Calcul de la hauteur $h$ d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur de son côté


Calcul de la hauteur d’un triangle équilatéral

Théorème 1.
Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $a$.
Alors, la hauteur $h$ s’écrit en fonction de la longueur $a$ du côté du triangle équilatéral par la formule : $$ \boxed{\; h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\;}$$

Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $a$. On cherche à exprimer la hauteur $h$ en fonction de $a$. On fait d’abord un schéma.


Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $C$. Donc $[CH]$ est la hauteur issue de $C$, mais c’est aussi la médiatrice du segment $[AB]$. Donc, $H$ est le milieu de $[AB]$. Donc, $AH=\dfrac{a}{2}$

Le triangle $ACH$ est rectangle en $H$. Donc, d’après le théorème de Pythagore, on a, sachant que $h>0$ et $a>0$ :
$\begin{array}{lrl}
& AH^2+HC^2&=AC^2\\
& \left(\dfrac{a}{2}\right)^2+h^2&=a^2\\
& \dfrac{a^2}{4}+h^2&= a^2\\
& h^2&=a^2- \dfrac{a^2}{4}\\
\text{Donc : }& h^2&=\dfrac{3a^2}{4}\\
\text{D’où : }& h&=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}}\\
\text{Et par suite :}& h&=a\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{array}$
Conclusion 1. Dans un triangle équilatéral de côté $a$, la hauteur $h$ est toujours égale à $\color{brown}{\boxed{\;h=a\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;}}$. (A refaire et à apprendre par coeur !)


2. Calcul de la longueur du côté d’un triangle équilatéral en fonction de la hauteur $h$

Théorème 2.
Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $a$ et de hauteur $h$.
Alors, la longueur $a$ du côté du triangle équilatéral peut s’écrire en fonction de la hauteur $h$ par la formule : $$ \boxed{\; a=\dfrac{2h}{\sqrt{3}}\;}$$

On sait que $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. On en déduit que : $2h=a\sqrt{3}$. Et par suite : $\boxed{\; a=\dfrac{d\sqrt{2}}{2}\;}$.
$\blacktriangle$ CQFD.


4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Calculer la valeur exacte de la hauteur d’un triangle équilatéral de côté $a=10$cm. Donner une valeur approchée au millième près.

La hauteur $h$ du triangle équilatéral de côté $a=10$cm s’écrit : $h=a\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Donc : $h=\dfrac{10\sqrt{3}}{2}$. Ce qui donne : $$\boxed{\; h=5\sqrt{3} \;}$$
Et par conséquent, à la calculatrice, on obtient : $$\boxed{\; h\simeq8,660~\text{cm}\;}$$