Nouveau programme de mathématiques – Rentrée 2019.
Classe de première technologique, enseignement commun (séries ST2S, STL, STD2A, STI2D, STMG, STHR).

Progression 1ère STMG/ST2S (Académie de Toulouse)


Cours et exercices de mathématiques 1ère STMG – Rentrée 2019

  1. Algorithmique et programmation
    • 1.1. Variables
    • 1.2. Fonctions
    • 1.3. Listes
    • 1.4.Sélection de données
  2. Maîtriser les automatismes
  3. Suites numériques
    • 3.1. Les suites comme modèles mathématiques d’évolutions discrètes
    • 3.2. Différents modes de génération d’une suite numérique ;
    • 3.3 Sens de variation d’une suite ;
    • 3.4. Représentation graphique : nuage de points $(n,u(n))$.
    • 3.5. Les suites arithmétiques
    • 3.6. Les suites géométriques
    • 3.7. Exercices résolus sur les suites arithmétiques et géométriques
    • 3.8. Situations algorithmiques
  4. Fonctions de la variable réelle
    • 4.1. Les fonctions comme modèles mathématiques d’évolutions continues
    • 4.2. Fonctions polynômes de degré 2
    • 4.3. Fonctions polynômes de degré 3
    • 4.4. Exercices sur les fonctions
    • 4.5. Situations algorithmiques
  5. Dérivation
    • 5.1. Point de vue local : Approche graphique de la notion de nombre dérivé. Droite tangente à une courbe.
    • 5.2. Point de vue global : Fonction dérivée et sens de variation d’une fonction
    • 5.3. Exercices sur les dérivées
    • 5.4. Situations algorithmiques
  6. Statistiques et probabilités
    • 6.1. Croisement de deux variables catégorielles. Tableau croisé de données
    • 6.2. Probabilités conditionnelles
    • 6.3. Modèle associé à une expérience aléatoire à plusieurs épreuves indépendantes
    • 6.4. Variables aléatoires. Épreuve de Bernoulli. Loi binomiale
    • 6.5. Situations algorithmiques

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1. Algorithmique et programmation

1.1. Variables :
  1. Utiliser un générateur de nombres aléatoires entre 0 et 1 pour simuler une loi de Bernoulli de paramètre $p$ ;
  2. Utiliser la notion de compteur ;
  3. Utiliser le principe d’accumulateur pour calculer une somme, un produit.
1.2. Fonctions :
  1. Identifier les entrées et les sorties d’une fonction ;
  2. Structurer un programme en ayant recours aux fonctions.
1.3 Listes
  1. Générer une liste (en extension, par ajouts successifs, en compréhension) ;
  2. Manipuler des éléments d’une liste(ajouter, supprimer…) et leurs indices ;
  3. Itérer sur les éléments d’une liste.
1.4. Sélection de données :
  1. Traiter un fichier contenant des données réelles pour en extraire de l’information et l’analyser ;
  2. Réaliser un tableau croisé de données sur deux critères à partir de données brutes.

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2. Maîtriser les automatismes

2.1. Proportions et pourcentages :

  1. Population de référence
  2. Calculer, appliquer une proportion
  3. Exprimer une fréquence de différentes manières (décimale, fractionnaire, pourcentage) ;
  4. Calculer un effectif connaissant une proportion
  5. Comparer deux effectifs et comparer deux proportions
  6. Réunion, intersection et proportions
  7. Présentation de proportions dans un tableau croisé
  8. Sous-populations disjointes
  9. Sous-populations contraires
  10. Proportions échelonnées. Calcul d’une proportion de proportions.

2.2. Évolutions et variations :

  1. Passer d’une formulation additive («augmenter de 5%», respectivement « diminuer de 5% ») à une formulation multiplicative (« multiplier par 1,05», respectivement « multiplier par 0,95 ») ;
  2. Appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou initiale ;
  3. Calculer un taux d’évolution, l’exprimer en pourcentage ;
  4. Interpréter un indice de base 100 ;
  5. Calculer un indice. Calculer le taux d’évolution entre deux valeurs ;
  6. Calculer le taux d’évolution équivalent à deux évolutions successives
  7. Calculer le taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives
  8. Exercices sur les évolutions successives
  9. Calculer un taux d’évolution réciproque
  10. Exercices résolus sur les évolutions réciproques

2.3. Calcul numérique et algébrique :

  1. Comparaisons des fractions simples. Quotient approché ;
  2. Effectuer des opérations sur les fractions ;
  3. Effectuer des opérations sur les puissances ;
  4. Passer d’une écriture d’un nombre à une autre (décimale, fractionnaire, scientifique ) ;
  5. Estimer un ordre de grandeur ;
  6. Effectuer des conversions d’unités ;
  7. Résoudre une équation ou une inéquation du premier degré, une équation du type : $x^2=a$ ;
  8. Déterminer le signe d’une expression du premier degré, d’une expression factorisée du second degré ;
  9. Isoler une variable dans une égalité ou une inégalité qui en comporte plusieurs sur des exemples internes aux mathématiques ou issus des autres disciplines ;
  10. Effectuer une application numérique d’une formule (notamment pour les formules utilisées dans les autres disciplines)
  11. Développer, factoriser, réduire une expression algébrique simple.

