Ensemble $\D$ des nombres décimaux relatifs
1. Ensemble $\D$ des nombres décimaux relatifs
Définition 1.
Un nombre décimal relatif est un nombre relatif qui peut s’écrire avec une écriture décimale limitée, c’est-à-dire avec une partie entière et une partie décimale ayant un nombre fini de chiffres après la virgule.
L’ensemble des nombres décimaux relatifs se note $\D$. (« D » est l’initiale de « décimal»).
Exemple
$-2,8$ n’est pas un nombre entier, c’est un nombre décimal négatif.
$0,666\in\D$, mais $\dfrac{2}{3}=0,66666\ldots\not\in\D$ (il a une écriture décimale illimitée).
Nous avons déjà vue que les trois points de suspension signifient que l’écriture des chiffres après la virgule continue à l’infini.
2. Propriétés
Propriété 1.
Tout nombre décimal positif $x\in\D$ se décompose en deux parties :
$\bullet\;$ la partie entière notée $E(x)$, est un nombre entier situé avant la virgule ;
$\bullet\;$ la partie décimale égale à $x-E(x)$, est composée des chiffres situés après la virgule.
Exemple. $x=2,375\in\D$.
La partie entière de $x$ est : $E(2,375)=2$ et sa partie décimale est : $2,375-2 = 0,375$.
Propriété 2.
Tout nombre décimal relatif peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale : $\dfrac{a}{10^n}$, où $a$ est un entier relatif et $n$ un entier naturel.
Exemple. $x=2,375\in\D$.
Le nombre $x$ contient trois chiffres après la virgule. On multiplie par $1000$ et on divise par $1000$. Ce qui donne : $x=2,375=\dfrac{2,375\times 1000}{1000}=\dfrac{2375}{10^3}$. Donc :
$$\boxed{\; x=\dfrac{2375}{10^3}\;}$$
Propriété 2 bis.
Plus généralement, tout nombre décimal relatif peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale : $\dfrac{a}{2^p \times 5^q}$, où $a\in\Z$ et $p$, $q\in\N$.
Exemple. $x=2,375\in\D$.
On utilise la décomposition précédente, avec $10=2\times 5$. Donc: $10^n=(2\times 5)^n=2^n\times 5^n$. Ce qui donne : $x=2,375=\dfrac{2375}{2^3\times 5^3}$. Donc :
$$\boxed{\; x=2,375=\dfrac{2375}{2^3\times 5^3}\;}$$
Réciproquement, tout nombre qui s’écrit sous l’une des trois formes : $\dfrac{a}{2^p}$ ou $\dfrac{a}{5^q}$ ou $\dfrac{a}{2^p \times 5^q}$, avec $a\in\Z$ et $p$, $q\in\N$, est un nombre décimal relatif.
En particulier, tout nombre entier relatif peut s’écrire avec une partie décimale nulle. Par exemple : $5=+5,0$. Donc, tout nombre entier relatif est aussi un nombre décimal.
Propriété 3.
Tous les nombres entiers relatifs sont des nombres décimaux. On écrit :
$$\N\subset \Z\subset \D$$
On dit que « $\N$ est contenu dans $\Z$, qui est contenu dans $\D$ ».

Propriété 4.
Tous les nombres décimaux relatifs sont des nombres rationnels. Donc, tous les nombres entiers relatifs son des nombres rationnels. On écrit.
$$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q$$

Propriété 4.
Tous les nombres rationnels sont des nombres réels. Donc, tous les nombres décimaux relatifs son des nombres réels. On écrit.
$$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q\subset\R$$

3. Exercices
Exercices résolus.
1°) Le nombre $x=\dfrac{26}{64}$ est-il un nombre décimal ? Justifiez votre réponse.
2°) Le nombre $y=\dfrac{26}{7}$ est-il un nombre décimal ? Justifiez votre réponse.
3°) Démontrer que le nombre $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.
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