Passer d’une écriture d’un nombre à une autre (décimale, fractionnaire, scientifique)

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5. Différentes écritures d’un nombre décimal

5.1. Qu’est-ce qu’un nombre décimal ?

Définition 1.
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Définition 1bis.
Une fraction décimale est un nombre $N$ qui s’écrit comme le quotient d’un nombre entier par une puissance de $10$ : $$N=\dfrac{a}{10^p}$$
où $a$ et $p$ sont des nombres entiers.

Propriété 1.
Tout nombre décimal s’écrit comme une fraction décimale.
Réciproquement : Toute fraction décimale s’écrit comme une nombre décimal.

EXEMPLES
$\bullet$ $1,7$ et $3,58$ sont des nombres décimaux. Ils s’écrivent : respectivement $1,7=\dfrac{17}{10} =\dfrac{17}{10^1}$ et $3,58=\dfrac{358}{100}=\dfrac{358}{10^2}$.
$\bullet$ Tout nombre entier est aussi un nombre décimal. $25=25,0$ peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Ici un seul suffit. $25$ s’écrit aussi sous la forme d’une fraction décimale : $\dfrac{25}{1}= \dfrac{25}{10^0}$.
$\bullet$ Le quotient exact $q$ de $2$ par $3$ n’est pas un nombre décimal, car lorsqu’on effectue la division de $2$ par $3$, la division ne s’arrête pas qu’on matérialise par trois petits points. On obtient : $$q=2\div 3 = 0,666666…$$
$\bullet$ $\sqrt{2}$ n’est pas un nombre décimal. $\sqrt{2}=1,41421356…$
$\bullet$ $\pi$ n’est pas un nombre décimal. $\pi=3,1415926535…$

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5.2. Qu’est-ce qu’un nombre en écriture fractionnaire ?

Définition 2.
Un nombre en écriture fractionnaire est un nombre qui peut s’écrire comme quotient de deux nombres décimaux.

Définition 2bis.
Une fraction est un nombre qui peut s’écrire comme quotient de deux nombres entiers.

EXEMPLES
$\dfrac{8}{5}$ et $\dfrac{3,58}{2,3}$ sont des nombres en écriture fractionnaire.
Toute fraction est un nombre écriture fractionnaire.

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5.3. Qu’est-ce qu’un nombre en notation scientifique ?

Propriété 2 :
Tout nombre décimal positif $N$ peut s’écrire d’une manière unique sous la forme : $\color{bordeaux}{N=a\times 10^p}$, où $a$ est un nombre décimal compris entre $1$ et $10$ ($1\leq a < 10$) et $p$ est un entier relatif.
Ceci signifie que $a$ est un nombre décimal ayant exactement un seul chiffre non nul AVANT la virgule.

Définition 3.
Soit $N$ un nombre décimal. On appelle notation scientifique de $N$, l’écriture : $$\color{red}{N=a\times 10^p}$$ où $a$ est un nombre décimal tel que $1\leq a < 10$ et p est un entier relatif.

2. Passer d’une écriture d’un nombre à une autre

A terminer

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