Cours. Effectuer une application numérique d’une formule.


Liens connexes

  1. Propriétés des inégalités dans $\R$
  2. Résoudre une inéquation du premier degré
  3. Étude du signe de l’expression du premier degré $ax+b$
  4. Déterminer le signe d’une expression factorisée du second degré
  5. Isoler une variable dans une égalité ou une inégalité
  6. Effectuer une application numérique d’une formule

1. Isoler ou exprimer une variable en fonction des autres dans une égalité ou une inégalité.

Méthode
On considère une égalité ou une inégalité $(E)$, contenant deux ou trois variables $x$, $y$ et $z$.
Pour exprimer $x$ en fonction de $y$ et $z$, il suffit regrouper et factoriser par $x$ ou $x^2$, pour isoler le terme en $x$ dans le membre de gauche, puis diviser par son coefficient lorsque c’est possible.
Autrement dit : le coefficient de $x$, qu’on peut noter $C$, est une expression dépendant éventuellement de $y$ et $z$, donc $C=C(y,z)$.
On cherche alors toutes les valeurs des autres variables pour lesquelles $C(y,z)=0$. Puis, on distingue tous les cas possibles.

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Adapté à partir de l’exercice 3, Brevet des collèges Asie 25 juin 2018.
Une Yourte mongole est constituée d’un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ exprimés en mètres, surélevé d’un cône de même diamètre $d$ et dont la hauteur est égale à la moitié de celle du cylindre.
1°) Exprimer le volume $V$ total de la Yourte en fonction de $r$ et de $h$.
2°) En déduire le volume totale de la Yourte si $r=3,50$m et $h=2$m.
3°) Exprimer $h$ puis $r$ en fonction de $V$.

Corrigé
1°a) Tout d’abord, le volume de la Yourte est égal à la somme des volumes du cylindre $V_1$ et du cône $V_2$. Or, on sait que :
$$V_1=\pi r^2\times h\quad\text{et}\quad V_2=\dfrac{1}{3}\pi r^2\times h$$
Donc $$\begin{array}{rcl}
V_y & = & V_1+V_2\\
& = & \pi r^2\times h+\dfrac{1}{3}\pi r^2\times h\\
& = & \left(1+\dfrac{1}{3}\right)\pi r^2 h \\
& = & \dfrac{4}{3}\pi r^2 h\\
\end{array}$$
Conclusion. L’expression du volume total $V_y$ de la Yourte en fonction de $r$ et de $h$ est donnée par : $$\color{brown}{\boxed{\; V_y=\dfrac{4}{3}\pi r^2 h\;}}$$

2°) Exprimer $h$ puis $r$ en fonction de $V$.
Comme $r>0$ et $h>0$, on a : $V_y=\dfrac{4}{3}\pi r^2h$, donc $r^2=\dfrac{3}{4}\dfrac{V_y}{\pi h}$.
Ce qui donne : $r=\sqrt{\dfrac{V_y}{\pi h}}$.
De même : $V_y=\dfrac{4}{3}\pi r^2h$, donc $h=\dfrac{V_y}{\pi r^2}$.
Ce qui donne : $r=\sqrt{\dfrac{V_y}{\pi h}}$.



$$\begin{array}{rcl}
V_y & = & V_1+V_2\\
& = & \pi r^2\times h+\dfrac{1}{3}\pi r^2\times h\\
& = & \left(1+\dfrac{1}{3}\right)\pi r^2 h \\
& = & \dfrac{4}{3}\pi r^2 h\\
\end{array}$$
Conclusion. L’expression du volume total $V$ de la Yourte en fonction de $r$ et de $h$ est donnée par : $$\color{brown}{\boxed{\; V=\dfrac{4}{3}\pi r^2 h\;}}$$


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