Calculer et interpréter un indice de base 100

Les notions de taux d’évolution et de coefficient multiplicateur sont fondamentales aussi bien dans la vie courante que dans la vie professionnelle.
Il est absolument nécessaire d’abord de maîtriser ces concepts, puis d’apprendre à effectuer les calculs appropriés. Notamment pour calculer un taux d’évolution, l’exprimer en pourcentage ; passer d’une formule additive («augmenter de 5%» ou «diminuer de 5%») à une formule multiplicative («multiplier par 1,05» ou «multiplier par 0,95») ; appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou initiale ; interpréter un indice de base 100 ; calculer un indice ; calculer le taux d’évolution entre deux valeurs ; calculer le taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives ; calculer un taux d’évolution réciproque.

  1. Calculer un taux d’évolution et l’exprimer en pourcentage
  2. Coefficient multiplicateur et taux d’évolution.
    Passer d’une formule additive à une formule multiplicative
  3. Appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou une valeur initiale
  4. Calculer et interpréter un indice de base 100
  5. Calculer un indice. Calculer le taux d’évolution entre deux valeurs
  6. Calculer le taux d’évolution équivalent à deux évolutions successives
  7. Calculer le taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives
  8. Exercices sur les évolutions successives
  9. Calculer un taux d’évolution réciproque
  10. Exercices résolus sur les évolutions réciproques

1. Indice de base 100

Dans toute la suite, on choisit une année de référence qu’on appelle « l’année $0$ ». On va définir l’indice de base 100 l’année $n$ par rapport à la valeur de référence l’année $0$.

Définition 1.
On considère une grandeur ayant pour valeur $y_0$ l’année $0$ et $y_n$ l’année $n$. On appelle indice simple de base 100 de $y_n$ par rapport à $y_0$ ou simplement indice de base 100 de $y_n$ par rapport à $y_0$, le nombre $I(n)$ tel que l’évolution qui fait passer de $y_0$ à $y_n$, fait passer de $100$ à $I$ proportionnellement. Ce qui donne : $$ \color{brown}{\boxed{\; I(n)=\dfrac{\textrm{Valeur l’année}\; n}{ \textrm{Valeur de référence}}\times 100\; }} \quad\textrm{ou}\quad\color{brown}{\boxed{\; I(n)=\dfrac{y_n}{y_0}\times 100\; }}$$
On obtient ainsi le tableau de proportionnalité suivant :

Valeur de référenceValeur l’année $n$
Valeurs$y_0$$y_n$
Indices$\color{brown}{100}$ $\color{brown}{I(n)}$
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2. Relation entre l’indice et le taux d’évolution

Propriété n°1 :
On considère une grandeur ayant pour valeur $y_0$ l’année $0$ et $y_n$ l’année $n$. On note $t$ le taux d’évolution de $y_0$ à $y_n$ et $I(n)$ l’indice de $y_n$ par rapport à $y_0$, alors on a les deux relations :
$$\color{brown}{\boxed{\; I(n) =(1+t)\times 100\; }} \quad\textrm{et}\quad \color{brown}{\boxed{\; t=\dfrac{I(n)-100}{100}\; }}$$
Le calcul du taux d’évolution peut se faire à partir des valeurs ou à partir des indices, avec la formule : $$ \color{brown}{\boxed{\; t = \dfrac{\textrm{Valeur finale}-\textrm{Valeur initiale} }{\textrm{Valeur initiale}} \; }}$$

3. Relation entre l’indice et le coefficient multiplicateur

Propriété n°2.
On considère une grandeur ayant pour valeur $y_0$ l’année $0$ et $y_n$ l’année $n$. On note $k$ le coefficient multiplicateur de $y_0$ à $y_n$ et $I(n)$ l’indice de $y_n$ par rapport à $y_0$, alors on a les deux relations :
$$ \color{brown}{\boxed{\; I(n) =k\times 100\; }} \quad\textrm{et}\quad
\color{brown}{\boxed{\; k=\dfrac{I(n)}{100}\; }} $$

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Exercices résolus

Exercice résolu 1.
Une grandeur mesure $y_0=560$ l’année 2017 et $y_1=644$ en 2018.
1°) Déterminer l’indice en 2018 en prenant 2017 comme année de référence.
2°) En déduire le taux d’évolution de cette grandeur entre 2017 et 2018

Corrigé.
1°) L’ année de référence est 2017 donc d’indice 100. Alors l’indice de base 100 en 2018 est donné par :
$$ I(2018)=\dfrac{\textrm{Valeur en 2018}}{\textrm{Valeur de référence en 2017}}\times 100$$
Donc $$I(2018) = \dfrac{644}{560}\times 100 = \color{brown}{\boxed{\; 115\; }}$$