2.4. Fonctions et représentations

  1. Déterminer graphiquement des images et des antécédents ;
  2. Résoudre graphiquement une équation, une inéquation du type : $f(x)=k$, $f(x)<k$… ;
  3. Déterminer graphiquement le signe d’une fonction ou son tableau de variations ;
  4. Exploiter une équation de courbe (appartenance d’un point, calcul de coordonnées) ;
  5. Tracer une droite donnée par son équation réduite ou par un point et son coefficient directeur ;
  6. Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite ;
  7. Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points.

2.5. Représentations graphiques de données chiffrées

  1. Lire un graphique, un histogramme, un diagramme en barres ou circulaire, un diagramme en boîte ou toute autre représentation (repérer l’origine du repère, les unités de graduations ou les échelles…) ;
  2. Passer du graphique aux données et vice-versa
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Analyse

3. Suites numériques

3.1. Les suites comme modèles mathématiques d’évolutions discrètes :
  1. Différents modes de génération d’une suite numérique ;
  2. Sens de variation d’une suite ;
  3. Représentation graphique : nuage de points $(n,u(n))$.
  4. Les suites arithmétiques comme modèles discrets d’évolutions absolues constantes (croissance linéaire) :
    • Relation de récurrence ;
    • Sens de variation ;
    • Représentation graphique.
  5. Les suites géométriques (à termes strictement positifs) comme modèles discrets d’évolutions relatives constantes (croissance exponentielle) :
    • Relation de récurrence ;
    • Sens de variation ;
    • Représentation graphique.
3.2. Exercices
  1. Modéliser une situation à l’aide d’une suite.
  2. Reconnaître si une situation relève d’un modèle discret de croissance linéaire ou exponentielle.
  3. Calculer un terme de rang donné d’une suite définie par une relation fonctionnelle ou une relation de récurrence.
  4. Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d’une suite.
  5. Conjecturer, à partir de sa représentation graphique, la nature arithmétique ou géométrique d’une suite.
  6. Démontrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique.
  7. Déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique ou géométrique à l’aide de la raison.
3.3. Situations algorithmiques
  1. Calculer un terme de rang donné d’une suite, une somme finie de termes.
  2. Déterminer une liste de termes d’une suite et les représenter.
  3. Déterminer le rang à partir duquel les termes d’une suite sont supérieurs ou inférieurs à un seuil donné, ou aux termes de même rang d’une autre suite.

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4. Fonctions de la variable réelle

4.1. Les fonctions comme modèles mathématiques d’évolutions continues :
  1. Différents modes de représentation d’une fonction : expression littérale, représentation graphique ;
  2. Notations $y=ƒ(x)$ et $x\mapsto ƒ(x)$;
  3. Taux de variation, entre deux valeurs de la variable $x$, d’une grandeur $y$ vérifiant $y=ƒ(x)$ ;
  4. Fonctions monotones sur un intervalle,lien avec le signe du taux de variation.
4.2. Fonctions polynômes de degré 2 :
  1. Représentations graphiques des fonctions : $x↦ax^2$, $x\mapsto ax^2+b$, $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$ ;
  2. Axes de symétrie
  3. Racines et signe d’un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée (le calcul des racines à l’aide du discriminant ne figure pas au programme).
4.3. Fonctions polynômes de degré 3 :
  1. Représentations graphiques des fonctions : $x\mapsto ax^3$, $x\mapsto ax^3+b$;
  2. Racines et signe d’un polynôme de degré 3 de la forme $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ ;
  3. Équation $x^3=c$ ; racine cubique d’un nombre réel positif ; notations $c^{\frac{1}{3}}$ et $\sqrt{3}{c}$.
4.4. Exercices sur les fonctions
  1. Modéliser la dépendance entre deux grandeurs à l’aide d’une fonction.
  2. Résoudre graphiquement une équation du type $ƒ(x)=k$ ou une inéquation de la forme $ƒ(x)<k$ ou $ƒ(x)>k$.
  3. Interpréter le taux de variation comme pente de la sécante à la courbe passant par deux points distincts.
  4. Associer une parabole à une expression algébrique de degré 2, pour les fonctions de la forme : $x↦ax^2$, $x\mapsto ax^2+b$, $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$.
  5. Déterminer des éléments caractéristiques de la fonction $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$. (signe, extremum, allure de la courbe, axe de symétrie…).
  6. Vérifier qu’une valeur conjecturée est racine d’un polynôme de degré 2 ou 3.
  7. Savoir factoriser, dans des cas simples,une expression du second degré connaissant au moins une de ses racines.
  8. Utiliser la forme factorisée (en produit de facteurs du premier degré) d’un polynôme de degré 2 ou 3 pour trouver ses racines et étudier son signe.
  9. Résoudre des équations de la forme $x^2=c$ et $x^3=c$, avec $c$ positif.
4.5. Situations algorithmiques

Calculer une valeur approchée d’une solution d’une équation par balayage.


