Développer, réduire et factoriser une expression algébrique simple

1. La propriété de distributivité simple

EXEMPLE 1.

Dans la figure ci-dessous, on peut calculer l’aire du grand rectangle $ACDF$ de deux manières.

1ère méthode : La largeur est égale à : $AF = k$ et la longueur est égale à : $AC = AB+BC=a+b$. Donc l’aire du grand rectangle est bien égale à :
$${\mathscr A}= Largeur\times Longueur = k\times(a+b)$$

On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition.

2ème méthode : L’aire du grand rectangle $ACDF$ est aussi égale à la somme des aires du petit rectangle $ABEF$ et du rectangle moyen $BCDE$. Ce qui donne :
$${\mathscr A}= k\times a + k\times b.$$

Les deux méthodes conduisent au même résultat. On obtient donc l’égalité algébrique pour tous nombres $a$, $b$ et $k$ :
$$ \color{red}{\boxed{\; k\times(a+b) = k\times a + k\times b\; }}\qquad(1)$$

EXEMPLE 2.

Dans la figure suivante, on cherche à calculer l’aire du petit rectangle $ABEF$ de deux manières en posant $AF = k$, $AC=a$ et $BC=b$.

Un raisonnement analogue montre que pour tous nombres $a$, $b$ et $k$, on obtient une deuxième égalité :
$$ \color{red}{\boxed{\; k\times(a-b) = k\times a\, – k\times b\; }}\qquad(2)$$

On dit que la multiplication est distributive par rapport à la soustraction.

Définition 1. & Propriété de distributivité simple
Pour multiplier un nombre par une somme ou une différence, on multiplie chaque terme de la somme par ce nombre, puis on fait la somme (ou la différence) des deux résultats.
On a donc les égalités suivantes, pour tous nombres relatifs $a$, $b$ et $k$:
\begin{eqnarray*}
&&\color{red}{—– Développement—–>}\\
&&\color{red}{\boxed{\; k\times(a+b) = k\times a + k\times b\; }}\qquad(1)\\
&&\color{red}{\boxed{\; \; \; k\times(a-b) = k\times a\, – k\times b\; }}\qquad(2)\\
&&\color{red}{ <—– Factorisation —– } \end{eqnarray*}

Définitions 2.
La propriété de distributivité simple peut être lue dans les deux sens et permet de transformer l’écriture d’une expression.
$\color{red}{Développer}$ une expression algébrique, revient à la transformer en une somme de deux ou plusieurs termes. C’est-à-dire, il faut regrouper les termes de même nature.
$\color{red}{Réduire}$ une expression algébrique développée, revient à l’écrire avec un minimum de termes possibles.
$\color{red}{Factoriser}$ une expression algébrique, revient à la transformer en un produit de deux ou plusieurs facteurs. On décompose chaque terme à l’aide d’un $\color{red}{facteur\; commun}$, numérique ou littéral $k$.

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EXERCICES RÉSOLUS.

Exerecice 1. Développer et réduire les expressions suivantes :
$A(x)=2(3x−5)$ ;
$B(x)=2x(5x−4)+5x-4$ ;
et $C(x)=3x(2x−4)−7(x−1)$.

Exercice 2. Factoriser les expressions suivantes :
$A(x)=8x−12$ ;
$B(x)=2x^2−3x$ ;
$C(x)=15x^2−20x$ ;
et D(x)=5x(x− 4)-(2x+5)(x-4)$.

CORRIGÉS

Exercice 1.
Développer et réduire :
$A(x)=2(3x−5)$
$A(x)=2\times 3x − 2\times 5$.
D’où : $\color{red}{\boxed{\; A(x)=6x-10\; }}$

Développer et réduire :
$B(x)=2x(5x−4)+7x-5$, on ne distribue que le premier terme.
$B(x)=2x\times 5x− 2x\times 4+5x-4$
$B(x)=10x^2-8x+5x-4$.
C’est une expression développée. Il faut la réduire. C’est-à-dire, il faut regrouper les termes de même nature. Dans notre cas, le $-8x+5x$ qui donne $-3x$.
Donc : $\color{red}{\boxed{\; B(x)= 10x^2-3x-4}}$.

Développer et réduire :
$C(x)=3x(2x−4)−7(x−1)$
$C(x)=3x \times 2x−3x \times 4−7 \times x−7 \times (-1)$.
Ici, on développe chacun des termes et on fait attention à la règles des signes (dans le dernier terme). Ce qui donne :
$C(x)=6x^2−12x−7x+7$.
Puis on réduit cette dernière expression. On obtient :
$ \color{red}{\boxed{\; C(x)=6x^2−19x+7\;}}$

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Exercice 2.
Factoriser $A(x)=8x−12$ :
L’expression $A(x)=8x−12$ est composée de deux termes qu’on peut qu’on peut décomposer à l’aide d’un facteur commun numérique $4$ :
$A(x)=4\times 2x− 4\times 3$. On met $4$ en facteur.
$A(x)=4\times(2x−3)$.
On obtient : $\color{red}{\boxed{\; A(x)=4(2x−3)\; }}$

Factoriser $B(x)=2x^2−3x$.
Ici, nous avons un facteur commun littéral $x$. On décompose les deux termes à l’aide du facteur commun littéral $x$.
$B(x)=x\times 2x− x\times 3$. On met $x$ en facteur.
$B(x)=x\times(2x− 3)$.
On obtient : $\color{red}{\boxed{\; B(x)=x(2x− 3) \; }}$

Factoriser $C(x)=15x^2−20x$ .
Ici, nous avons un facteur commun numérique $5$ et un facteur commun littéral $x$. On décompose les deux termes à l’aide de $5x$.
$C(x)=5x\times 3x− 5x\times 4$. On met $5x$ en facteur.
$C(x)=5x\times(3x− 4)$.
On obtient : $\color{red}{\boxed{\; C(x)=5x(3x− 4) \; }}$

Factoriser $D(x)=5x(x− 4)-(2x+5)(x-4)$.
Ici, nous avons un bloc facteur commun $(x-4)$. On décompose les deux termes à l’aide de $(x-4)$.
$D(x)=5x \times \color{red}{ (x− 4)}-(2x+5) \times \color{red}{ (x-4)}$.
On met $(x-4)$ en facteur en le gardant à droite. On utilise des crochets.
$D(x)=[5x-(2x+5)] \times (x-4)$.
On réduit l’expression à l’intérieur des crochets. Ce qui donne :
$D(x)=[5x-2x-5] \times (x-4)$.
Finalement, on obtient : $\color{red}{\boxed{\; D(x)=(3x-5)(x-4)\; }}$.

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