Exercices. Déterminer graphiquement des images et des antécédents
Prérequis
$\bullet$ Intervalles
$\bullet$ Repérage d’un point dans le plan.
$\bullet$ Domaine de définition d’une fonction de la variable réelle
$\bullet$ Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
Liens connexes
- Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
- Repérage d’un point dans le plan.
- Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
- Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
- Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
- Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
- Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
- Sens de variation d’une fonction numérique de la variable réelle.
- Déterminer graphiquement le sens de variations d’une fonction.
- Tableau de variations d’une fonction.
- Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
- Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.
Exercices résolus
Exercice résolu n°1. Soit $f$ la fonction définie par sa courbe représentative $C_f$ dans un repère du plan. (figure 1. ci-dessous)
1°) Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$.
2°) Déterminer graphiquement les images de $-4$ ; $-3$ ; $0$ ; $2$ ; $4$ et $5$ par la fonction $f$. Expliquez brièvement votre démarche.
Corrigé.
1°) Par lecture graphique, la fonction $f$ est définie pour tout $x$ vérifiant :
$$-4\leqslant x\leqslant 5$$
Donc, le domaine de définition de la fonction $f$ est : $$D_f=\left[-4;5\right]$$
2°) Pour lire l’image d’un nombre $a$ par la fonction $f$, on place $x=a$ sur l’axe des abscisses, puis on trace la droite $d$ parallèle à l’axe des ordonnées passant par $x=a$ [On dit la droite d’équation $x=a$]. Si elle coupe la courbe en un point de coordonnées $(a,b)$, alors : $f(a)=b$.
Par lecture graphique, on a : $f(-4)=2$.
En effet, en traçant la droite parallèle à l’axe des ordonnées, d’équation $x=-4$, elle coupe la courbe en un point $A$ de coordonnées $(-4;2)$. Donc : $\color{brown}{\boxed{\quad f(-4)=2\quad}}$.
D’une manière analogue, on obtient les images suivantes :
$\color{brown}{\boxed{\quad f(-3)=0\quad}}$ ; $\color{brown}{\boxed{\quad f(0)=-1\quad}}$ ; $\color{brown}{\boxed{\quad f(2)=1\quad}}$ ; $\color{brown}{\boxed{\quad f(4)=-1\quad}}$ et $\color{brown}{\boxed{\quad f(5)=-2\quad}}$.
Exercice résolu n°2. Soit $f$ la fonction définie par sa courbe représentative $C_f$ de l’exercice 1. (Figure 1. ci-dessus)
Déterminer graphiquement les antécédents, lorsqu’ils existent, de : $-2$ ; $-1$ ; $0$ ; $1$ ; $2$ et $3$ par la fonction $f$. Expliquez brièvement votre démarche.
Pour lire le ou les antécédents d’un nombre $b$ par la fonction $f$, lorsqu’ils existent, on place $y=b$ sur l’axe des ordonnées, puis on trace la droite $d’$ parallèle à l’axe des abscisses passant par $y=b$ [On dit la droite d’équation $y=b$]. Si elle coupe la courbe en un ou plusieurs points de coordonnées $(a_1,b)$, $(a_2,b)$… alors : $a_1$, $a_2$,… sont les antécédents de $b$ par la fonction $f$.
Par exemple, cherchons les antécédents de $-2$ par la fonction $f$ :
On place $y=-2$ sur l’axe des ordonnées, puis on trace la droite $d’$ parallèle à l’axe des abscisses d’équation $y=-2$. Elle coupe la courbe en deux points de coordonnées $(a_1,-2)$, $(5,-2)$, avec $a_1\simeq-1,3$.
Alors, par lecture graphique, $-2$ admet deux antécédents par la fonction $f$, qui sont : $x=a_1$ (valeur exacte) et $x=5$, avec $a_1\simeq-1,3$ (valeur approchée).
D’une manière analogue :
$\bullet$ Par lecture graphique, $-1$ admet trois antécédents par la fonction $f$, qui sont : $x=a_2$ (valeur exacte), $x=0$ et $x=4$, avec $a_2\simeq-2,5$ (valeur approchée). Et ainsi de suite. On obtient :
$\bullet$ Par lecture graphique, $0$ admet trois antécédents par la fonction $f$.
$\bullet$ Par lecture graphique, $1$ admet deux antécédents par la fonction $f$.
$\bullet$ Par lecture graphique, $2$ admet un seul antécédent par la fonction $f$.
$\bullet$ Par lecture graphique, $3$ n’admet aucun antécédent par la fonction $f$, car la droite d’équation $y=3$ ne coupe la courbe $C_f$ en aucun point.
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