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Vous avez étudié différents types de nombres au Collège. Nous allons introduire des ensembles de nombres suivant leurs types. L’ensemble des nombres entiers naturels est noté $\N$, des nombres entiers relatifs est noté $\Z$, nombres décimaux relatifs est noté $\D$, des nombres rationnels (quotient de deux entiers) est noté $\Q$ et l’ensemble de tous les nombres réels comme abscisses des points d’une droite graduée est noté $\R$. Cette partie a pour objectifs de :
– approfondir la connaissance des divers types et ensembles de nombres ;
– développer la pratique du calcul numérique ou algébrique ;
– travailler sur les inégalités pour résoudre des inéquations ;
– résoudre des problèmes modélisés par des équations ou inéquations se ramenant au
premier degré.

L’étude des nombres réels est fondamentale et constitue un grand chapitre au programme de Mathématiques en Seconde générale.

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Manipuler les nombres réels. Ensembles de nombres

  1. Ensemble $\N$ des nombres entiers naturels et ensemble $\Z$ des nombres des entiers relatifs.
  2. Ensemble $\D$ des nombres décimaux relatifs.
  3. Ensemble $\Q$ des nombres rationnels. Nombres irrationnels.
  4. Le nombre rationnel $\dfrac{1}{3}$ n’est pas décimal.
  5. Exemples fournis par la géométrie, par exemple $2$ et $\pi$.
  6. Ensemble $\R$ des nombres réels, droite numérique.
  7. Le nombre réel $\sqrt{2}$ est irrationnel.
  1. Comparaison de deux nombres réels.
  2. Intervalles de $\R$. Notations $+\infty$ et $+\infty$.
  3. Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$ près.
  4. Représentation de l’intervalle $[a – r , a+r ]$ puis par la condition $|x-a|\leqslant r$.
  1. Valeur absolue d’un nombre réel. Notation $|a|$.
  2. Distance entre deux nombres réels. Résolution d’équation du type $\abs{x-a}=r$.
  3. Représentation de l’intervalle $[a – r , a+r ]$ puis par la condition $|x-a|\leqslant r$.
  4. Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$ près.
  1. Découverte de la racine carrée d’un nombre réel positif
  2. Définition et propriétés de la racine carrée
  3. Comment simplifier ou réduire une racine carrée ?
  4. Comment calculer une expression avec des racines carrées ?
  5. Comment réduire une somme ou un produit avec les racines carrées ?
  6. Résolution d’équations de la forme $x^2=a$
  7. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  8. Rendre rationnel un dénominateur.
    Applications en géométrie
  9. Calcul de la diagonale du carrée en fonction de la longueur de son côté
  10. Calcul de la hauteur d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur de son côté
  1. Calcul littéral. Expressions algébriques ;
  2. Développer, réduire et factoriser une expression algébrique simple.
  3. Les identités remarquables.
  4. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  5. Rendre rationnel un dénominateur
  1. Résolution d’équations du 1er degré
  2. Résolution d’équations-produits
  3. Théorème du produit nul
  4. Résolution d’équations de la forme $x^2= a$
  5. Résolution d’équations-quotients. Valeurs interdites
  6. Mise en équation d’un problème.
  1. Propriétés des inégalités dans $\R$
  2. Résoudre une inéquation du premier degré
  3. Étude du signe de l’expression du premier degré $ax+b$
  4. Déterminer le signe d’une expression factorisée du second degré
  5. Isoler une variable dans une égalité ou une inégalité
  6. Effectuer une application numérique d’une formule