Valeur absolue d’un nombre réel. Notation $|a|$

Prérequis :

$\bullet$ Ensemble des nombres réels
$\bullet$ Propriétés des inégalités dans $\R$

  1. Ensemble $\N$ des nombres entiers naturels et ensemble $\Z$ des nombres des entiers relatifs.
  2. Ensemble $\D$ des nombres décimaux relatifs.
  3. Ensemble $\Q$ des nombres rationnels. Nombres irrationnels.
  4. Exemples fournis par la géométrie, par exemple $2$ et $\pi$.
  5. Ensemble $\R$ des nombres réels, droite numérique.
  6. Comparaison de deux nombres réels.
  7. Intervalles de $\R$. Notations $+\infty$ et $+\infty$.
  8. Valeur absolue d’un nombre réel. Notation $|a|$.
  9. Distance entre deux nombres réels.
  10. Résolution d’équation du type $\abs{x-a}=r$.
  11. Représentation de l’intervalle $[a – r , a+r ]$ puis par la condition $|x-a|\leqslant r$.
  12. Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$ près.

1. Notion de valeur absolue

1.1. Définitions. Exemples.

Définition 1.
Soient $x$ un nombre réel. On appelle valeur absolue de $x$ et on note $\abs{x}$ la distance à zéro de $x$.
Autrement dit :
$$\abs{x}=\left\{\matrix{ x & \text{si } x\geqslant 0\\ -x & \text{si } x < 0\\} \right.$$

Exemples

$\bullet$ $\abs{5}=5$ ;
$\bullet$ $\abs{-3}=3$ ;
$\bullet$ $\abs{\pi-4}=4-\pi$.
$\qquad$ En effet : $\pi\simeq 3,1415\ldots$, donc $\pi<4$, donc $\pi-4<0$. D’où : $\abs{\pi-4}=-(\pi-4)=4-\pi.$
$\bullet$ $\abs{\sqrt{2}-2}=2-\sqrt{2}$.
$\qquad$ En effet : $\sqrt{2}\simeq 1,4142\ldots$, donc $\sqrt{2}-2<0$. D’où : $\abs{\sqrt{2}-2}=-(\sqrt{2}-2)=2-\sqrt{2}.$

1.2. Propriétés

Propriétés 1.
($P_{1}$) La valeur absolue d’un nombre réel est un nombre positif ou nul. Pour tout nombre réel $x$, on a : $$\abs{x}\geqslant 0$$

Propriétés 2.
($P_{2}$) Le seul nombre réel dont la valeur absolue est nulle est 0 lui-même. Pour tout nombre réel $x$, on a :$$\abs{x}=0\Leftrightarrow x=0$$

Propriétés 3a.
($P_{3a}$) La valeur absolue d’un produit est égale au produit des valeurs absolues. Pour tous nombres réels $x$ et $y$, on a : $$\abs{xy}=\abs{x}\times\abs{y}$$

En particulier :

Propriétés 3b.
($P_{3b}$) Deux nombres réels opposés ont la même valeur absolue. Pourtout nombre réel $x$, on a : $$\abs{-x}=\abs{x}$$

Propriétés 3c.
($P_{3c}$) Pour tout nombre réel $x$ et tout entier naturel $n$, on a : $$\abs{x^n}=\abs{x}^n$$

Propriétés 4.
($P_{4}$) La valeur absolue d’un quotient est égale au quotient des valeurs absolues. Pour tous nombres réels $x$ et $y\neq 0$, on a :
$$\abs{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\abs{x}}{\abs{y}}$$

EXEMPLES

$\bullet$ $\abs{-5}=\abs{5}=5$ ;
$\bullet$ $\abs{\dfrac{-2}{3}}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{\abs{2}}{\abs{3}}$ ;
$\bullet$ $\abs{(-2)^3}=\abs{-8}=8=2^3=\abs{-2}^3$.

ATTENTIN !

Propriétés 5.
($P_{5}$) La valeur absolue n’est pas compatible avec l’addition, ni la soustraction.
($P_{5a}$) Si $x$ et $y$ sont des nombres réels de signes contraires, alors : $$\abs{x+y}\not=\abs{x}+\abs{y}$$
($P_{5b}$) Si $x$ et $y$ sont des nombres réels de même signe, alors : $$\abs{x-y}\not=\abs{x}-\abs{y}$$

EXEMPLES

$\bullet$ $\abs{-5+7}=\abs{2}=2$ et $\abs{-5}+ \abs{7} =5+7=12$. Donc : $\abs{-5+7}\not= \abs{-5} + \abs{7}$.

$\bullet$ $\abs{-5-7}=\abs{-12}=12$ et $\abs{-5}- \abs{7} =5-7=-2$. Donc : $\abs{-5-7}\not= \abs{-5}- \abs{7}$.

1.3. Valeur absolue et ordre de priorité des opérations

Propriété 2.
Comme pour les parenthèses, dans un calcul contenant des opérations et des valeurs absolues, on effectue d’abord les opérations à l’intérieur des valeurs absolues, en commençant par les valeurs absolues les plus internes

Exemples

a) $\abs{-5-17}-3=\abs{-22}-3=22-3=19$
b) $-3\times\abs{-2-7}+\abs{-5-13} = -3\times\abs{-9}+\abs{-18} = -3\times 9+18 = -27+18 = -9$ ;
c) $\abs{-\dfrac{5}{3}\times\abs{-2-7}+6\times(11-19)} = \abs{-\dfrac{5}{3}\times 9+6\times(-8)}$
${}= \abs{-5\times 3+6\times(-8)} = \abs{-15+(-48)} = \abs{-63} =63$.

3. Exercices

Exercice résolu 1.
Calculer : a) $\abs{-5+17}-3$ ;
b) $\abs{(-5)\times(-2+7)}-\abs{-11-19}$ ;

a) $\abs{-5+17}-3=\abs{12}-3 = 12 – 3 =9$ ;

b) $\abs{-5\times(-2+7)}-\abs{-11-19}=\abs{-25}-\abs{-30}=25-30 = -5$ ;

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