Le nombre réel $\sqrt{2}$ est irrationnel


Prérequis

Le raisonnement par l’absurde
Le carré d’un nombre pair est un nombre pair

Exercice résolu n°1. Démontrer que le nombre réel $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Rappelons qu’un nombre $x$ est dit irrationnel si et seulement si, $x$ ne s’écrit pas sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers relatifs.

Autrement dit : Quels que soient les nombres relatifs $a\in\Z$, $b\in\N^{*}$ (i.e. $b\not=0$) : $x\not=\dfrac{a}{b}$.

Une autre propriété caractéristique, difficile à mettre en œuvre dans notre exercice.
un nombre $x$ est dit irrationnel si et seulement si, $x$ admet une écriture décimale illimitée qui ne contient aucune périodicité « à l’infini ».

Corrigé.
On fait un raisonnement par l’absurde.
Supposons le contraire, donc que $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel. Donc : $$\sqrt{2}\in\Q\quad(1)$$
Comme $\sqrt{2}>0$, par définition, il existe deux entiers entiers naturels premiers entre eux $a$ et $b$ non nuls tels que : $$\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}\quad(2)$$
$a$ et $b$ étant premiers entre eux, ils n’admettent aucun diviseur commun positif autre que $1$. Par suite, la fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible.
On élève au carré les deux membres de l’égalité (2) et on obtient : $$2=\dfrac{a^2}{b^2}$$
Ce qui donne : $$2b^2=a^2\quad(3)$$
Ce qui signifie que $a^2$ est pair. Or, on sait que :

Propriétés 4.
Soit $n$ nombre entier. Alors :
1°) Si le carré de $n$ est un nombre pair, alors $n$ est un nombre pair.
2°) Si le carré de est un nombre impair, alors est un nombre impair.

On en déduit donc que $a$ est un nombre pair. Ce qui signifie qu’il existe un entier $a’\in\N$ tel que $a=2a’$. Mais alors : $$(3)\Leftrightarrow 2b^2=a^2\Leftrightarrow 2b^2=(2a’)^2\Leftrightarrow 2b^2=4{a’}^2$$
En simplifiant par $2$, on en déduit que : $b^2=2{a’}^2$.
Ce qui montre que $b^2$, donc $b$, sont aussi des nombres pairs.
En résumé, nous venons de démontrer que si on suppose que $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$, avec $a$ et $b$ des entiers premiers entre eux, alors $a$ et $b$ sont tous les deux des nombres pairs.
Ce qui est absurde.

Par conséquent, $\sqrt{2}$ ne peut pas s’écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$, avec $a\in\N^{*}$ et $b\in\N^{*}$. Donc : $\sqrt{2}\not\in\Q$.

Conclusion. Le nombre réel $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel. $\blacktriangle$