Calcul de la hauteur $h$ d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur de son côté

  1. Découverte de la racine carrée d’un nombre réel positif
  2. Définition et propriétés de la racine carrée
  3. Comment simplifier ou réduire une racine carrée ?
  4. Comment calculer une expression avec des racines carrées ?
  5. Comment réduire une somme ou un produit avec les racines carrées ?
  6. Résolution d’équations de la forme $x^2=a$
  7. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  8. Rendre rationnel un dénominateur.
    Applications en géométrie
  9. Calcul de la diagonale du carrée en fonction de la longueur de son côté
  10. Calcul de la hauteur d’un triangle équilatéral.

Calcul de la hauteur d’un triangle équilatéral

Théorème 1.
Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $a$.
Alors, la hauteur $h$ s’écrit en fonction de la longueur $a$ du côté du triangle équilatéral par la formule : $$ \boxed{\; h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\;}$$

Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $a$. On cherche à exprimer la hauteur $h$ en fonction de $a$. On fait d’abord un schéma.


Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $C$. Donc $[CH]$ est la hauteur issue de $C$, mais c’est aussi la médiatrice du segment $[AB]$. Donc, $H$ est le milieu de $[AB]$. Donc, $AH=\dfrac{a}{2}$

Le triangle $ACH$ est rectangle en $H$. Donc, d’après le théorème de Pythagore, on a, sachant que $h>0$ et $a>0$ :
$\begin{array}{lrl}
& AH^2+HC^2&=AC^2\\
& \left(\dfrac{a}{2}\right)^2+h^2&=a^2\\
& \dfrac{a^2}{4}+h^2&= a^2\\
& h^2&=a^2- \dfrac{a^2}{4}\\
\text{Donc : }& h^2&=\dfrac{3a^2}{4}\\
\text{D’où : }& h&=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}}\\
\text{Et par suite :}& h&=a\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{array}$
Conclusion 1. Dans un triangle équilatéral de côté $a$, la hauteur $h$ est toujours égale à $\color{brown}{\boxed{\;h=a\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;}}$. (A refaire et à apprendre par coeur !)

2. Calcul de la longueur du côté d’un triangle équilatéral en fonction de la hauteur $h$

Théorème 2.
Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $a$ et de hauteur $h$.
Alors, la longueur $a$ du côté du triangle équilatéral peut s’écrire en fonction de la hauteur $h$ par la formule : $$ \boxed{\; a=\dfrac{2h}{\sqrt{3}}\;}$$

On sait que $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. On en déduit que : $2h=a\sqrt{3}$. Et par suite : $\boxed{\; a=\dfrac{d\sqrt{2}}{2}\;}$.
$\blacktriangle$ CQFD.

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Calculer la valeur exacte de la hauteur d’un triangle équilatéral de côté $a=10$cm. Donner une valeur approchée au millième près.

La hauteur $h$ du triangle équilatéral de côté $a=10$cm s’écrit : $h=a\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Donc : $h=\dfrac{10\sqrt{3}}{2}$. Ce qui donne : $$\boxed{\; h=5\sqrt{3} \;}$$
Et par conséquent, à la calculatrice, on obtient : $$\boxed{\; h\simeq8,660~\text{cm}\;}$$

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