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5. Dérivation

5.1. Point de vue local : approche graphique de la notion de nombre dérivé :
  1. Sécantes à une courbe passant par un point donné;taux de variation en un point ;
  2. Tangente à une courbe en un point,définie comme position limite des sécantes passant par ce point ;
  3. Nombre dérivé en un point défini comme limite du taux de variation en ce point ;
  4. Équation réduite de la tangente en un point.
5.2. Point de vue global :
  1. Fonction dérivée ;
  2. Fonctions dérivées de : $x\mapsto x^2$, $x\mapsto x^3$
  3. Dérivée d’une somme, dérivée de $kƒ$ ($k\in \R$), dérivée d’un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 ;
  4. Sens de variation d’une fonction, lien avec le signe de la dérivée ;
  5. Tableau de variations, extremums.
5.3. Exercices
  1. Interpréter géométriquement le nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente.
  2. Construire la tangente à une courbe en un point.
  3. Déterminer l’équation réduite de la tangente à une courbe en un point.
  4. Calculer la dérivée d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à trois.
  5. Déterminer le sens de variation et les extremums d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
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6. Statistiques et probabilités

6.1. Croisement de deux variables catégorielles

  1. Tableau croisé d’effectifs.
  2. Fréquence conditionnelle, fréquence marginale.
Exercices
  1. Calculer des fréquences conditionnelles et des fréquences marginales.
  2. Compléter un tableau croisé par des raisonnements sur les effectifs ou en utilisant des fréquences conditionnelles.
Situations algorithmiques
  1. À partir de deux listes représentant deux caractères d’individus, déterminer un sous-ensemble d’individus répondant à un critère (filtre, utilisation des ET, OU, NON).
  2. Dresser le tableau croisé de deux variables catégorielles à partir du fichier des individus et calculer des fréquences conditionnelles ou marginales.

6.2. Probabilités conditionnelles

  1. Probabilité conditionnelle ; notation $P_A(B)$.
  2. Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous forme de tableau croisé d’effectifs.
  3. On explicite l’expérience aléatoire sous-jacente qui consiste à prélever au hasard un individu dans la population étudiée.
  4. Il s’agit, en classe de première, de transposer aux probabilités conditionnelles le travail sur les fréquences conditionnelles, en calculant la probabilité de B sachant A sous la forme : $$P_A(B)=\dfrac{Card(B\cap A)}{Card(A)}$$
  5. La représentation à l’aide d’un arbre de probabilités et la formule des probabilités totales relèvent du programme de la classe terminale.

6.3. Modèle associé à une expérience aléatoire à plusieurs épreuves indépendantes

  1. Probabilité associée à une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes.
  2. Probabilité associée à la répétition d’épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli.
Exercices
  1. Représenter par un arbre de probabilités une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes et déterminer les probabilités des événements associés aux différents chemins.
  2. Représenter par un arbre de probabilités la répétition de $n$ épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli avec $\leq 4$ afin de calculer des probabilités.

6.4. Variables aléatoires

  1. Variable aléatoire discrète : loi de probabilité, espérance.
  2. Loi de Bernoulli (0,1) de paramètre $p$, espérance.

Exercices

  1. Interpréter en situation les écritures $\{ X=a \}$, $\{ X\leq a\}$ où $X$ désigne une variable aléatoire et calculer les probabilités correspondantes $P(X=a)$ et $P(X\leq a)$.
  2. Calculer et interpréter en contexte l’espérance d’une variable aléatoire discrète.
  3. Reconnaître une situation aléatoire modélisée par une loi de Bernoulli.
  4. Simuler $N$ échantillons de taille $n$ d’une loi de Bernoulli et représenter les fréquences observées des 1 par un histogramme ou un nuage de points.
  5. Interpréter sur des exemples la distance à $p$ de la fréquence observée des 1 dans un échantillon de taille $n$ d’une loi de Bernoulli de paramètre $p$.

6.5. Situations algorithmiques

  1. Simuler des échantillons de taille $n$ d’une loi de Bernoulli à partir d’un générateur de nombres aléatoires entre 0 et 1.
  2. Représenter par un histogramme ou par un nuage de points les fréquences observées des 1 dans $N$ échantillons de taille $n$ d’une loi de Bernoulli.
  3. Compter le nombre de valeurs situées dans un intervalle de la forme $[p-ks;p+ks]$ pour $k\in \{ 1;2;3\}$.
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