Comparaison de deux nombres réels.

Première méthode

Définition 1.
Pour comparer deux nombres réels, on peut utiliser leurs écritures sous la forme décimale, qu’on appelle un développement décimal. Partie entière, partie décimale ; ordre lexicographique, l’ordre du dictionnaire, etc.

Exercice 1.
Comparer les nombres suivants : $\pi$ et $\dfrac{355}{113}$.

L’écran d’une calculatrice scientifique affiche ces nombres avec 10 chiffres :
$$\pi={\color{brown}{3,141592}\,\color{blue}{6}54}\quad\text{et}\quad\dfrac{355}{113}={\color{brown}{3,141592}\,\color{blue}{9}2}$$
Ces deux nombres ont la même partie entière et les six premières décimales sont respectivement identiques.

La première décimale différente se trouve à la 7ème position, avec $6<9$.
Par conséquent, on a :
$$\boxed{\;\pi<\dfrac{355}{113}\;}$$

Exercice 2.
1°) Cette méthode fonctionne-t-elle pour comparer les deux nombres : $\sqrt{2}$ et $\dfrac{941664}{665857}$ ? Cherchez pourquoi !
2°) Ces deux nombres peuvent-ils être égaux ? Justifier votre réponse.

Méthode.
1°) La calculatrice scientifique affiche 10 chiffres. On obtient alors une valeur décimale à 9 décimales pour chacun d’eux :
$$\begin{array}{rcl}
\sqrt{2}&=&1,414\, 213\, 562\\
\dfrac{941664}{665857}&=&1,414\, 213\, 562\\
\end{array}$$
Par conséquent, ces deux nombres ont exactement la même écriture décimale à $10^{-9}$ (au milliardième) près.

Nous ne pouvons pas utiliser cette première méthode pour comparer ces deux nombres au vu des chiffres affichés à la calculatrice scientifique.

2°) Ces deux nombres peuvent-ils être égaux ? Justifier votre réponse.
Réponse. NON !
$\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel. Donc $\sqrt{2}\in\R$, mais $\sqrt{2}\not\in\Q$.
$\dfrac{941664}{665857}$ est un nombre rationnel. Donc $ \dfrac{941664}{665857}\in\Q$.

Conclusion. Ces deux nombres n’étant pas de même nature, ils ne peuvent pas être égaux. $\blacktriangle$

Deuxième méthode

Définition 2. Inégalités strictes
Pour comparer deux nombres réels, il suffit de déterminer le signe de la différence.
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
a>b &\text{ssi}& a-b>0\\
\text{et}\quad a<b &\text{ssi}& a-b<0\\
\end{array}$$
$a>b$ se lit « $a$ strictement supérieur à $b$ ». De même pour $a<b$.

Exercice 3.
Comparer les nombres suivants : $\pi$ et $\dfrac{355}{113}$ avec cette nouvelle méthode.

A la calculatrice, nous calculons la différence de ces deux nombres :
$$\pi-\dfrac{355}{113}=-2,667642\times 10^{-7}$$
On remarque que $$\pi-\dfrac{355}{113}<0$$
Par conséquent, nous pouvons en déduire que : $$\pi<\dfrac{355}{113}$$

Définition 3. Inégalités larges.
On dit que « $a$ supérieur ou égal à $b$ » et on note « $a\geqslant b$ » si et seulement si « $a>b$ ou $a=b$ ».
D’une manière analogue, on dit que « $a$ inférieur ou égal à $b$ » et on note « $a\leqslant b$ » si et seulement si « $a<b$ ou $a=b$ ».

EXEMPLES

Exemples. On a bien $2<3$ et $2\leqslant 3$. Par contre $2\leqslant 2$, mais $2\not<2$.

Haut de page

Exemple 2.
1°) Cette 2ème méthode fonctionne-t-elle pour comparer les deux nombres : $\sqrt{2}$ et $\dfrac{941664}{665857}$ ? Cherchez pourquoi !
2°) Peut-on aller plus loin pour chercher les décimales suivantes de chacun de ces nombres, qui sont cachées dans la calculatrice ?
3°) Jusqu’où peut-on continuer cette exploration ?

Application de la 2ème méthode

1°) On calcule la différence de ces deux nombres à la calculatrice. On obtient :
$$\sqrt{2}-\dfrac{941664}{665857}=1,6 \text{E}-12$$
Ce qui signifie que :
$$\sqrt{2}-\dfrac{941664}{665857}=1,6 \times 10^{-12}$$
On en déduit que :
$$\sqrt{2}-\dfrac{941664}{665857}>0$$
Conclusion. Le signe de la différence est positif, donc cette 2ème méthode permet de comparer ces deux nombres ! On a alors :
$$\color{brown}{\boxed{\;\sqrt{2}>\dfrac{941664}{665857}\;}}$$

Allons plus loin !
2°) Peut-on chercher les décimales suivantes de chacun de ces nombres, qui sont cachées dans la calculatrice ?

Nous avons déjà trouvé le développement de ces deux nombres.
Le dernier chiffre (le 2) est (en général) arrondi. Donc, c’est un chiffre douteux. On pet donc retenir les chiffres sûrs :
$$\begin{array}{rcl}
\sqrt{2}&=&1,414\, 213\, 56…\\
\dfrac{941664}{665857}&=&1,414\, 213\, 56…\\
\end{array}$$
Maintenant, on soustrait ce nombre décimal à chacun de ces deux nombres. On obtient :
$$\begin{array}{rcl}
\sqrt{2}-1,414\, 213\, 56 &=&2,3731\times 10^{-9} \\
\dfrac{941664}{665857}-1,414\, 213\, 56&=& 2,3715\times 10^{-9} \\
\end{array}$$
On obtient donc une valeur approchée de chacun de ces deux nombres de la manière suivante :
$$\begin{array}{rcl}
\sqrt{2}&=&1,414\, 213\, 56+2,3731\times 10^{-9} \\
\sqrt{2}&=&1,414\, 213\, 56+0,000\, 000\,0023731\\
\sqrt{2}&=&1,414\, 213\, 562\,373\,1\\
\end{array}$$
et
$$\begin{array}{rcl}
\dfrac{941664}{665857} &=&1,414\, 213\, 56+2,3715\times 10^{-9} \\
\dfrac{941664}{665857} &=&1,414\, 213\, 56+0,000\, 000\,0023715\\
\dfrac{941664}{665857} &=&1,414\, 213\, 562\,371\,5\\
\end{array}$$

Le dernier chiffre d’un développement décimal risque d’être arrondi. Don c’est un chiffre douteux. On le supprime pour ne garder que les chiffres sûrs.

Conclusion. On obtient deux développements de ces deux nombres à $10^{-13}$ près ! (pas mal !!)
$$\begin{array}{rcl}
\color{brown}{\boxed{\; \sqrt{2}=1,414\, 213\, 562\,373\,1…}}\\
\color{brown}{\boxed{\; \dfrac{941664}{665857} =1,414\, 213\, 562\,371\,5…}}\\
\end{array}$$