Nombres irrationnels ; exemples fournis par la géométrie, par exemple $\sqrt{2}$ et $\pi$

Prérequis :

$\bullet$ Théorème de Pythagore
$\bullet$ Longueur du cercle de rayon $r$
$\bullet$ Négation d’une proposition logique
$\bullet$ Contraposée d’une implication logique.
$\bullet$ Équivalence d’une implication logique et sa contraposée.
$\bullet$ Raisonnement par l’absurde

1. Exemples de nombres irrationnels fournis par la géométrie, $\sqrt{2}$ et $\pi$

Voici deux exemples de nombres irrationnels fournis par la géométrie, $\sqrt{2}$ et $\pi$ :

$\sqrt{2}$ est la longueur de la diagonale d’un carré de côté $c=1$.

$ABCD$ étant un carré, l’application du théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$, rectangle en $B$, montre que $AC=\sqrt{2}$.

Des calculs en ligne obtenus avec le logiciel Mathematica${}^{\text{TM}}$ sur le site WolframAlpha donne (avec 64 décimales) :
$$1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379\ldots$$
Une vérification rapide dans cette série de chiffres, montre qu’il n’existe aucune période dans la partie décimale de $\sqrt{2}$. Donc, a priori, il semble que $\sqrt{2}$ serait bien un nombre irrationnel.
Nous donnons une démonstration ci-dessus accessible aux élèves de seconde.

D’une manière analogue, $\pi$ est égale à la longueur d’un cercle de diamètre $d=1$.

Des calculs en ligne obtenus avec le logiciel Mathematica${}^{\text{TM}}$ sur le site WolframAlpha donne (avec 64 décimales) :
$$3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923\ldots$$

Une vérification rapide dans cette série de chiffres, montre qu’il n’existe aucune période dans la partie décimale de $\pi$. Donc, a priori, il semble que $\pi$ serait bien un nombre irrationnel.
Si vous passez au Palais de la découverte à Paris, n’hésitez pas à visiter le Planétarium et dans la salle adjacente, vous trouverez $\pi$ avec quelques 707 décimales depuis 1950…

Au planétarium de Paris, $\pi$ avec quelques 707 décimales…

2. Démonstrations

2.1. Un premier résultat important

Propriété 1.
Soit $n$ un entier naturel. Alors :
$P_{1a}$) Si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair.
$P_{1b}$) Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair.

La démonstration des deux propositions est facile. Essayez de la trouver avant de voir le corrigé.

$P_{1a}$) Soit $n$ un entier naturel.
Supposons que $n$ soit pair.
Montrons alors que $n^2$ est pair.
Par hypothèse, $n$ est pair, donc il existe un entier $p$ tel que : $n=2p$.
Mais alors, $n^2=(2p)^2 = 4p^2$, qu’on peut écrire : $n^2 = 2\times(2p^2)$.
Posons $k=2p^2$, $k\in\N$. Donc $n^2=2\times k$.
Par conséquent, il existe un entier $k$ tel que $n^2=2k$.
Ce qui montre que $n^2$ est pair. $\quad\blacksquare$ CQFD.

$P_{1b}$) Soit $n$ un entier naturel.
Supposons que $n$ soit ipair.
Montrons alors que $n^2$ est impair.
Par hypothèse, $n$ est impair, donc il existe un entier $p$ tel que : $n=2p+1$.
Mais alors, $n^2=(2p+1)^2 = 4p^2+2\times 2p\times 1+ 1^2$, donc $n^2=4p^2+4p+1$, qu’on peut écrire : $n^2 = 2\times(2p^2+2p)+1$.
Posons $k=2p^2+2p$, $k\in\N$. Donc $n^2=2\times k+1$.
Par conséquent, il existe un entier $k$ tel que $n^2=2k+1$.
Ce qui montre que $n^2$ est impair. $\quad\blacksquare$ CQFD.

Cette deuxième propriété nous permettra de démontrer que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.

Propriété 2.
Soit $n$ un entier naturel. Alors :
$P_{2a}$) Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
$P_{2b}$) Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.

La démonstration utilise les résultats de la propriété 1. Il faut utiliser la méthode de raisonnement par contraposition !

Nous allons faire un raisonnement par contraposition :
La contraposée d’une implication « $P$ implique $Q$ » est « non$Q$ implique non$P$ ». Et on sait depuis le collège que :

Propriété : Une implication logique et sa contraposée sont toujours équivalente.

