Apprenez les maths par compétences. Fiches de cours mises à jour, exercices évolutifs résolus et fiches pratiques, conformes au programme de mathématiques en Première STMG.
Nouveau programme de mathématiques en Première STMG – Rentrée 2019.
Classe de première technologique, enseignement commun
(séries ST2S, STL, STD2A, STI2D, STMG, STHR).
Progression 1ère STMG/ST2S (Académie de Toulouse)
Mathématiques en Première STMG. Rentrée 2023
1. Maîtriser les automatismes
- Comparaisons des fractions simples. Quotient approché ;
- Effectuer des opérations sur les fractions ;
- Calculs avec les puissances de 10 ;
- Effectuer des opérations sur les puissances ;
- Passer d’une écriture d’un nombre à une autre (décimale, fractionnaire, scientifique) à terminer ;
- Estimer un ordre de grandeur ;
- Effectuer des conversions d’unités ;
- Calcul littéral. Expressions algébriques ;
- Développer, réduire et factoriser une expression algébrique simple. à terminer ;
- Population de référence
- Calculer, appliquer une proportion
- Exprimer une proportion ou une fréquence de différentes manières
- Calculer un effectif connaissant une proportion
- Comparer deux effectifs et comparer deux proportions
- Réunion, intersection et proportions
- Présentation de proportions dans un tableau croisé
- Sous-populations disjointes
- Sous-populations contraires
- Proportions échelonnées. Calcul d’une proportion de proportions
- Calculer un taux d’évolution et l’exprimer en pourcentage
- Coefficient multiplicateur et taux d’évolution.
Passer d’une formule additive («augmenter de 5%» ou « diminuer de 5% ») à une formule multiplicative (« multiplier par 1,05» ou « multiplier par 0,95 ») - Appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou une valeur initiale
- Calculer et interpréter un indice de base 100
- Calculer un indice. Calculer le taux d’évolution entre deux valeurs
- Taux d’évolution équivalent à deux évolutions successives
- Calculer le taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives
- Exercices sur les évolutions successives
- Calculer un taux d’évolution réciproque
- Exercices résolus sur les évolutions réciproques
- Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
- Repérage d’un point dans le plan.
- Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
- Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
- Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
- Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
- Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
- Déterminer graphiquement le sens de variations d’une fonction.
- Tableau de variations d’une fonction.
- Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
- Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.
- Déterminer graphiquement le signe d’une fonction et dresser son tableau de signes.
- Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$
- .Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.
- Modéliser par des fonctions des situations issues des mathématiques, des autres disciplines.
- Résoudre une équation ou une inéquation du type $f(x)=k$, $f(x)<k$, en choisissant une méthode adaptée : graphique, algébrique, logicielle.
- Résoudre une équation, une inéquation produit ou quotient, à l’aide d’un tableau de signes.
- Résoudre, graphiquement ou à l’aide d’un outil numérique,une équation ou inéquation du type $f(x)=g(x)$, $f(x)<g(x)$.
- Déterminer graphiquement le signe d’une fonction ou son tableau de variations ;
- Tracer une droite donnée par son équation réduite.
- Tracer une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
- Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite.
- Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points.
- Déterminer l’équation réduite d’une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
- Lire un graphique, un histogramme, un diagramme en barres ou circulaire, un diagramme en boîte ou toute autre représentation (repérer l’origine du repère, les unités de graduations ou les échelles…) ;
- Passer du graphique aux données et vice-versa
2. Algorithmique et programmation en Python
- Qu’est ce qu’un algorithme
- Installer python
- Algorithmique. Constantes et variables
- Syntaxe des instructions de base dans Python
- Opérations et fonctions mathématiques de base
- Les compteurs et les accumulateurs dans Python
- La fonction range() dans Python
- Les instructions conditionnelles
- Les listes dans Python
- Les fonctions dans Python
- La boucle non bornée « while » dans Python
- La boucle bornée « for » dans Py
Cours de mathématiques de 1ère STMG :
3. Analyse
- Définition d’une suite numérique
- Différents modes de génération d’une suite numérique
- Forme explicite : Chaque terme $u_n$ est défini par une expression explicite en fonction de $n$
- Forme récurrente : Chaque terme $u_n$ est défini par une expression en fonction de $n$
- Forme aléatoire : Chaque terme $u_n$ est défini comme un nombre aléatoire quelconque ou dans un intervalle.
