Rendre rationnel un dénominateur


Nous allons appliquer les identités remarquables aux calculs sur les racines carrées, notamment pour rendre rationnel un dénominateur.

1. identités remarquables

Propriété (Identité remarquable n°1.)
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcc}
&\color{blue}{— Développement—>}&\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°1)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a-b)^2 = a^2 – 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°2)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)(a-b) = a^2 – b^2\; }}&\quad(I.R.n°3)\\
&\color{blue}{ <— Factorisation — }& \\
\end{array}$$


2. Rendre rationnel un dénominateur

Dans une expression numérique quotient $A$, rendre rationnel un dénominateur, signifie qu’il faut transformer $A$ pour obtenir un dénominateur entier. (Faire disparaître la racine carrée au dénominateur).

Rappels : Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres rationnels, $d>0$. Alors :
La quantité conjuguée de $c+\sqrt{d}$ est $c-\sqrt{d}$, et réciproquement. De plus :
$$(c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d}) =c^2-d \in \Q$$
Le produit ces deux quantités conjuguées est un nombre rationnel !

Exercice résolu n°1. Écrire les expressions numériques suivantes avec un dénominateur rationnel, puis sous la forme $a+b\sqrt{c}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres rationnels, $c\geqslant0$.
1°) $A=\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ ;
2°) $B=\dfrac{5}{4-\sqrt{3}}$ ;
3°) $C=\dfrac{5+3\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$ ;

Dans une expression numérique quotient $A=\dfrac{a+\sqrt{b}}{c+\sqrt{d}}$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre nombres rationnels, $d>0$
Pour rendre rationnel un dénominateur, il suffit de multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur.
$$\begin{array}{rcl}
A &=&\dfrac{a+\sqrt{b}}{c+\sqrt{d}}\\
&=&\dfrac{(a+\sqrt{b})\color{brown}{(c-\sqrt{d})}}{(c+\sqrt{d})\color{brown}{(c-\sqrt{d})}}\\
&=&\dfrac{(a+\sqrt{b})(c-\sqrt{d})} {c^2-d}\\
&&\text{d’après l’I.R.n°3}\\
\end{array}$$
$c^2-d\in\Q$, donc le nouveau dénominateur est un nombre rationnel.

Corrigé
1°) Rendre rationnel un dénominateur dans l’expression : $A=\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.
$$\begin{array}{rcl}
A&=&\dfrac{(1+\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\
&=&\dfrac{\sqrt{2}+2}{2}\\
A&=&\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; A=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2} \; }}$

D’autre part : $A=\dfrac{2}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1+\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$, avec $a=1$, $b=\dfrac{1}{2}$ et $c=2$.
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; A=1+\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \; }}$

Corrigé
2°) Rendre rationnel un dénominateur dans l’expression : $B=\dfrac{5}{4-\sqrt{3}}$.
$$\begin{array}{rcl}
B&=&\dfrac{5\times(4+\sqrt{3})}{(4-\sqrt{3})(4+\sqrt{3})}\\
&=&\dfrac{20+5\sqrt{3}}{4^2-(\sqrt{3})^2}\\
&=&\dfrac{20+5\sqrt{3}}{16-3}\\
B&=&\dfrac{20+5\sqrt{3}}{13}\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; B=\dfrac{20+5\sqrt{3}}{13} \; }}$

D’autre part : $B=\dfrac{20}{13}+\dfrac{5}{13}\sqrt{3}$, avec $a=\dfrac{20}{13}$, $b=\dfrac{5}{13}$ et $c=3$.
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; B=\dfrac{20}{13}+\dfrac{5}{13}\sqrt{3} \; }}$

Corrigé
3°) Rendre rationnel un dénominateur dans l’expression : $C=\dfrac{5+3\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$.
$$\begin{array}{rcl}
C&=&\dfrac{(5+3\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}\\
&=&\dfrac{15-5\sqrt{2}+9\sqrt{2}-6}{3^2-(\sqrt{2})^2}\\
&=&\dfrac{9+4\sqrt{2}}{9-2}\\
C&=&\dfrac{9+4\sqrt{2}}{7}\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; C=\dfrac{9+4\sqrt{2}}{7} \; }}$

D’autre part : $C=\dfrac{9}{7}+\dfrac{4}{7}\sqrt{2}$, avec $a=\dfrac{9}{7}$, $b=\dfrac{4}{7}$ et $c=2$.
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; C=\dfrac{9}{7}+\dfrac{4}{7}\sqrt{2} \; }}$

Liens connexes

  1. Calcul littéral. Expressions algébriques ;
  2. La propriété de distributivité.
  3. Reconnaitre une forme factorisée et une forme développée ou développée réduite.
  4. Les identités remarquables.
  5. Développer et réduire une expression algébrique simple.
  6. Développer et réduire une expression algébrique avec les identités remarquables.
  7. Factoriser une expression algébrique simple.
  8. Factoriser une expression algébrique avec les identités remarquables.
  9. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  10. Rendre rationnel un dénominateur.
Haut de page