Calculer un taux d’évolution réciproque


Les notions de taux d’évolution et de coefficient multiplicateur sont fondamentales aussi bien dans la vie courante que dans la vie professionnelle.
Il est absolument nécessaire d’abord de maîtriser ces concepts, puis d’apprendre à effectuer les calculs appropriés. Notamment pour calculer un taux d’évolution, l’exprimer en pourcentage ; passer d’une formule additive («augmenter de 5%» ou «diminuer de 5%») à une formule multiplicative («multiplier par 1,05» ou «multiplier par 0,95») ; appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou initiale ; interpréter un indice de base 100 ; calculer un indice ; calculer le taux d’évolution entre deux valeurs ; calculer le taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives ; calculer un taux d’évolution réciproque.


1. Calculer un taux d’évolution réciproque

On considère deux nombres réels strictement positifs $y_0$ et $y_1$. On appelle $t$ le taux d’évolution qui permet de passer de $y_0$ à $y_1$ et $k$ le coefficient multiplicateur associé à $t.$
On cherche à déterminer le taux d’évolution $t’$ qui, appliqué à $y_1$ permet de revenir à la valeur initiale $y_0$ et $k’$ le coefficient multiplicateur associé à $t’$.

Propriétés 1.
1°) Le coefficient multiplicateur $k’$ (ou $\textrm{CM’}$) qui permet de revenir de $y_1$ à $y_0$ est égal à l’inverse du coefficient multiplicateur $k$ :
$$\color{brown}{\boxed{\; k’ = \dfrac{1}{k} \;}} \quad\textrm{(1)} $$
On écrit aussi :
$$\color{brown}{\boxed{\; \textrm{CM’} = \dfrac{1}{\textrm{CM}}\;}} \quad\textrm{(1)} $$
2°) Le taux d’évolution $t’$ qui permet de revenir de $y_1$ à $y_0$ s’obtient de la manière suivante : $$\color{brown}{\boxed{\; t’= \dfrac{1}{1+t}-1 \;}} \quad\textrm{(2)} $$


Définitions 1.
1°) Le coefficient multiplicateur $k’$ (ou $\textrm{CM}’$) qui permet de passer de $y_1$ à $y_0$ s’appelle le coefficient multiplicateur réciproque de $k$.
2°) De même, le taux d’évolution $t’$ qui permet de passer de $y_1$ à $y_0$ s’appelle le taux d’évolution réciproque de $t$.

Figure 1.

En effet : D’une part, on a : $y_1=ky_0$ et $y_0=k’y_1$. Donc : $y_0=k\times k’ y_0$.
Ce qui donne : $k \times k’=1$. D’où $k’ = \dfrac{1}{k}$.
Et par suite : $1+t’ = \dfrac{1}{1+t}$. Donc : $$ t’= \dfrac{1}{1+t}-1 $

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2. Exercices résolus sur les évolutions réciproques

Exercice résolu 1.
Déterminer les coefficients multiplicateurs réciproques et les taux d’évolution réciproques associés à chacune des évolutions successives suivantes :
1°) $k=1,25$.
2°) $t=-10\%$.
3°) Une augmentation de $60\%$
4°) Une diminution de 20%.

Corrigé.
1°) $k=1,25$, donc le coefficient multiplicateur réciproque est donné par : $k’=\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{1,25}=0,8$.
De plus $t’=k’-1 = 0,8-1=-0,2=-20\%$.
Conclusion. Le coefficient multiplicateur réciproque est : $k’=0,8$ qui correspond à un taux d’évolution global $t’=-20\%$.

2°) $t=-10\%=-0,10$. Le coefficient multiplicateur associé est donné par : $k=1+t = 1-0,10 =0,9$. Le coefficient multiplicateur réciproque est :
$k’=\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{0,9}\simeq 1,111…$.
De plus $t’=k’-1 = 1,111…-1=0,111..=11,11\%$.
Conclusion. Le coefficient multiplicateur réciproque est : $k’=1,111…$ qui correspond à un taux d’évolution réciproque : $t’=11,11\%$.

3°) Une augmentation de $60\%$ correspond à un taux d’évolution $t=+60\%=+0,6$. Le coefficient multiplicateur associé est donné par : $k=1+t = 1+0,60 =1,6$. Le coefficient multiplicateur réciproque est :
$k’=\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{1,6}=0,625$.
De plus $t’=k’-1 = 0,625-1=-0,375=-37,5\%$.
Conclusion. Le coefficient multiplicateur réciproque est : $k’=0,625$ qui correspond à un taux d’évolution réciproque : $t’=-37,5\%$.

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