- Forme géométrique : Chaque terme $u_n$ est défini par une construction utilisant ou non $n$ objets.
- Avec un tableur : Chaque terme $u_n$ est défini par une construction utilisant ou non $n$ objets.
- Avec un algorithme : Chaque terme $u_n$ est défini par un algorithme en fonction de $n$.
- Sens de variation d’une suite
- Les suites arithmétiques
- Les suites arithmétiques comme modèles discrets d’évolutions absolues constantes (croissance linéaire)
- Suite arithmétique : Relation de récurrence. Forme explicite.
- Suites arithmétiques. Exercices résolus. Série 1
- Sens de variation d’une suite arithmétique
- Propriétés des suites arithmétiques
- Représentation graphique d’une suite arithmétique
- Les suites géométriques
- Les suites géométriques (à termes strictement positifs) comme modèles discrets d’évolutions relatives constantes (croissance exponentielle)
- Suites géométriques. Relation de récurrence. Forme explicite
- Propriété des suites géométriques
- Sens de variation d’une suite géométrique
- Représentation graphique d’une suite géométrique
- Exercices sur les suites
- Modéliser une situation à l’aide d’une suite.
- Reconnaître si une situation relève d’un modèle discret de croissance linéaire ou exponentielle.
- Calculer un terme de rang donné d’une suite définie par une relation fonctionnelle ou une relation de récurrence.
- Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d’une suite.
- Conjecturer, à partir de sa représentation graphique, la nature arithmétique ou géométrique d’une suite.
- Démontrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique.
- Déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique ou géométrique à l’aide de la raison.
- Situations algorithmiques
- Calculer un terme de rang donné d’une suite, une somme finie de termes.
- Déterminer une liste de termes d’une suite et les représenter.
- Déterminer le rang à partir duquel les termes d’une suite sont supérieurs ou inférieurs à un seuil donné, ou aux termes de même rang d’une autre suite.
- Les fonctions comme modèles mathématiques d’évolutions continues
Différents modes de représentation d’une fonction : expression littérale, représentation graphique ;
Notations $y=ƒ(x)$ et $x\mapsto ƒ(x)$;
Taux de variation, entre deux valeurs de la variable $x$, d’une grandeur $y$ vérifiant $y=ƒ(x)$ ;
Fonctions monotones sur un intervalle,lien avec le signe du taux de variation. - Fonctions polynômes de degré 2
Représentations graphiques des fonctions : $x↦ax^2$, $x\mapsto ax^2+b$, $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$ ;
Axes de symétrie
Racines et signe d’un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée (le calcul des racines à l’aide du discriminant ne figure pas au programme). - Fonctions polynômes de degré 3
Représentations graphiques des fonctions : $x\mapsto ax^3$, $x\mapsto ax^3+b$;
Racines et signe d’un polynôme de degré 3 de la forme $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ ;
Équation $x^3=c$ ; racine cubique d’un nombre réel positif ; notations $c^{\frac{1}{3}}$ et $\sqrt{3}{c}$. - Exercices sur les fonctions
Modéliser la dépendance entre deux grandeurs à l’aide d’une fonction.
Résoudre graphiquement une équation du type $ƒ(x)=k$ ou une inéquation de la forme $ƒ(x)<k$ ou $ƒ(x)>k$.
Interpréter le taux de variation comme pente de la sécante à la courbe passant par deux points distincts.
Associer une parabole à une expression algébrique de degré 2, pour les fonctions de la forme : $x↦ax^2$, $x\mapsto ax^2+b$, $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$.
Déterminer des éléments caractéristiques de la fonction $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$. (signe, extremum, allure de la courbe, axe de symétrie…).
Vérifier qu’une valeur conjecturée est racine d’un polynôme de degré 2 ou 3.
Savoir factoriser, dans des cas simples,une expression du second degré connaissant au moins une de ses racines.
Utiliser la forme factorisée (en produit de facteurs du premier degré) d’un polynôme de degré 2 ou 3 pour trouver ses racines et étudier son signe.
