résolu n°4.
1°) Étudier la parité de la fonction $f$ définie par : $$f(x)=x^2-4x+3$$
2°) Interpréter graphiquement votre résultat dans un repère orthogonal quelconque.
3°) A l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel de géométrie dynamique, tracer la courbe $C_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
4°) La courbe $C_f$ est-elle symétrique ? Préciser votre réponse.
5°) Que peut-on en conclure ?

Corrigé.
2°) $\color{brown}{f(x) =x^2-4x+3}$
$i$) Tout d’abord, la fonction $f$ n’a aucune valeur interdite. Donc, son domaine de définition est $D_f=\R$. Donc, $D_f$ est symétrique par rapport à zéro.

$ii$) Pour tout $x\in\R$ : $f(-x) = (-x)^2-4(-x)+3 =x^2+4x+3$.
Or, Pour tout $x\in\R$ : $f(x)=x^2-4x+3$. Il est clair que les expressions de $f(-x)$ et de $f(x)$ ne sont pas identiques.
Nous ne pouvons affirmer ni qu’elles sont égales, ni qu’elles sont opposées.
Pour montrer qu’elles sont différentes, il faudrait trouver – exhiber, montrer – qu’il existe au moins une valeur de $x$ pour laquelle elles sont différentes.

$\bullet$ Pour $x=1$ : $f(-x)=f(-1)=(-1)^2-4\times (-1)+3 = 8$ et $f(x)=f(1)=1^2-4\times 1+3 = 0$. On a bien :
$$f(-1)\not=f(1)\quad\text{et}\quad f(-1)\not=-f(1)$$

Par conséquent, il existe au moins un réel $x$ pour lequel $f(-x)\not=f(x)$, $x=1$, donc la fonction $f$ n’est pas paire.
Et il existe au moins un réel $x$ pour lequel $f(-x)\not=-f(x)$, $x=1$, donc la fonction $f$ n’est pas impaire.

2°) La fonction $f$ n’est ni paire, ni impaire, donc sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque, n’est pas symétrique par rapport à l’axe des ordonnées $(Oy)$, ni par rapport à l’origine $O$ du repère.

Figure 4.

Exercice résolu n°5. Étudier la parité des fonctions suivantes et interprétez graphiquement votre résultat.
1°) $f(x)=5x(3x^2+5)$
2°) $g(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{4-x^2}}$
3°) $h(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{4-x^2}}$
4°) $k(x)=\abs{x}(x^2+2)$ ; où $\abs{x}$ désigne la valeur absolue de $x$.
5°) $m(x)=x^2+3x-5$.

1°) $\color{brown}{f(x)=5x(3x^2+5)}$
$i$) Tout d’abord, la fonction $f$ n’a aucune valeur interdite. Donc, son domaine de définition est $D_f=\R$. Donc, $D_f$ est symétrique par rapport à zéro.

$ii$) Pour tout $x\in\R$ : $f(-x)=5(-x)[3(-x)^2+5] =-5x(3x^2+5)=-f(x)$.
Par conséquent, pour tout $x\in\R$ : $f(-x)=-f(x)$.

Conclusion. La fonction $f$ est impaire, donc sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque, est symétrique par rapport à l’origine $O$ du repère.

2°) $\color{brown}{g(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{4-x^2}}}$
$i$) Tout d’abord, on cherche le domaine de définition de $g$.
L’expression de $g(x)$ est un quotient qui contient une racine carrée. Donc, $g(x)$ existe si, et seulement si, la quantité sous la racine est positive ou nulle, et le dénominateur est non nul.
$$x\in D_g\Longleftrightarrow 4-x^2>0$$
Or pour tout $x\in\R$ : $4-x^2=2^2-x^2=(2+x)(2-x)$ ($IRn$°$3$).
Donc, d’après le théorème du produit nul :
$$\begin{array}{rcl}
4-x^2>0 & \Leftrightarrow &(2+x)(2-x)>0\\
&\Leftrightarrow & -2<x<2\\
&\Leftrightarrow & x\in\left]-2;2\right[\\
\end{array}$$
Conclusion. Le domaine de définition de la fonction $g$ s’écrit :
$$\color{brown}{\boxed{\quad D_g=\left]-2;2\right[\quad}}$$
Par conséquent $D_g$ est symétrique par rapport à zéro.

