Représentation de l’intervalle $[a-r,a+r]$ puis par la condition $|x-a|\leqslant r$

Prérequis :

$\bullet$ Ensemble des nombres réels
$\bullet$ Propriétés des inégalités dans $\R$
$\bullet$ Valeur absolue d’un nombre réel
$\bullet$ Distance entre deux nombres réels

1. Représentation de l’intervalle $[a-r,a+r]$

1.1. Définitions. Exemples.

Définition 1.
Soit $a$ un nombre réel et $r$ un nombre réel positif. L’intervalle $[a-r,a+r]$ est l’ensemble de tous les nombres réels compris entre $a-r$ et $a+r$. Autrement dit : Pour tout $x\in\R$ :
$$\begin{array}{rcl}
x\in [a-r,a+r] &\Leftrightarrow& a-r\leqslant x \leqslant a+r \\
&\Leftrightarrow& -r\leqslant x-a \leqslant r\\
\end{array}$$

Remarques

Soient $A$ le point de la droite graduée d’abscisse $a$. L’intervalle $[a-r,a+r]$, tracé en bleu dans la figure suivante, est centré au point $A$ d’abscisse $a$ et de rayon $r>0$ (en rouge) :

Fig. 1

Exemples

$\bullet$ Pour $a=5$ et $r=7$, écrire l’intervalle fermé $I$ correspondant sous la forme $[a-r,a+r]$ :

$\quad$ On remarque que :
$\quad$ Borne inf = $a-r= 5-7=-2$. Borne sup = $a+r=5+7=12$.
$\quad$ Par conséquent : $\color{brown}{I=[2;12]}$.
$\quad$ De plus : $r=(12-2)/2 =\dfrac{\text{borne sup}-\text{borne inf}}{2}$.

$\bullet$ Écrire l’intervalle fermé $I=[8;22]$ sous la forme $[a-r,a+r]$ :

$\quad$ On sait que : $A$ est au milieu de l’intervalle.
$\quad$ Donc, $a$ est la moyenne des deux bornes de l’intervalles $I$.
$\quad$ Donc : $a=\dfrac{8+22}{2}=\color{brown}{15}\,$ et $r=\text{borne sup} -r = 22-15 = \color{brown}{7}$.
$\quad$ Par conséquent, $I=[15-7 ; 15+7]$, avec $a=15$ et $r=7$.

1.2. Propriétés

Propriété.
Pour tout $a, x\in\R$ et tout nombre réel positif $r$, on a :
$\begin{array}{rcl}
(P_{1})\quad\qquad x\in [-r,r] &\Leftrightarrow& -r\leqslant x \leqslant r \\
&\Leftrightarrow & \abs{x}\leqslant r.\\
(P_{2})\quad x\in [a-r,a+r] &\Leftrightarrow& a-r\leqslant x \leqslant a+r \\
&\Leftrightarrow& -r\leqslant x-a \leqslant r \\
&\Leftrightarrow &\abs{x-a}\leqslant r.\\
\end{array}$

Exemples

On considère les points $A$, $B$ et $C$ de la droite graduée, d’abscisses respectives : $x_A=-7$, $x_B=6$ et $x_C=10$. Calculer $AB$, $AC$ et $BC$.
On sait que : $AB = d(x_A;x_B) = \abs{x_B-x_A}$, donc :
$\bullet$ $AB=d(-7;6)=\abs{6-(-7)}=\abs{13}=13$.
$\bullet$ $AC=d(-7;10)=\abs{10-(-7)}=\abs{17}=17$.
$\bullet$ $BC=d(6;10)=\abs{10-6}=\abs{4}=4$.

3. Exercices

Exercice résolu 1.
Calculer : a) $\abs{-5+17}-3$ ;
b) $\abs{(-5)\times(-2+7)}-\abs{-11-19}$ ;

a) $\abs{-5+17}-3=\abs{12}-3 = 12 – 3 =9$ ;

b) $\abs{-5\times(-2+7)}-\abs{-11-19}=\abs{-25}-\abs{-30}=25-30 = -5$ ;