Résoudre des équations de la forme $x^2=c$ et $x^3=c$, avec $c$ positif. - Situations algorithmiques
- Point de vue local : approche graphique de la notion de nombre dérivé
Sécantes à une courbe passant par un point donné;taux de variation en un point Tangente à une courbe en un point,définie comme position limite des sécantes passant par ce point
Nombre dérivé en un point défini comme limite du taux de variation en ce point Équation réduite de la tangente en un point - Point de vue global
Fonction dérivée
Fonctions dérivées de : $x\mapsto x^2$, $x\mapsto x^3$
Dérivée d’une somme, dérivée de $kƒ$ ($k\in \R$), dérivée d’un polynôme de degré inférieur ou égal à 3
Sens de variation d’une fonction, lien avec le signe de la dérivée
Tableau de variations, extremums. - Exercices sur les dérivées
Interpréter géométriquement le nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente.
Construire la tangente à une courbe en un point.
Déterminer l’équation réduite de la tangente à une courbe en un point. - Calculer la dérivée d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à trois.
- Déterminer le sens de variation et les extremums d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
4. Statistiques et probabilités
- Lire un graphique, un histogramme, un diagramme en barres, un diagramme circulaire, un diagramme semi-circulaire, un diagramme en boîte ou toute autre représentation (repérer l’origine du repère, les unités de graduations ou les échelles…) ;
- Croisement de deux variables catégorielles
- Tableau croisé d’effectifs.
- Fréquence conditionnelle, fréquence marginale.
Exercices - Calculer des fréquences conditionnelles et des fréquences marginales.
- Compléter un tableau croisé par des raisonnements sur les effectifs ou en utilisant des fréquences conditionnelles.
Situations algorithmiques - À partir de deux listes représentant deux caractères d’individus, déterminer un sous-ensemble d’individus répondant à un critère (filtre, utilisation des ET, OU, NON).
- Dresser le tableau croisé de deux variables catégorielles à partir du fichier des individus et calculer des fréquences conditionnelles ou marginales.
- Probabilités conditionnelles
- Probabilité conditionnelle ; notation $P_A(B)$.
- Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous forme de tableau croisé d’effectifs.
- On explicite l’expérience aléatoire sous-jacente qui consiste à prélever au hasard un individu dans la population étudiée.
- Il s’agit, en classe de première, de transposer aux probabilités conditionnelles le travail sur les fréquences conditionnelles, en calculant la probabilité de B sachant A sous la forme : $$P_A(B)=\dfrac{Card(B\cap A)}{Card(A)}$$
- La représentation à l’aide d’un arbre de probabilités et la formule des probabilités totales relèvent du programme de la classe terminale.
- Probabilité associée à une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes.
- Probabilité associée à la répétition d’épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli.
Exercices - Représenter par un arbre de probabilités une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes et déterminer les probabilités des événements associés aux différents chemins.
- Représenter par un arbre de probabilités la répétition de $n$ épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli avec $\leq 4$ afin de calculer des probabilités.
- Variable aléatoire discrète : loi de probabilité, espérance.
- Loi de Bernoulli (0,1) de paramètre $p$, espérance.
- Exercices sur les variables aléatoires
- Interpréter en situation les écritures $\{ X=a \}$, $\{ X\leq a\}$ où $X$ désigne une variable aléatoire et calculer les probabilités correspondantes $P(X=a)$ et $P(X\leq a)$.
- Calculer et interpréter en contexte l’espérance d’une variable aléatoire discrète.
- Reconnaître une situation aléatoire modélisée par une loi de Bernoulli.
- Simuler $N$ échantillons de taille $n$ d’une loi de Bernoulli et représenter les fréquences observées des 1 par un histogramme ou un nuage de points.
- Interpréter sur des exemples la distance à $p$ de la fréquence observée des 1 dans un échantillon de taille $n$ d’une loi de Bernoulli de paramètre $p$.
- Simuler des échantillons de taille $n$ d’une loi de Bernoulli à partir d’un générateur de nombres aléatoires entre 0 et 1.
- Représenter par un histogramme ou par un nuage de points les fréquences observées des 1 dans $N$ échantillons de taille $n$ d’une loi de Bernoulli.
- Compter le nombre de valeurs situées dans un intervalle de la forme $[p-ks;p+ks]$ pour $k\in \{ 1;2;3\}$.
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