2°) Recherche du taux dévolution par le calcul :
La question dit « En déduire ». Donc, on doit utiliser la formule avec les indices.
$ t = \dfrac{V_F -V_I}{V_I} = \dfrac{I(2018)-100}{100} $. Donc : $t=\dfrac{115-100}{100} =0,15=15\%$. D’où : $\color{brown}{\boxed{\; t=15\%\; }}$

2°bis) Calcul du taux d’évolution avec les valeurs :
$ t = \dfrac{V_F -V_I}{V_I} = \dfrac{644-560}{560}$. Donc : $t=\dfrac{84}{560} =0,15=15\%$. D’où : $\color{brown}{\boxed{\; t=15\%\; }}$.
On obtient le même résultat.

Remarque importante.
L’écriture en pourcentages est bien plus pratique pour la « lecture directe » du taux d’évolution. On écrit :
$\rightarrow$ Indice l’année 2018 : $115$
$\rightarrow$ Indice de référence : $100$
On calcule la différence : $115 – 100=$ taux en pourcentage $= \color{brown}{\boxed{\; 15\%\; }}$.

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Exercice résolu 2.
En 2018, le chiffre d’affaire d’une entreprise a baissé de 15% par rapport à 2017.
1°) Calculer le coefficient multiplicateur du chiffre d’affaire entre 2016 et 2017.
2°) En déduire l’indice de base 100 du chiffre d’affaire en 2018, en prenant 2017 comme année de référence.

Corrigé.
1°) Calcul du coefficient multiplicateur.
On note $y_0$ et $y_1$ les chiffres d’affaire de l’entreprise en 2017 et 2018 respectivement.
D’après l’énoncé, le taux d’évolution du chiffre d’affaire entre $y_0$ et $y_1$ est : $t=-15\%=-0,15$.
Donc, le coefficient multiplicateur $k$ entre $y_0$ et $y_1$ est : $k=1+t=1-0,15$. Donc : $\color{brown}{\boxed{\; k=0,85\; }}$.

2°) Calcul de l’indice de base 100 en 2018.
On considère 2017 comme l’année de référence, donc d’indice de base 100. On sait que $ I(n) =k\times 100 =0,85\times 100$. Donc : $\color{brown}{\boxed{\; I(2018)=85\; }}$.

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Exercice résolu 3.
Voici les indices de base 100 d’une grandeur sur trois années :
Année de référence 2016. Les indices de base 100 en 2017 et 2018 sont de 105,5 et 118,16 respectivement.
1°) Déterminer les taux d’évolution entre 2016 et 2017, puis entre 2016 et 2018.
2°) Calculer l’indice de base 100 en 2018 en prenant l’année 2017 comme année de référence.

Corrigé.
1°a) Calcul du taux d’évolution entre 2016 et 2017.
L’année de référence est 2016, donc d’indice 100. On connaît les autres indices. Donc, on utilise les formules avec les indices.
– Par « lecture directe » sur les indices, on peut calculer le taux d’évolution. On écrit :
$\rightarrow$ Indice l’année 2018 : $105,5$
$\rightarrow$ Indice de référence : $100$
On calcule la différence : $105,5 -100=$ taux en pourcentage $= \color{brown}{\boxed{\; 5,5\%\; }}$.
– Ou par le calcul sur les indices :
$ t_1 = \dfrac{V_F -V_I}{V_I} = \dfrac{I(2017)-100}{100}$. Donc : $t=\dfrac{105,5-100}{100} =0,055=5,5\%$. D’où le taux d’évolution entre 2016 et 2017 est bien : $\color{brown}{\boxed{\; t_1=5,5\%\; }}$.

1°b) Calcul du taux d’évolution entre 2016 et 2018.
Un calcul identique, montre que le taux d’évolution entre 2016 et 2018 est : $\color{brown}{\boxed{\; t_2=18,16\%\; }}$.

2°) On ne peut plus utiliser la soustraction des indices, car le premier indice n’est pas ($=100$) un indice de référence. On est donc obligé d’utiliser la formule sur les indices (Valeur finale) / (Valeur initiale) $\times 100$ :
$$ \begin{array}{rcl}
I'(2018) &=& \dfrac{V_F}{V_I} \times 100 \\
&=& \dfrac{I(2018)}{I(2017)} \times 100 \\
&=& \dfrac{118,16}{105,5} \times 100 \\
&=& 1,12 \times 100 \\
I'(2018) &=& 112\\
\end{array}$$

Conclusion. L’indice de base 100 en 2018 en prenant l’année 2017 comme année de référence, est $I'(2018)=112$. Ce qui correspond à une augmentation de $12\%$ entre 2017 et 2018.

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