Exercices. Déterminer graphiquement des images et des antécédents


Prérequis

$\bullet$ Intervalles
$\bullet$ Repérage d’un point dans le plan.
$\bullet$ Domaine de définition d’une fonction de la variable réelle
$\bullet$ Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.


Liens connexes

  1. Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
  2. Repérage d’un point dans le plan.
  3. Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
  4. Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
  5. Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
  6. Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
  7. Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
  8. Sens de variation d’une fonction numérique de la variable réelle.
  9. Déterminer graphiquement le sens de variations d’une fonction.
  10. Tableau de variations d’une fonction.
  11. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
  12. Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.

Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Soit $f$ la fonction définie par sa courbe représentative $C_f$ dans un repère du plan. (figure 1. ci-dessous)
1°) Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$.
2°) Déterminer graphiquement les images de $-4$ ; $-3$ ; $0$ ; $2$ ; $4$ et $5$ par la fonction $f$. Expliquez brièvement votre démarche.

Figure 1. Courbe représentative de la fonction $f$

Corrigé.
1°) Par lecture graphique, la fonction $f$ est définie pour tout $x$ vérifiant :
$$-4\leqslant x\leqslant 5$$
Donc, le domaine de définition de la fonction $f$ est : $$D_f=\left[-4;5\right]$$

Figure 2. Lecture graphique des images

2°) Pour lire l’image d’un nombre $a$ par la fonction $f$, on place $x=a$ sur l’axe des abscisses, puis on trace la droite $d$ parallèle à l’axe des ordonnées passant par $x=a$ [On dit la droite d’équation $x=a$]. Si elle coupe la courbe en un point de coordonnées $(a,b)$, alors : $f(a)=b$.

Par lecture graphique, on a : $f(-4)=2$.
En effet, en traçant la droite parallèle à l’axe des ordonnées, d’équation $x=-4$, elle coupe la courbe en un point $A$ de coordonnées $(-4;2)$. Donc : $\color{brown}{\boxed{\quad f(-4)=2\quad}}$.

D’une manière analogue, on obtient les images suivantes :
$\color{brown}{\boxed{\quad f(-3)=0\quad}}$ ; $\color{brown}{\boxed{\quad f(0)=-1\quad}}$ ; $\color{brown}{\boxed{\quad f(2)=1\quad}}$ ; $\color{brown}{\boxed{\quad f(4)=-1\quad}}$ et $\color{brown}{\boxed{\quad f(5)=-2\quad}}$.


Exercice résolu n°2. Soit $f$ la fonction définie par sa courbe représentative $C_f$ de l’exercice 1. (Figure 1. ci-dessus)
Déterminer graphiquement les antécédents, lorsqu’ils existent, de : $-2$ ; $-1$ ; $0$ ; $1$ ; $2$ et $3$ par la fonction $f$. Expliquez brièvement votre démarche.

Pour lire le ou les antécédents d’un nombre $b$ par la fonction $f$, lorsqu’ils existent, on place $y=b$ sur l’axe des ordonnées, puis on trace la droite $d’$ parallèle à l’axe des abscisses passant par $y=b$ [On dit la droite d’équation $y=b$]. Si elle coupe la courbe en un ou plusieurs points de coordonnées $(a_1,b)$, $(a_2,b)$… alors : $a_1$, $a_2$,… sont les antécédents de $b$ par la fonction $f$.

Figure 3. Lecture graphique des antécédents

Par exemple, cherchons les antécédents de $-2$ par la fonction $f$ :
On place $y=-2$ sur l’axe des ordonnées, puis on trace la droite $d’$ parallèle à l’axe des abscisses d’équation $y=-2$. Elle coupe la courbe en deux points de coordonnées $(a_1,-2)$, $(5,-2)$, avec $a_1\simeq-1,3$.
Alors, par lecture graphique, $-2$ admet deux antécédents par la fonction $f$, qui sont : $x=a_1$ (valeur exacte) et $x=5$, avec $a_1\simeq-1,3$ (valeur approchée).

D’une manière analogue :
$\bullet$ Par lecture graphique, $-1$ admet trois antécédents par la fonction $f$, qui sont : $x=a_2$ (valeur exacte), $x=0$ et $x=4$, avec $a_2\simeq-2,5$ (valeur approchée). Et ainsi de suite. On obtient :

$\bullet$ Par lecture graphique, $0$ admet trois antécédents par la fonction $f$.
$\bullet$ Par lecture graphique, $1$ admet deux antécédents par la fonction $f$.
$\bullet$ Par lecture graphique, $2$ admet un seul antécédent par la fonction $f$.
$\bullet$ Par lecture graphique, $3$ n’admet aucun antécédent par la fonction $f$, car la droite d’équation $y=3$ ne coupe la courbe $C_f$ en aucun point.

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