Le nombre rationnel $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal


Prérequis

Le raisonnement par l’absurde

Exercice résolu n°1.
Démontrer que $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

Rappelons qu’un nombre $x$ est dit décimal s’il admet une écriture décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Autrement dit : $x$ est un nombre décimal si, et seulement si, il existe un entier relatif $a$ et un entier naturel $n$ tels que : $\color{brown}{\boxed{\;\; x=\dfrac{a}{10^n}\;\;}}$

Corrigé.
1ère méthode
On effectue le division de $1$ par $3$ et on constate que le quotient $\dfrac{1}{3}=0,333\ldots$ admet une écriture décimale illimitée.
Conclusion 1. $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal. $\blacktriangle$

2ème méthode
On fait un raisonnement par l’absurde.
Supposons le contraire, donc que $\dfrac{1}{3}$ est un nombre décimal.
Donc, par définition, il existe un entier relatif $a$ et un entier naturel $n$ tels que : $$\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^n}$$
Mais alors, en écrivant l’égalité des produits en crois, on obtient : $$1\times 10^n=3\times a\quad(1)$$
Le membre de droite $3a$ est le produit d’un entier relatif par $3$. Donc, c’est un multiple de $3$. Et d’après l’égalité $(1)$, on en déduit que $10^n$ est aussi un multiple de $3$. Donc, la somme de ses chiffres serait égale à un multiple de $3$.
Or $10^n=1\underbrace{00\ldots0}_{n\text{ zéros}}$. Donc la somme de ses chiffres est égal à $1$ ; et $1$ n’est pas multiple de $3$.
Ce qui est absurde car la somme des chiffres d’un multiple de $3$ est encore un multiple de $3$.
Conclusion 2. $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal. $\blacktriangle$