Rendre rationnel un dénominateur

Nous allons appliquer les identités remarquables aux calculs sur les racines carrées, notamment pour rendre rationnel un dénominateur.

1. identités remarquables

Propriété (Identité remarquable n°1.)
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcc}
&\color{blue}{— Développement—>}&\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°1)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a-b)^2 = a^2 – 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°2)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)(a-b) = a^2 – b^2\; }}&\quad(I.R.n°3)\\
&\color{blue}{ <— Factorisation — }& \\
\end{array}$$


2. Rendre rationnel un dénominateur

Dans une expression numérique quotient $A$, rendre rationnel un dénominateur, signifie qu’il faut transformer $A$ pour obtenir un dénominateur entier. (Faire disparaître la racine carrée au dénominateur).

Rappels : Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres rationnels, $d>0$. Alors :
La quantité conjuguée de $c+\sqrt{d}$ est $c-\sqrt{d}$, et réciproquement. De plus :
$$(c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d}) =c^2-d \in \Q$$
Le produit ces deux quantités conjuguées est un nombre rationnel !

Exercice résolu n°1. Écrire les expressions numériques suivantes avec un dénominateur rationnel, puis sous la forme $a+b\sqrt{c}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres rationnels, $c\geqslant0$.
1°) $A=\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ ;
2°) $B=\dfrac{5}{4-\sqrt{3}}$ ;
3°) $C=\dfrac{5+3\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$ ;

Dans une expression numérique quotient $A=\dfrac{a+\sqrt{b}}{c+\sqrt{d}}$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre nombres rationnels, $d>0$
Pour rendre rationnel un dénominateur, il suffit de multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur.
$$\begin{array}{rcl}
A &=&\dfrac{a+\sqrt{b}}{c+\sqrt{d}}\\
&=&\dfrac{(a+\sqrt{b})\color{brown}{(c-\sqrt{d})}}{(c+\sqrt{d})\color{brown}{(c-\sqrt{d})}}\\
&=&\dfrac{(a+\sqrt{b})(c-\sqrt{d})} {c^2-d}\\
&&\text{d’après l’I.R.n°3}\\
\end{array}$$
$c^2-d\in\Q$, donc le nouveau dénominateur est un nombre rationnel.

Corrigé
1°) Rendre rationnel un dénominateur dans l’expression : $A=\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.
$$\begin{array}{rcl}
A&=&\dfrac{(1+\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\
&=&\dfrac{\sqrt{2}+2}{2}\\
A&=&\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; A=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2} \; }}$

D’autre part : $A=\dfrac{2}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1+\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$, avec $a=1$, $b=\dfrac{1}{2}$ et $c=2$.
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; A=1+\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \; }}$

Corrigé
2°) Rendre rationnel un dénominateur dans l’expression : $B=\dfrac{5}{4-\sqrt{3}}$.
$$\begin{array}{rcl}
B&=&\dfrac{5\times(4+\sqrt{3})}{(4-\sqrt{3})(4+\sqrt{3})}\\
&=&\dfrac{20+5\sqrt{3}}{4^2-(\sqrt{3})^2}\\
&=&\dfrac{20+5\sqrt{3}}{16-3}\\
B&=&\dfrac{20+5\sqrt{3}}{13}\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; B=\dfrac{20+5\sqrt{3}}{13} \; }}$

D’autre part : $B=\dfrac{20}{13}+\dfrac{5}{13}\sqrt{3}$, avec $a=\dfrac{20}{13}$, $b=\dfrac{5}{13}$ et $c=3$.
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; B=\dfrac{20}{13}+\dfrac{5}{13}\sqrt{3} \; }}$

Corrigé
3°) Rendre rationnel un dénominateur dans l’expression : $C=\dfrac{5+3\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$.
$$\begin{array}{rcl}
C&=&\dfrac{(5+3\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}\\
&=&\dfrac{15-5\sqrt{2}+9\sqrt{2}-6}{3^2-(\sqrt{2})^2}\\
&=&\dfrac{9+4\sqrt{2}}{9-2}\\
C&=&\dfrac{9+4\sqrt{2}}{7}\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; C=\dfrac{9+4\sqrt{2}}{7} \; }}$

D’autre part : $C=\dfrac{9}{7}+\dfrac{4}{7}\sqrt{2}$, avec $a=\dfrac{9}{7}$, $b=\dfrac{4}{7}$ et $c=2$.
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; C=\dfrac{9}{7}+\dfrac{4}{7}\sqrt{2} \; }}$


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  10. Les identités remarquables.
  11. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  12. Rendre rationnel un dénominateur