Comparaison de deux nombres réels.

Première méthode

Nous savons comparer deux nombres réels en utilisant leurs écritures sous la forme décimale. Partie entière, partie décimale ; ordre lexicographique, l’ordre du dictionnaire.

Exemple. Comparer les nombres suivants : $\pi$ et $\dfrac{355}{113}$.

A la calculatrice, nous obtenons :
$$\pi=\color{brown}{3,141592}654\quad\text{et}\quad\dfrac{355}{113}=\color{brown}{3,141592}92$$
Ces deux nombres ont la même partie entière et les six premières décimales sont respectivement les mêmes. La première décimale différente se trouve à la 7ème position, avec $6<9$. Par conséquent, on a :
$$\pi<\dfrac{355}{113}$$

Cette méthode ne fonctionne pas pour comparer les deux nombres : $\sqrt{2}$ et $\dfrac{941664}{665857}$. Cherchez pourquoi !

Deuxième méthode

Définition 1. Inégalités strictes
Pour comparer deux nombres réels, il suffit de déterminer le signe de la différence.
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
a>b &\text{ssi}& a-b>0\\
\text{et}\quad a<b &\text{ssi}& a-b<0\\
\end{array}$$
$a>b$ se lit « $a$ strictement supérieur à $b$ ». De même pour $a<b$.

Exemple. Comparer les nombres suivants : $\pi$ et $\dfrac{355}{113}$.

A la calculatrice, nous calculons la différence de ces deux nombres :
$$\pi-\dfrac{355}{113}=-2,667642\times 10^{-7}$$
On remarque que $$\pi-\dfrac{355}{113}<0$$
Par conséquent, nous pouvons en déduire que : $$\pi<\dfrac{355}{113}$$

Définition 2. Inégalités larges.
On dit que « $a$ supérieur ou égal à $b$ » et on note « $a\geqslant b$ » si et seulement si « $a>b$ ou $a=b$ ».
D’une manière analogue, on dit que « $a$ inférieur ou égal à $b$ » et on note « $a\leqslant b$ » si et seulement si « $a<b$ ou $a=b$ ».

Exemples. On a bien $2<3$ et $2\leqslant 3$. Par contre $2\leqslant 2$, mais $2\not<2$.

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