Cours. Effectuer une application numérique d’une formule.


1. Isoler ou exprimer une variable en fonction des autres dans une égalité ou une inégalité.

Méthode
On considère une égalité ou une inégalité $(E)$, contenant deux ou trois variables $x$, $y$ et $z$.
Pour exprimer $x$ en fonction de $y$ et $z$, il suffit regrouper et factoriser par $x$ ou $x^2$, pour isoler le terme en $x$ dans le membre de gauche, puis diviser par son coefficient lorsque c’est possible.
Autrement dit : le coefficient de $x$, qu’on peut noter $C$, est une expression dépendant éventuellement de $y$ et $z$, donc $C=C(y,z)$.
On cherche alors toutes les valeurs des autres variables pour lesquelles $C(y,z)=0$. Puis, on distingue tous les cas possibles.

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Adapté à partir de l’exercice 3, Brevet des collèges Asie 25 juin 2018.
Une Yourte mongole est constituée d’un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ exprimés en mètres, surélevé d’un cône de même diamètre $d$ et dont la hauteur est égale à la moitié de celle du cylindre.
1°) Exprimer le volume $V$ total de la Yourte en fonction de $r$ et de $h$.
2°) En déduire le volume totale de la Yourte si $r=3,50$m et $h=2$m.
3°) Exprimer $h$ puis $r$ en fonction de $V$.

Corrigé
1°a) Tout d’abord, le volume de la Yourte est égal à la somme des volumes du cylindre $V_1$ et du cône $V_2$. Or, on sait que :
$$V_1=\pi r^2\times h\quad\text{et}\quad V_2=\dfrac{1}{3}\pi r^2\times h$$
Donc $$\begin{array}{rcl}
V_Y & = & V_1+V_2\\
& = & \pi r^2\times h+\dfrac{1}{3}\pi r^2\times h\\
& = & \left(1+\dfrac{1}{3}\right)\pi r^2 h \\
& = & \dfrac{4}{3}\pi r^2 h\\
\end{array}$$
Conclusion. L’expression du volume total $V_Y$ de la Yourte en fonction de $r$ et de $h$ est donnée par : $$\color{brown}{\boxed{\; V_Y=\dfrac{4}{3}\pi r^2 h\;}}$$

2°) Exprimer $h$ puis $r$ en fonction de $V$.
Comme $r>0$ et $h>0$, on a : $V_Y=\dfrac{4}{3}\pi r^2h$, donc $r^2=\dfrac{3}{4}\dfrac{V_Y}{\pi h}$.
Ce qui donne : $$r=\sqrt{ \dfrac{3}{4}\dfrac{V_Y}{\pi h} }$$

De même : $V_Y=\dfrac{4}{3}\pi r^2h$, donc $h= \dfrac{3}{4}\dfrac{V_Y}{\pi r^2}$.
Ce qui donne : $$h=\dfrac{3}{4}\dfrac{V_Y}{\pi r^2}$$
$\blacktriangle$


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