$ii$) Pour tout $x\in\R$, on a d’une part :
$g(-x)=\dfrac{2(-x)+1}{\sqrt{4-(-x)^2}}= \dfrac{-2x+1}{\sqrt{4-x^2}}$.
et d’autre part : $g(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{4-x^2}}$.
Ces deux expressions ont le même dénominateur, mais des dénominateurs qui semblent différents. A-t-on pour tout $x\in D_g$ : $2x+1=-2x+1$ ?
En résolvant l’équation, on montre que cette égalité est uniquement vraie pour $x=0$.
En particulier pour $x=-1$ : $g(-1)=\dfrac{2(-1)+1}{\sqrt{4-(-1)^2}} = \dfrac{-1}{\sqrt{3}}$ et $g(1)=\dfrac{2\times1 +1}{\sqrt{4-1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.

Par conséquent : Il existe au moins un réel $x\in D_g$ tel que $g(-x)\not=g(x)$ et $g(-x)\not=-g(x)$. Il suffit de prendre $x=1$.

Conclusion. La fonction $g$ n’est ni paire, ni impaire.
Sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque n’est est symétrique ni par rapport à l’axe des ordonnées, ni par rapport à l’origine $O$ du repère.

3°) $\color{brown}{h(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{4-x^2}}}$
$i$) Tout d’abord, on cherche le domaine de définition de $h$ est le même que celui de $g$. Par conséquent, le domaine de définition de la fonction $h$ s’écrit :
$$\color{brown}{\boxed{\quad D_h=\left]-2;2\right[\quad}}$$
Par conséquent $D_h$ est symétrique par rapport à zéro.

$ii$) Pour tout $x\in\R$, on a d’une part :
$h(-x)=\dfrac{2(-x)}{\sqrt{4-(-x)^2}}= \dfrac{-2x}{\sqrt{4-x^2}}=-\dfrac{2x}{\sqrt{4-x^2}}=-h(x)$.
Par conséquent, pour tout $x\in D_h$ : $h(-x)=-h(x)$.

Conclusion. La fonction $h$ est impaire, donc sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque, est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées $(Oy)$ du repère.

4°) $\color{brown}{k(x)=\abs{x}(x^2+2)}$ ; où $\abs{x}$ désigne la valeur absolue de $x$.
$i$) Tout d’abord, le domaine de définition de $k$ est $D_k=\R$. Donc, $D_k$ est symétrique par rapport à zéro.
$ii$) On sait que pour tout $x\in\R$ : $\abs{-x}=\abs{x}$. Donc, pour tout $x\in\R$ : $k(-x)=\abs{-x}[(-x)^2+2] =\abs{x}(x^2+2)=k(x)$.
Par conséquent, pour tout $x\in\R$ : $k(-x)=k(x)$.

Conclusion. La fonction $k$ est paire, donc sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque, est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées $(Oy)$ du repère.

5°) $\color{brown}{m(x)=x^2+3x-5}$.
$i$) Tout d’abord, le domaine de définition de $m$ est $D_m=\R$. Donc, $D_m$ est symétrique par rapport à zéro.
$ii$) Pour tout $x\in\R$, on a d’une part : $m(-x)=(-x)^2+3(-x)-5=x^2-3x-5$ ;
et d’autre part : $m(x)=x^2+3x-5$.
Ces deux expressions ont le même dénominateur, mais des dénominateurs qui semblent différents. A-t-on pour tout $x\in D_m$ : $x^2-3x-5=x^2+3x-5$ ?
En résolvant l’équation, on montre que cette égalité est uniquement vraie pour $x=0$.
En particulier pour $x=-1$ : $m(-1)=(-1)^2+3\times(-1)-5 = 1-3-5=-7$ et $m(1)=1^2+3\times1-5 = 1+3-5=-1$.
Par conséquent : Il existe au moins un réel $x\in\R$ tel que $m(-x)\not=m(x)$ et $m(-x)\not=-m(x)$. Il suffit de prendre $x=1$.

Conclusion. La fonction $m$ n’est ni paire, ni impaire.
Sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque n’est est symétrique ni par rapport à l’axe des ordonnées, ni par rapport à l’origine $O$ du repère.

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4. Exercices supplémentaires pour s’entraîner

A terminer