Comparaison de deux nombres réels.
Première méthode
Définition 1.
Pour comparer deux nombres réels, on peut utiliser leurs écritures sous la forme décimale, qu’on appelle un développement décimal. Partie entière, partie décimale ; ordre lexicographique, l’ordre du dictionnaire, etc.
Exercice 1.
Comparer les nombres suivants : $\pi$ et $\dfrac{355}{113}$.
Exercice 2.
1°) Cette méthode fonctionne-t-elle pour comparer les deux nombres : $\sqrt{2}$ et $\dfrac{941664}{665857}$ ? Cherchez pourquoi !
2°) Ces deux nombres peuvent-ils être égaux ? Justifier votre réponse.
Deuxième méthode
Définition 2. Inégalités strictes
Pour comparer deux nombres réels, il suffit de déterminer le signe de la différence.
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
a>b &\text{ssi}& a-b>0\\
\text{et}\quad a<b &\text{ssi}& a-b<0\\
\end{array}$$
$a>b$ se lit « $a$ strictement supérieur à $b$ ». De même pour $a<b$.
Exercice 3.
Comparer les nombres suivants : $\pi$ et $\dfrac{355}{113}$ avec cette nouvelle méthode.
Définition 3. Inégalités larges.
On dit que « $a$ supérieur ou égal à $b$ » et on note « $a\geqslant b$ » si et seulement si « $a>b$ ou $a=b$ ».
D’une manière analogue, on dit que « $a$ inférieur ou égal à $b$ » et on note « $a\leqslant b$ » si et seulement si « $a<b$ ou $a=b$ ».
EXEMPLES
Exemples. On a bien $2<3$ et $2\leqslant 3$. Par contre $2\leqslant 2$, mais $2\not<2$.
Exemple 2.
1°) Cette 2ème méthode fonctionne-t-elle pour comparer les deux nombres : $\sqrt{2}$ et $\dfrac{941664}{665857}$ ? Cherchez pourquoi !
2°) Peut-on aller plus loin pour chercher les décimales suivantes de chacun de ces nombres, qui sont cachées dans la calculatrice ?
3°) Jusqu’où peut-on continuer cette exploration ?
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