Or, si $n$ est un entier donné, la négation de la proposition : « $n$ est un pair » est « $n$ est un impair ». Par conséquent :

$\begin{array}{rcl}
P_{2a} &\Leftrightarrow& \text{Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair}\\
&\Leftrightarrow& \text{Si $n$ non pair, alors $n^2$ non pair, par contraposée}\\
&\Leftrightarrow& \text{Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair}\\
P_{2a} &\Leftrightarrow& \text{$P_{1b}$ $\qquad\blacksquare$ CQFD.}\\
\end{array}$

2.2. $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel

Propriété 3.
$\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel. Autrement dit : $\sqrt{2}\in\R$ et $\sqrt{2}\not\in\Q$. On écrit : $$\sqrt{2}\in\R\setminus\Q$$

La démonstration utilise les résultats de la propriété 2. Il faut utiliser la méthode de raisonnement par l’absurde !

Nous allons faire un raisonnement par l’absurde :
Pour démontrer qu’une proposition $P$ est vraie, on prend comme hypothèse que « la négation de la proposition $P$ est vraie ». On devrait aboutir à une contradiction du genre « une propriété et son contraire qui sont vraies ». Ce qui est absurde ou impossible.
Ce raisonnement montre que l’hypothèse choisie au départ est fausse et permet de conclure que « la proposition $P$ est vraie ».

Supposons que $\sqrt{2}$ n’est pas irrationnel. Donc $\sqrt{2}$ serait rationnel. Donc $\sqrt{2}\in\Q$. Donc, $\sqrt{2}$ s’écrit sous la forme d’une fraction irréductible. Donc, il existe un unique couple d’entiers $p$ et $q$ premiers entre eux, c’est-à-dire n’ayant aucun diviseur commun positif autre que $1$, tels que :
$$\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$$
$\dfrac{p}{q}$ une fraction irréductible. Mais alors, en élevant au carré les deux membres de cette égalité, on obtient :
$$2=\dfrac{p^2}{q^2}\qquad(1)$$
Ce qui donne : $p^2=2q^2\qquad(2)$

On en déduit que $p^2$ est pair et, d’après la propriété $P_{2a}$ ci-dessus, on en déduit que $p^2$ est pair. Par suite, il existe un entier $k$ tel que $p=2k$ (*).

Mais alors, d’après $(2)$, on en déduit que $(2k)^2=2q^2$, ou encore $4k^2=2q^2$. Et par suite, on obtient : $$2k^2=q^2\qquad(3)$$
D’une manière analogue, on en déduit que $q$ est pair. Donc, il existe un entier $r$ tel que $q=2r$ (**).

En rapprochant les deux résultats (*) et (**), on constate que $p$ et $q$ sont tous deux divisibles par $2$ et montre que la fraction $\dfrac{p}{q}$ n’est pas irréductible. Absurde !
On aboutit donc à une contradiction.
Ce qui montre que l’hypothèse émise au début est fausse.
Par conséquent, $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel. $\quad\blacksquare$ CQFD.

On peut généraliser ce résultat à un théorème plus important :

Propriété 4.
Soit $N$ un entier naturel. Alors, si $N$ n’est pas un carré entier, alors $\sqrt{N}$ est un nombre irrationnel.

2.3. Exemples

$0=0^2$, $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$,$\ldots$ sont des carrés entiers. Donc :

$\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{10}$,$\ldots$ sont des nombres irrationnels. Ainsi que toutes les combinaisons finies non nulles à coefficients entiers relatifs, de ces nombres forment encore des nombres irrationnels. Par exemple : $2\sqrt{3}-5\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.

3. $\pi$ est un nombre irrationnel

La démonstration n’est pas du niveau de la classe de Seconde. Néanmoins, savoir que « $\pi$ est un nombre irrationnel » est exigée.

Le nombre $\pi$ est irrationnel, signifie que $\pi$ ne peut pas s’exprimer comme un quotient de deux nombres entiers. Ce qui montre que l’écriture décimale de $\pi$ n’est pas finie, ni périodique. Utiliser cette information pour résoudre un problème est exigé.

Exemples

Exercice résolu.

On considère le nombre $a=\dfrac{1980127}{630292}$.
1°) Donner l’écriture décimale de $a$ et de $\pi$ à l’aide de la calculatrice.
2°) A-t-on $a=\pi$ ? Justifier votre réponse.
3°) Comparer ces deux nombres. Déterminer le plus petit et le plus grand.
4°) En calculant la différence entre chaque nombre avec sa valeur affichée par la calculatrice, déterminer les quinze chiffres sûrs du développement décimal de chacun d’entre eux.
5°) En déduire une nouvelle méthode pour comparer ces deux nombres.

Corrigé (à suivre)