Ensemble $\Q$ des nombres rationnels. Nombres irrationnels

1. Écritures différentes d’un même nombre.
Méfiez-vous des apparences !

On dit qu’un nombre est rationnel s’il peut s’écrire sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers relatifs. Ainsi, tous les nombres entiers sont rationnels ; tous les nombres décimaux sont rationnels ; tous les nombres qui s’écrivent comme quotients de deux décimaux sont rationnels. Il faut simplifier ou réduire l’écriture d’un nombre pour déterminer sa nature ! Dire « ce qu’est un nombre » et « ce qu’il n’est pas ».

1.2. Nombres rationnels. Nombres irrationnels

Définition 1.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction $\dfrac{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs, avec $b\neq0$.
L’ensemble des nombres rationnels se note $\Q$ : (« q » pour quotient de deux entiers).

Définition 2.
Tous les nombres qui ne s’écrivent pas sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers relatifs ne sont pas rationnels. On dit qu’ils sont des nombres irrationnels.

Exemples. Dire si les nombres suivants sont rationnels ou irrationnels en justifiant votre réponse.
$\dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{0,252}{0,007}$ ; $-\sqrt{2,56}$ ; $\sqrt{2}$ ; $\pi$ ; $2\pi$

  • $\dfrac{2}{3}\in \Q$, immédiat.
  • $\dfrac{0,252}{0,007}=\dfrac{252}{7}$, donc : $\dfrac{0,252}{0,007}\in \Q$.
  • $-\sqrt{2,56}=-1,6=\dfrac{-16}{10}$, donc $-\sqrt{2,56}\in \Q$.
  • Mais, $\sqrt{2}\not\in \Q$ (voir exercices). De même que $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{7} \not\in \Q$,…
  • De même $\pi, 2\pi,\ldots\not\in\Q$.
    Conclusion. $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{0,252}{0,007}$ et $\sqrt{2,56}$ sont des nombres rationnels.
    Mais $\pi, 2\pi,\ldots$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$,… sont des nombres irrationnels.

1.2. Des nombres de différentes natures

Propriété 1.
Tous les entiers naturels, les entiers relatifs, les nombres décimaux relatifs sont des nombres rationnels. On écrit : $$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q$$

Exemples. Déterminer le plus petit ensemble auquel appartiennent les nombres suivants.
$5$ ; $-5$ ; $2,8$ ; $\dfrac{8}{5}$ ; $\dfrac{4}{7}$.

Ces ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres, on dit qu’ils sont « emboîtés ».
On cherche le plus petit ensemble auquel appartient le nombre donné.
$\bullet$ $5$ est un nombre entier naturel, mais aussi un nombre relatif positif : $5 = + 5$. Donc,
$$5\in \N$$
$\bullet$ $-5$ est un nombre entier relatif, mais ce n’est pas un entier naturel. Donc : $$-5\in \Z \text{ et }-5\not\in \N$$
$\bullet$ $2,8$ est un nombre décimal positif, mais ce n’est pas un nombre entier relatif. Donc : $$2,8\in \D \text{ et }2,8\not\in \Z$$
$\bullet$ $\dfrac{8}{5}$ est une fraction (quotient de deux entiers), donc $\dfrac{8}{5}\in\Q$, mais c’est aussi un nombre décimal, puisque $\dfrac{8}{5}=1,6$ (la division s’arrête). Donc : $$\dfrac{8}{5}\in \D \text{ et }\dfrac{8}{5}\not\in \Z$$
$\bullet$ Mais $\dfrac{4}{7}$ est aussi une fraction, donc $\dfrac{4}{7}\in\Q$, mais ce n’est pas un nombre décimal, donc $\dfrac{4}{7}\not\in\D$ puisque $\dfrac{4}{7}=0,571428\;571428\;571428\;57\ldots$ quotient exact de la division de $4$ par $7$ (et ici la division ne s’arrête pas). La division crée une boucle, donc une répétition dans le quotient :

Remarque

Dans une division, on sait que le reste doit être plus petit que le diviseur. Donc, dans toutes les divisions d’un entier par un autre entier non nul ; on obtient soit un nombre décimal lorsque la division s’arrête (un reste =0), soit un nombre ayant une écriture décimale illimitée périodique, on dit aussi un développement décimal périodique (les restes sont $\not=0$).

Propriété 2.
Lorsqu’on effectue la division d’un nombre entier par un nombre entier différent de zéro, on obtient soit un nombre décimal lorsque la division s’arrête (un reste =0), soit un nombre ayant un développement décimal périodique (restes sont $\not=0$) à partir d’un certain rang.

Exemple. déterminer l’écriture décimale du nombre rationnel $\dfrac{4}{7}$ avec 20 chiffres après la virgule.

$\dfrac{4}{7}$ est un nombre rationnel. En effectuant la division, on obtient :
$$\dfrac{4}{7}=0,571428\;571428\;571428\;5714\ldots$$
$\dfrac{4}{7}$ admet un développement décimal périodique, de période : 571428.
Pour symboliser la répétition de la période, on écrit :
$$\dfrac{4}{7}=0,\overline{571428}$$

Propriété 2 bis.
1°) Tout nombre rationnel admet un développement décimal périodique à partir d’un certain rang.
2°) Réciproquement, Tout nombre ayant un développement décimal périodique à partir d’un certain rang est un nombre rationnel.

Exemple. Écrire le nombre $x = 4,2373737\ldots$ qu’on note $x=4,2\overline{37}$, sous la forme d’une fraction de deux entiers.

On remarque que le nombre $x$ admet un développement décimal périodique à partir de la deuxième décimale. Sa période est formée de deux chiffres $3$ et $7$. On multiplie alors ce nombre par $10$ pour ne laisser que des périodes après la virgule, puis par $10^3$ pour « sortir une période complète » et retrouver la même partie décimale :

$$\begin{array}{rcll}
10 x &=& 42,373737\ldots & (1)\\
1000 x &=& 4237,373737\ldots &(2) \\
\end{array}$$

On soustrait membre à membre $(2)-(1)$ et on obtient :
$$990x = 4195$$
Ce qui donne : $x=\dfrac{4195}{990}$

Conclusion : Le nombre $x=4,2\overline{37}$ est bien un nombre rationnel puisqu’il s’écrit sous la forme d’une fraction de deux entiers : $x=\dfrac{4195}{990}$.

Vérification. Si on effectue la division à la calculatrice $4195 \div 990$, on obtient bien $4,2373737\ldots$