Ensemble $\D$ des nombres décimaux relatifs

1. Ensemble $\D$ des nombres décimaux relatifs

Définition 1.
Un nombre décimal relatif est un nombre relatif qui peut s’écrire avec une écriture décimale limitée, c’est-à-dire avec une partie entière et une partie décimale ayant un nombre fini de chiffres après la virgule.
L’ensemble des nombres décimaux relatifs se note $\D$. (« D » est l’initiale de « décimal»).

Exemple

$-2,8$ n’est pas un nombre entier, c’est un nombre décimal négatif.
$0,666\in\D$, mais $\dfrac{2}{3}=0,66666\ldots\not\in\D$ (il a une écriture décimale illimitée).
Nous avons déjà vue que les trois points de suspension signifient que l’écriture des chiffres après la virgule continue à l’infini.

2. Propriétés

Propriété 1.
Tout nombre décimal positif $x\in\D$ se décompose en deux parties :
$\bullet\;$ la partie entière notée $E(x)$, est un nombre entier situé avant la virgule ;
$\bullet\;$ la partie décimale égale à $x-E(x)$, est composée des chiffres situés après la virgule.

Exemple. $x=2,375\in\D$.
La partie entière de $x$ est : $E(2,375)=2$ et sa partie décimale est : $2,375-2 = 0,375$.

Propriété 2.
Tout nombre décimal relatif peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale : $\dfrac{a}{10^n}$, où $a$ est un entier relatif et $n$ un entier naturel.

Exemple. $x=2,375\in\D$.
Le nombre $x$ contient trois chiffres après la virgule. On multiplie par $1000$ et on divise par $1000$. Ce qui donne : $x=2,375=\dfrac{2,375\times 1000}{1000}=\dfrac{2375}{10^3}$. Donc :
$$\boxed{\; x=\dfrac{2375}{10^3}\;}$$

Propriété 2 bis.
Plus généralement, tout nombre décimal relatif peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale : $\dfrac{a}{2^p \times 5^q}$, où $a\in\Z$ et $p$, $q\in\N$.

Exemple. $x=2,375\in\D$.
On utilise la décomposition précédente, avec $10=2\times 5$. Donc: $10^n=(2\times 5)^n=2^n\times 5^n$. Ce qui donne : $x=2,375=\dfrac{2375}{2^3\times 5^3}$. Donc :
$$\boxed{\; x=2,375=\dfrac{2375}{2^3\times 5^3}\;}$$

Réciproquement, tout nombre qui s’écrit sous l’une des trois formes : $\dfrac{a}{2^p}$ ou $\dfrac{a}{5^q}$ ou $\dfrac{a}{2^p \times 5^q}$, avec $a\in\Z$ et $p$, $q\in\N$, est un nombre décimal relatif.

En particulier, tout nombre entier relatif peut s’écrire avec une partie décimale nulle. Par exemple : $5=+5,0$. Donc, tout nombre entier relatif est aussi un nombre décimal.

Propriété 3.
Tous les nombres entiers relatifs sont des nombres décimaux. On écrit :
$$\N\subset \Z\subset \D$$
On dit que « $\N$ est contenu dans $\Z$, qui est contenu dans $\D$ ».

$\N\subset \Z\subset \D$

Propriété 4.
Tous les nombres décimaux relatifs sont des nombres rationnels. Donc, tous les nombres entiers relatifs son des nombres rationnels. On écrit.
$$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q$$

$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q$

Propriété 4.
Tous les nombres rationnels sont des nombres réels. Donc, tous les nombres décimaux relatifs son des nombres réels. On écrit.
$$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q\subset\R$$

$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q\subset\R$

3. Exercices

Exercices résolus.
1°) Le nombre $x=\dfrac{26}{64}$ est-il un nombre décimal ? Justifiez votre réponse.
2°) Le nombre $y=\dfrac{26}{7}$ est-il un nombre décimal ? Justifiez votre réponse.
3°) Démontrer que le nombre $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

1°) Cette affirmation est vraie.
$\dfrac{26}{64}$ est un nombre décimal. Nous allons le justifier de deux manières.
1ère méthode :
A la calculatrice, nous obtenons l’écriture décimale de $x$. $$x=0,40625$$
$x$ admet une écriture décimale limitée, qui s’arrête, donc $x$ est bien un nombre décimal.

2ème méthode :
On remarque que $64$ est une puissance de $2$. On a : $64=2^6$. Donc $x$ s’écrit : $$x=\dfrac{26}{2^6}$$ Et d’après les propriétés des nombres décimaux, $x$ est bien un nombre décimal.

2°) Cette affirmation est fausse.
$y=\dfrac{26}{7}$ n’est pas un nombre décimal. Nous allons le justifier de deux manières.
1ère méthode :
A la calculatrice, nous obtenons l’écriture décimale de $y$. $$y=3,7142857143$$
Mais attention, le dernier chiffre donné par la calculatrice est arrondi, donc « douteux ». On le supprime et on regarde les chiffres restants. Ce qui donne : $$y=3,\color{brown}{714285}\color{blue}{714\ldots}$$
On remarque alors que $y$ admet une écriture décimale périodique illimitée.
Par conséquent, $y$ n’est pas un nombre décimal.

2ème méthode :
Le dénominateur de $y=\dfrac{26}{7}$ est égal à $7$ et $7$ est un nombre premier (il admet exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même). Donc $7$ ne peut pas s’écrire sous la forme d’un produit de puissances de $2$ et $5$.
Par conséquent, $y$ n’est pas un nombre décimal.

Méthode :
Raisonnement par l’absurde. C’est une méthode de démonstration indirecte.
Pour démontrer qu’une propriété est varie, on suppose que la proposition contraire est vraie et on aboutit à une contradiction. Ce qui est absurde et prouve que la propriété initiale est vraie.

3°) Montrons que que le nombre $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.
Nous allons faire un raisonnement par l’absurde.

Supposons donc que $\dfrac{1}{3}$ est un nombre décimal.
Donc, par définition, le nombre $\dfrac{1}{3}$ s’écrit sous la forme :
$$\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^n}$$
où $a\in\Z$ et $n\in\N$. Comme $\dfrac{1}{3}>0$, on en déduit que $a>0$, donc $a\in\N$
L’égalité des produit en croix de ces deux fractions, donne : $$10^n=3\times a$$
Comme $a$ est un entier naturel non nul, $3a$ est un multiple de $3$.
On en déduit d’une part que $10^n$ serait un multiple de $3$. (*)
D’autre part, l’écriture décimale de $10^n$ est formée du chiffre $1$ et de $n$ zéros. Donc, la somme des chiffres de $10^n$ est égale à $1$. Ce qui montre que $10^n$ n’est pas un multiple de $3$. (**). Ce qui est absurde.
Par conséquent, l’hypothèse que nous avons énoncé est fausse.
Conclusion. $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.