Comment réduire une somme ou un produit avec les racines carrées ?


Règles de calcul avec les racines carrées

Propriété 9.
Les règles de calcul avec les racines carrées sont les mêmes que les règles appliquées aux nombres décimaux, aux fractions et au calcul littéral, en respectant les nouvelles propriétés des racines carrées.

1. Calculer une somme avec une même racine carrée

Exercice résolu n°1.
Calculer $A=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}$, et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et le nombre $b$ sous le radical est le plus petit possible !

On met $\sqrt{2}$ en facteur. Puis, on additionne entre parenthèses. Finalement, on encadre son résultat. $$\begin{array}{rl}
&A=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}\\
&A=(5+3)\sqrt{2}\\
\text{D’où :}&\color{brown}{\boxed{\; A=8\sqrt{2}}\;} \\ \end{array}$$

2. Calculer une somme avec plusieurs racines carrées réduites


Exercice résolu n°2.
Calculer $B=5\sqrt{2}-7\sqrt{3}-8+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+12$, et donner le résultat sous la forme la plus réduite possible !

On regroupe les termes en $\sqrt{2}$, puis les termes en $\sqrt{3}$ et les termes « sans racine carrée ». Puis, on additionne les termes de même nature. Finalement, on encadre son résultat.

$$\begin{array}{rl}
&B=5\sqrt{2}-7\sqrt{3}-8+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+12\\
&B=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-7\sqrt{3}+2\sqrt{3}-8+12 \\
&B=(5+3)\sqrt{2}+(-7+2)\sqrt{3}+4 \\
\text{D’où :}&\color{brown}{\boxed{\; A=8\sqrt{2}-5\sqrt{3}+4}\;} \\ \end{array}$$

3. Calculer une somme avec plusieurs racines carrées

Exercice résolu n°3.
Calculer $C= 5\sqrt{32}+2\sqrt{18}-\sqrt{50}$, et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et le nombre $b$ sous le radical est le plus petit possible !

On commence d’abord par réduire chacune des racines carrées. On factorise sous le radical par des carrés entiers. On transforme tous les termes avec la même racine carrée, ici $\sqrt{2}$. On met $\sqrt{2}$ en facteur. Puis, on additionne entre parenthèses. Finalement, on encadre son résultat.
Attention, la multiplication est prioritaire ! $$\begin{array}{rl}
&C= 5\sqrt{32}+2\sqrt{18}-\sqrt{50}\\
&C= 5\sqrt{16\times 2}+2\sqrt{9\times2}-\sqrt{25\times2}\\
&C= 5 \times \sqrt{16}\times\sqrt{2} +2\times \sqrt{9}\times\sqrt{2}-\sqrt{25}\sqrt{2}\\
&C= 5 \times 4\sqrt{2} +2\times 3\sqrt{2}-5\sqrt{2}\\
&C= (20+6-5)\sqrt{2}\\
\text{D’où :}&\color{brown}{\boxed{\; C=21\sqrt{2}}\;} \\ \end{array}$$


4. Calculer un produit avec des racines carrées

Exercice résolu n°4.
Calculer $D=5\sqrt{2}\times3\sqrt{3}$, et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et le nombre $b$ sous le radical est le plus petit possible !

On multiplie les nombres entre eux et les racines carrées entre elles. On utilise la propriété $(P_3)$. Finalement, on encadre son résultat. $$\begin{array}{rl}
&D=5\sqrt{2}\times3\sqrt{3}\\
&D=(5\times3)\times(\sqrt{2}\times\sqrt{3})\\
&D=15\times\sqrt{2\times3}\\
\text{D’où :}&\color{brown}{\boxed{\;D=15\sqrt{6}}\;}\\ \end{array}$$


Exercice résolu n°5.
Calculer $E= \sqrt{21}\times\sqrt{14}\times\sqrt{18}$, et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et le nombre $b$ sous le radical est le plus petit possible !

On décompose tous les nombres sous les radicaux avec des carrés entiers si possible. Puis on regroupe les racines carrées deux à deux. On utilise la propriété $(P_3)$. Finalement, on encadre son résultat. $$\begin{array}{rl}
&E= \sqrt{21}\times\sqrt{14}\times\sqrt{18}\\
& E= \sqrt{7 \times 3}\times\sqrt{7 \times 2}\times\sqrt{9\times 2} \\
& E= \sqrt{7} \times \sqrt{3}\times\sqrt{7} \times \sqrt{2}\times\sqrt{9}\times \sqrt{2} \\
& E= (\sqrt{7} \times \sqrt{7})\times\sqrt{3} \times (\sqrt{2}\times\sqrt{2})\times 3 \\
&E=7 \times 2 \times 3 \times \sqrt{3}\\
\text{D’où :}&\color{brown}{\boxed{\;E=42\sqrt{3}}\;}\\ \end{array}$$

6. Développer et réduire une expression avec des racines carrées

Exercice résolu n°6.
Calculer $E=(3\sqrt{2}-4)(5\sqrt{2}+3)$, et donner le résultat sous la forme $a+b\sqrt{c}$, où $a$, $b$ et $c$ sont des entiers et le nombre $c$ sous le radical est le plus petit possible !

On développe naturellement en respectant les propriétés. On utilise la propriété de distributivité pour distribuer. On regroupe les termes de même nature. Les termes en $\sqrt{2}$ entre eux. Les termes entiers entre eux. Finalement, on encadre son résultat. $$\begin{array}{rl}
&C=(3\sqrt{2}-4)(5\sqrt{2}+3)\\
&C=3\sqrt{2}\times5\sqrt{2}+3\sqrt{2}\times3-4\times5\sqrt{2}-4\times3\\
&C=3\times5\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}+3\times3\sqrt{2}-4\times5\sqrt{2}-4\times3\\
&C=30-12+(9-20)\sqrt{2}\\
\text{D’où :}&\color{brown}{\boxed{\;C=18-11\sqrt{2}}\;}\\ \end{array}$$